Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

895 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Нахождение обратной матрицы

Первый способ

1.Вычислим определитель матрицы A . Пусть det A 0 .

2.Найдем A (Aij ) , где Aij – алгебраические дополнения элемен-

тов матрицы A .

3. Найдем A (A)T . A – присоединенная матрицадля матрицы A .

A , или

det A

Второй способ

Построим (A | E) размерности n 2n и с помощью элементарных

преобразований строк приведем ее к виду (E | B) . Тогда B A 1 . Если матрица (A | E) элементарными преобразованиями строк не приводится к нужному виду, то обратная матрица не существует.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Пусть дана система линейных уравнений
		a x a			x b ,
			11 1	1n	n	1

		a x a			x b .
			n1 1	nn	n	n
Здесь
a	a
11	1n
A		– матрица системы;
a	a
n1	nn

X... – столбец неизвестных;

b
	1	– столбец свободных членов;
B	...	– столбец свободных членов;
b
	n

AX B – матричный вид системы.

Если det A 0 , то существует обратная матрица. Следовательно,

A 1AX A 1B, EX A 1B, X A 1B.

Этот метод применим только для невырожденных квадратных матриц.

РАНГ МАТРИЦЫ

Определение: рангом матрицы A называется наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы A .

Метод вычисления ранга матрицы

Привести матрицу к ступенчатому виду и посчитать количество ненулевых строк. Это и будет рангом матрицы. Матрица называется ступенчатой, если ее элементы можно разделить «лесенкой» – ломаной линией, обладающей следующими свойствами: 1) левее и ниже лесенки все элементы равны нулю; 2) высота каждой ступеньки равна единице; 3) в начале каждой ступеньки стоит ненулевой элемент.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Решения задач даны без объяснений. Задача студентов – объяснить их у доски. Перед практическим занятием прочитать соответствующий раздел из [1] и разобрать похожие примеры, которые даны там с объяснениями.

Пример 2.3 (1) [1]

Какие матрицы можно перемножать? Решение

(m p)( p n) (m n),

A(1 3)C(3 1) AC(1 1) ,

		A(1 3) D(3 2)				AD(1 2) ,
		A(1 3)E(3 3) AE(1 3) ,
		C(3 1) A(1 3)			CA(3 3) ,
		C(3 1)B(1 2)			CB(3 2) ,
		E(3 3)C(3 1) EC(3 1) ,
		E(3 3) D(3 2) ED(3 2) ,
			E	E		E2			.
			(3 3) (3 3)				(3 3)
Пример 2.3 (2а) [1]
Вычислить:
			3	2		2	1
						0	.
			5	4		0	3
Решение
3 2 ( 2)0				3 1 ( 2)3						6	3
	( 4)0										7	.
5 2	( 4)0			5 1 ( 4)3				10			7
Пример 2.3 (2в) [1]
Вычислить:
	3		1	2		3	2		1
	3		1	2		1	1		2
		0	1			1	1		2	.
		0	1	3		2	3		0
						2	3		0

Решение
	3		1	2	3 2			1
	3		1	2		1	1	2
		0	1	3		1	1	2
		0	1	3		2	3	0
						2	3	0
9 1 4			6 1 6		3 2 0				6 11 1
	0 1 6		0 1 9		0		2 0		5	.
	0 1 6		0 1 9		0		2 0		5	8 2
Пример 2.3 (3) [1]
				a	b		удовлетворяет уравнению
Доказать, что матрица A							удовлетворяет уравнению
				c	d

X 2 (a d)X (ad bc)E Ø.

Решение

X 2 (a d)X (ad bc)E Ø,

AA (a d)A (ad bc)E Ø,

a b a b	a2	bc	ab db		,
				2
c d c d		dc	cb d
	ca

		(a d)a		(d a)b		,
	(a d)A					,
		(a d)c		(a d)d
		ad bc		0		,
	(ad bc)E		0			,
			0	ad bc
A2	a2	bc a2 da		ab bd ba bd
A2	(a d)A				2		2
				cb d	2	da d	2
	ca dc ac dc			cb d		da d

bc da		0	,
	0
		cb da

A2 (a d)A (ad bc)E

bc da

0	ad bc		0 0		0
		0		0	0	.
cb da			cb da

Пример 2.3 (5а) [1]

Доказать: если A2 Ø, то (E A)3 E 3A.

Решение

(E A)3 E3 3E2 A 3EA2 A3 {AE EA, E3 E2 E}

E 3A A2 A E 3A.

Пример 2.3 (8а) [1]
С помощью	элементарных					преобразований привести матрицу
к ступенчатому виду. Указать ранг матрицы.
			0		4	10		1
			4		8	18		7
			4		8	18		7	.
		10			18	40		17
			1		7	17		3
			1		7	17		3
Решение
0	4	10	1

4 8 18 7				{S S					4	, S	4		S }
10	18	40	17			1			4		4		1
	7	17	3
1	7	17	3
1	7	17	3

4 8 18			7		{S		2	4S , S				3	10S }
10	18	40	17				2		1			3	1
	4	10	1
0	4	10	1

1		7	17	3								1		7	17	3
	0	20	50	5		S	2		S	3			0	4	10	1
	0	52	130	13			2	,		3			0	4	10	1
						5		,	13
						5			13
	0	4	10	1									0	4	10	1
	0	4	10	1									0	4	10	1
					1			7	17		3
						0		4	10		1
		{S3 S2 ,		S4 S2	}	0		4	10		1	,		rang 2.
						0		0		0	0
						0		0		0	0
						0		0		0	0

Пример 2.4 (1а) [1]

1 2

Найти матрицу, обратную данной: A .

3 4

Решение

det A	1	2	4 6 2,
	3	4

A11 ( 1)2 4 4, A12 ( 1)1 2 3 3,

A21 ( 1)2 12 2, A22 ( 1)2 21 1,

	A 1	1		4 3 T	1	4 2				1	4 2
							3 1					.
		2			2					2		.
		2		2 1	2					2	3 1
AA 1		1		0
AA 1	A 1A E		0	– вычисление провести самостоятельно.
			0	1
Пример 2.4 (1г) [1]
							1		2		2
								2	1		2
Найти матрицу, обратную данной: A								2	1		2	.
								2	2		1
								2	2		1

Решение
1		2	2
	2	1	2	;
A	2	1	2	;
	2	2	1
	2	2	1

	1	2		2
det A	2	1		2					1 8 8 4 4 4 27;
	2	2		1
										1			2
				1 1						1			2			1 4 3;
A ( 1)																1 4 3;
	11								2				1
									2				1
		1 2			2					2			( 1)(2 4) 6;
		1 2			2					2
A ( 1)
12					2					1
					2					1
A			1 3					2		1				( 4 2) 6;
			1 3					2		1
		( 1)
13								2				2
								2				2
A	( 1)2 1					2				2			( 1)(2 4) 6;
A	( 1)2 1					2				2			( 1)(2 4) 6;
21							2			1
							2			1
	A	( 1)2 2										1		2	1 4 3;
	A	( 1)2 2										1		2	1 4 3;
	22											2	1
												2	1
A	( 1)2 3						1			2			( 1)( 2 4) 6;
A	( 1)2 3						1			2			( 1)( 2 4) 6;
23							2				2
							2				2
A31 (вычислить самостоятельно);
A	( 1)3 2						1			2			( 1)( 2 4) 6;
A	( 1)3 2						1			2			( 1)( 2 4) 6;
32							2				2
							2				2

						A	( 1)3 3		1	2	1 4 3;
						33			2	1
									2	1
	1	1	3			6	6 T	3		1	2	2 T	1	1 2			2
	1	1		6		3		3				2	1				2
A							6			2	1				2	1		.
A		27					6	27		2	1		9		2	1		.
		27		6	6		3	27		2	2 1		9		2	2 1
				6	6		3			2	2 1				2	2 1

Проверить самосточтельно, что A 1 найдена верно.

Пример 2.4 (3б) [1]

Решить систему линейныхуравненийспомощьюобратнойматрицы:

	x1 3x2						11
		3x		x			3	; AX B.
			1	2
		1 3 x							11
			3 1 x1					3		,
						2
A 1AX A 1B,									A 1A E,
A 1	1		3			1 0			{S		2	3S }
A 1	1		3			1 0			{S			3S }
			1			0	1						1
	3		1			0	1
1			3		1		0		S			2
1			3		1		0		S
	0		10		3		1
										10
										10

	1	0									1		3
1 3										1 0
				{S 3S							10 10
	3			{S 3S			2	}			10 10			,
0 1	3	1				1	2			0 1		3 1
0 1										0 1		3 1
	10	10
	10	10										10	10
												10	10
			A 1		1	1	3		,

					10
					10	3	1

A 1B	1	1 3 11			1	20		2
							30		,
	10				10				,
	10	3 1	3		10			3
		x		2
		X x1			3	.
		2

Домашнее задание 2.3: 2г, д, 8б; 2.4: 1в, д, 3а, 4, 5.

ГЛАВА 5

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА

ВВЕДЕНИЕ

Универсальным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Сначала составляется расширенная матрица системы линейных уравнений путем добавления столбца свободных членов к матрице системы A .

С помощью элементарных преобразований строк приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду. После этого анализируем полученый результат. Подробнее об этом методе можно почитать в [1, 2] из библиографического списка. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае она называется несовместной.

Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.

Существует три варианта:

1)система несовместна (0 решений);

2)система определенная (1 решение);

3)система совместная, но неопределенная (имеет бесконечное множество решений).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Решения задач даны без объяснений. Задача студентов – объяснить их у доски. Перед практическим занятием следует прочитать соответствующий раздел из [1] и разобрать похожие примеры, которые даны там с объяснениями.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]