Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

895 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Пример 5.1 (2) [1]

Для данной прямой ℓ: 2x y 1 0 и точки M (–1, 2) :

а) вычислить расстояние от точки до прямой;

б) написать уравнения прямых, проходящих через точку M перпендикулярно прямой ℓ и параллельно прямой ℓ.

Решение

(M , l)		Ax1 By1 C		,



		A2 B2
M (x1, y1), , ℓ: Ax By C 0,
(M , l)	2( 1) 1 2 1		2 2 1		1	.
			2 2 1

			4 1		5
	22 12		4 1		5

Находим уравнение перпендикулярной прямой:

x 1		y 2	x 1 2 y 4 2y x 5 0 –
2
	1

это уравнение прямой, перпендикулярной ℓ. Объясните самостоятельно, как нашли это уравнение.

Находим уравнение параллельной прямой:

A(x x0 ) B( y y0 ) 0, 2(x 1) 1( y 2) 0,

2x 2 y 2 0,

y 2x 0 –

это уравнение прямой, параллельной ℓ. Объясните самостоятельно, как нашли это уравнение.

Пример 5.1 (3а) [1]

Даны вершины треугольника ABC . Найти:

1) уравнение прямой AB ;

2)уравнение высоты CD ;

3)длину высоты CD ;

4)угол между высотой CD и медианой BM ;

5)уравнение биссектрисы внутреннего угла при вершине A, если:

A (1, –2), B (5, 4), C (–2, 0).
Решение
1. Уравнение AB :
							A (1, –2),							B (5, 4)
								x x1						y y1					,
																			,
							x		x					y	2	y
						2					1				2			1
	x 1			y 2		6(x 1) 4( y 2) 3x 3 2 y 4 0,
	5 1					6(x 1) 4( y 2) 3x 3 2 y 4 0,
	5 1		4 2
				3x 2y 7 0 – уравнение AB.
2. Уравнение CD :
			AB : 3x 2y 7 0 , C (2, 0), n (3, –2),
									x 2					y 0				,
										3				2				,
										3				2
	2(x 2) 3y 3y 2x 4 0 – уравнение CD.
3. Длина CD :
		Ax1 By1 C								3( 2)				2 0 7							6 7		13
		Ax1 By1 C								3( 2)				2 0 7							6 7		13
(C, AB)																										13.
(C, AB)				A2 B2										9 4						13				13		13.
4. Угол между CD и медианой BM :
				CD : 3y 2x 4 0,										A(1, –2), C( 2, 0),
	M			x1 x2	,	y1 y2							1 2				,	2 0				1	, –1		,
	M				,												,	2				2	, –1		,
		2				2						2						2				2

				B(5, 4),				x x1				y y1				,
				B(5, 4),												,
								x	x			y	2	y
								2		1			2	1
				x	1		y 1				2x 1				y 1
				x	2		y 1		,		2x 1				y 1		,
									,								,
				5	1		4 1				10 1			5
				5	2
5(2x 1) 11( y 1),										10x 11y 5 11 0.
		Медиана BM :								10x 11y 6 0,
	CD :			n1 (2, 3),						BM :		n2 (10, –11),
cos	n1 n2						20 33										13	1	.
cos						4 9		100 121											.
	n		n			4 9		100 121						13 221				17
	1		2

5. Биссектриса угла A :

	AB	(5 1,						4 2) (4, 6),													AC			( 3, 2),
				16 36						2		13,												9 4					13,
AB				16 36						2		13,				AC								9 4					13,
a							4							3									2			,		3	,
				AB			4						,	3									2					3
													,
0				AB										13									13					13
				AB			2 13							13									13					13
															3				,				2		,
									AC
						b			AC
						b
						0			AC					13
									AC					13									13
						a											1					,		5			,
			S								b						1							5
			S		0						b
					0		0			0								13
																		13						13
						A(1, –2),							x 1							y 2					,
						A(1, –2),								1											,
														1							5
														13							13
														13							13

x 1 y 2 5(x 1) y 2 5x 5 y 2 5x y 3 0 –1 5

это уравнение биссектрисы

_	_
a0	_	S
A	s0	S
A	_
	b0
		C
Пример 5.1 (5) [1]
Прямая y kx 5	удалена от	начала координат на расстояние
d 5 . Найти k .

	(0,5)
d	d
β	α	x

d 5, k > 0, k < 0 два варианта. Ищем в виде

kx y 5 0,

d	k 0 0 5			5,


	k2 1
	k2 1
5			5,
	k2		5,
	k2	1
	k2 1		5,

k2 1 5,

k2 4, k 2.

Пример 5.1 (10) [1]

Докажите, что прямые 24x 10y 39 0 и 12x 5y 26 0 параллельны, найдите расстояние между ними.

Решение

1. Прямые параллельны, так как координаты n1 и n2 пропорциональны.

2. Пусть	y 0 24x				39 x						39	,
2. Пусть	y 0 24x				39 x							,
	1			1			1			24
										24
	d		Ax1 By1 C						12x1 5y1 26						,
			Ax1 By1 C						12x1 5y1 26

				A2 B2						122 ( 5)2
		12			39		39			52
					39
					24	26
	d							2			2		91	7		.
								2			2		91	7
				144 25						13			26	2
				144 25						13			26	2

Пример 5.1 (12) [1]

Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (8, 6) и отсекающей от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

Решение Вариант 1

		(8,6)
	S1	(8,6)
	S1	X
O		X
O
S1 8 6 48 , а S 12 искомая прямая так проходить не может.
Вариант 2
	Y
		M(8,6)
O		X
O

Ищем в виде

Имеем

12,

имеют

разные

знаки, значит,

ab 24,

1, b

			32	a 4 32 a2 4a,
			a	a 4 32 a2 4a,
			a
	a2 4a 32 0 a2 4a 32 0,
	a1,2	4		16	128		4 12		a1 8,
	a1,2			2			2		a		2		4,
											2
b	24 b			24 3,b			24 b			24 6.
1	a1	1		8		2	a2	2				4
	a1			8			a2					4

1) x8 3y 1 3x 8y 24 0 3x 8y 24 0;

2)	x	y	1 6x 4 y 24 0 3x 2 y 12 0.
	4	6

Домашнее задание 5.1: 3б, 6, 7, 8, 9, 11, 18.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Ивлева А. М. Линейная алгебра, аналитическая геометрия / А. М. Ивлева, П. И. Прилуцкая, И. Д. Черных. – 5-е изд., испр. и доп. – Новосибирск :

Изд-во НГТУ, 2019. – 183 с.

2.Ивлева А. М. Готовимся к контрольной работе / А. М. Ивлева, Л. В. Ковалевская, И. Д. Черных. – 2-е изд. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2015. – 172 с.

3.Ивлева А. М. Решение задач по аналитической геометрии / А. М. Ивлева, О. Ю. Бреднихина, Д. Р. Ковальчук. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2020. – 58 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................................................................................	3
Глава 1. Методические указания............................................................................	4
Как работать преподавателям...........................................................................	4
Как работать студентам...................................................................................	11
Глава 2. Определители. Метод Крамера..............................................................	14
Определители...................................................................................................	14
Метод Крамера.................................................................................................	16
Практическое занятие......................................................................................	17
Глава 3. Комплексные числа.................................................................................	22
Определение. Формулы. Действия.................................................................	22
Практическое занятие......................................................................................	24
Глава 4. Матрицы и операции над ними. Обратная матрица.............................	29
Матрицы............................................................................................................	29
Обратная матрица ............................................................................................	30
Ранг матрицы....................................................................................................	32
Практическое занятие......................................................................................	32
Глава 5. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса....................................	40
Введение ...........................................................................................................	40
Практическое занятие......................................................................................	40
Глава 6. Векторы. Скалярное произведение........................................................	50
Векторы.............................................................................................................	50
Скалярное произведение.................................................................................	51
Практическое занятие......................................................................................	52
Глава 7. Векторное и смешанное произведения .................................................	57
Векторное произведение .................................................................................	57
Смешанное произведение................................................................................	58
Практичекское занятие....................................................................................	59
Глава 8. Плоскость и прямая в пространстве......................................................	65
Практическое занятие......................................................................................	65
Глава 9. Прямая на плоскости...............................................................................	70
Практическое занятие......................................................................................	70
Библиографический список..................................................................................	78
79

Бреднихина Ольга Юрьевна Ивлева Ася Михайловна

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

В ДВУХ ЧАСТЯХ

ЧАСТЬ 1

Учебно-методическое пособие

Редактор И.Л. Кескевич

Выпускающий редактор И.П. Брованова Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка Н.В. Гаврилова

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

Подписано в печать 25.02.2025. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная Тираж 100 экз. Уч.-изд. л. 4,65. Печ. л. 5,0. Изд. № 214/24. Заказ № 79

Цена договорная

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета

630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]