Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра. В 2 частях. Ч.1. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

895 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Пример 6.1 (1а) [1]
Решить систему линейных уравнений:
										2x x									x				4,
												1					2			3
										3x1 4x2 2x3 11,

										3x1 2x2 4x3 11.
Решение
2 1		1				4																					2 1				1	4
2 1		1				4																					2 1				1	4
	3 4 2					11				{S		2			S , S					3	S }							1		5 1		7
												2					1			3					1
	3 2 4					11																						1		1 5		7
	3 2 4					11																						1		1 5		7
			1					5		1				7
			1					5		1				7
		→		2 1						1				4				{S					2	2S , S					3	S }
																							2			1			3	1
				1			1			5				7
				1			1			5				7
		1					5			1		7											S			S2 , S2 S3
		1					5			1		7
																								3
			0		11					1	10													3
			0		11					1	10											6
			0			6				6		0										6
			0			6				6		0
					1					5	1						7
					1					5	1						7
							0			1 1							0						{S3				11S2}
							0			1 1							0						{S3				11S2}
							0		11			1				10
							0		11			1				10
								1		5				1					7							S3
								1		5				1					7
									0	1 1									0
									0	1 1									0								10
									0	0		10							10								10
									0	0		10							10
				1					5	1			7
				1					5	1			7
		→				0 1 1							0				{S					2		S , S S }
																						2				3	1			3
					0				0	1			1
					0				0	1			1

1		5	0	8
1		5	0	8
	0 1		0	1	{S 5S	2	}
					1	2
	0	0	1	1
	0	0	1	1

1		0	0	3
	0 1		0	1	,	x 3, x 1, x 1.
						1	2	3
	0	0	1	1
	0	0	1	1

Пример 6.1. (2а) [1]

Исследовать систему уравнений на совместность и определенность. Найти решение, если система совместна:

5x 6y z 4,3x 5y 2z 3,2x y 3z 5.

Решение
5		6	1	4
5		6	1	4
	3 5		2	3	{S 2S	}
					1 3
	2	1	3	5
	2	1	3	5

1		4	5	6
1		4	5	6
	3	5	2	3	{S	2	3S , S	3	2S }
						2	1	3	1
	2	1	3	5
	2	1	3	5

1 4 5				6				1 4 5				6
1 4 5				6				1 4 5				6
	0	7	13	21	{S S	2	}		0	7	13	21	.
					3	2
	0	7	13	17					0	0	0	4
	0	7	13	17					0	0	0	4

Система несовместна, так как ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы.

Пример 6.1 (2б) [1]

Решить систему:

2x 3y z 2,3x 5y 5z 3,5x 8y 6z 5.

Решение

2		3	1	2
2		3	1	2
	3 5		5	3	{S S	2	}
					1	2
	5	8	6	5
	5	8	6	5

1		2	4	1
1		2	4	1
	3	5	5	3	{S	2	3S , S 5S }
						2	1 3	1
	5	8	6	5
	5	8	6	5

	1		2	4		1
	1		2	4		1
→		0 1		7		0	{S 2S		2		}
							3		2
		0	2	14		0
		0	2	14		0
	1		2	4		1
	1		2	4		1
		0 1		7	0		{S 2S	2		}
							1	2
		0	0	0	0
		0	0	0	0

1		0	10	1

	0	1	7	0
→
	0	0	0	0

. Совместная, но неопределенная.

rA < n

x 10z 1,	x 10z 1,

y 7z 0.	y 7z.

Пример 6.1 (3) [1]

При каком значении λ система уравнений

x1 x2 x3 1,x1 x2 x3 1,x1 x2 x3 1:

а) имеет единственное решение; б) имеет бесконечное множество решений; в) несовместна?

Решение
1 1			1							1			1		1
1 1			1							1			1		1
	1	1	1		{S	S			}				1 1		1
					1			2
	1 1		1									1	1		1
	1 1		1									1	1		1
						1							1	1
						1							1	1
{S2 S1, S3							0	1			2		1	1
{S2 S1, S3				S1}			0	1					1	1
							0		1				1	0
							0		1				1	0

			1		1	1
			1		1	1
{S	S , S S	}	0	1	1	0
2	3 3 2

			0	1 2	1	1
			0	1 2	1	1

		1			1			1

S3	(1 )S2	0	1	1				0
									.
				2				1
		0	0				2

	2 2 0, 2,				2	1.
			1

1. Единственное решение: 1, 2 (ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы).

2.Бесконечное множество решений: 1 (ранг расширенной матрицы меньше числа неизвестных).

3.Нет решений: 2 (ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы).

Пример 6.1. (4г) [1]

Исследовать и решить систему методом Гаусса

2x1 5x2 8x3 8,

4x1 3x2 9x3 9,2x1 3x2 5x3 7,

x1 8x2 7x3 12.

Решение
2		5	8		8
2		5	8		8
	4	3	9		9
	4	3	9		9		{S		2	2S , S			3	S }
	2	3	5		7				2	1			3		1
		8	7	12
1		8	7	12
2		5	8			8
2		5	8			8
	0	7	7			7
	0	7	7			7		{S S			4	, S		4	S }
	0	2	3			1				1	4			4	1
	1	8	7			12
	1	8	7			12

1		8	7	12

	0	7	7	7	S			S2
→							2S ,		, S
						4				3
	0	2	3	1			1	7

	2	5	8	8

1		8	7	12

	0 1		1	1
					{S3 2S2 , S4 11S2}
	0	2	3	1
	0	11	6	16

		1		8	7		12
		1		8	7		12
			0 1		1			1
			0 1		1			1		{ S3, S4 5S3}
			0	0	1		1
			0	0	5		5
			0	0	5		5
	1			8	7	12
	1			8	7	12
→		0	1		1	1			{S 7S		3	, S	2	S	3	}
										1	3		2		3
		0		0	1	1
		0		0	1	1

1 8			0	19				1 0 0				3
	0	1	0	2	{S 8S	2	}		0	1	0	2	.
					1	2
	0	0 1		1					0	0	1	1
	0	0 1		1					0	0	1	1

x1 3, x2 2, x3 1.

Пример 6.2 (1б) [1]

Найти фундаментальную систему решений, написать общее решение системы уравнений в векторной форме.

x1 2x2 3x3 0,2x1 4x2 6x3 0,

Решение
	1 2	3	{S	2	2S }	1	2	3 .
	2 4 6			2	1
	2 4 6					0	0 0
x1 2x2 3x3	x1 – базисная неизвестная;					x2 , x3		– свободные неиз-
вестные.

	2				3
Найдем ФСР: E		1	, E	2		0	.
1				2
		0				1
		0				1

Общее решение однородной системы:
x1		2				3
x	C		1	C	2		0	.
2	1		0		2		1
x			0				1
3

Пример 6.1 (1г) [1]

Решить систему линейных уравнений, написать решение в векторной форме.

2x1 3x2 4x3 0,

x1 x2 x3 0,3x1 2x2 5x3 0.

Решение
			2			3	4
				1 1 1					{S			S		2	, S		2	S }
											1			2			2			1
				3		2	5
				3		2	5
				1		1		1
					2	3		4		{S		2	2S , S					3	3S }
												2			1			3			1
					3	2		5
					3	2		5
	1				1	1									1				1		1
			0	5 2												0			5		2
			0	5 2					{S3 S2}							0			5		2
			0	5 2												0 0 0
			0	5 2												0 0 0
						1	1			1											1	0	7
		S2
																							5
											{S S							}						.
											{S S							}						.
			5						2				1				2						2
			5			0 1															0	1	2
										5											0	1	5
																							5

x		7	x	, x		2	x	,	x , x			– базисные неизвестные; x – свобод-
x			x	, x			x	,	x , x			– базисные неизвестные; x – свобод-
1	5		3	2		5	3			1	2								3
ная неизвестная.								7
								7
									5
									5
Найдем ФСР:					E				2	.
Найдем ФСР:					E					.
					1				5
					1
									1
									1
Общее решение однородной системы:
													7
								x									7
								x						5			7
									1					2
								x			C			2	C			2	.
								x			C				C	2		2	.
									2		1					2		5
								x						5				5
									3					1
														1

Здесь C2 C1 15 .

Пример 6.2 (2а) [1]

Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений в векторной форме

					5x1 3x2 2x3 4x4 3,
					4x		2x	3x			7x 1,
						1	2		3			4
								x3 5x4 9,
					8x1 6x2			x3 5x4 9,
					7x		3x	7x			17x		0.
						1	2		3			4
Решение
5		3	2 4		3							1	1	1	3	2
5		3	2 4		3							1	1	1	3	2
	4	2	3 7		1							4	2 3 7			1
	4	2	3 7		1	{S		S	2	}		4	2 3 7			1
	8	6	1	5	9		1		2			8	6	1	5	9
	7	3	7 17		0							7	3 7 17			10
	7	3	7 17		0							7	3 7 17			10

																1			1			1			3				2
																1			1			1			3				2
																	0 2						7 19					7
{S	2	4S	,	S	3	8S		,	S	4		7S	}				0 2						7 19					7
	2	1			3		1			4		1					0		2				7		19			7
																	0		4			14			38			14
																	0		4			14			38			14
											1		1			1			3				2
											1		1			1			3				2
												0 2 7 19										7						S		2
{S3 S2 , S4 2S2}												0		0			0		0				0							2
{S3 S2 , S4 2S2}																													2
																													2
												0		0			0		0				0
												0		0			0		0				0
			1			1		1			3				2				{S				S		2	}
			1			1		1			3				2				{S				S			}
				0		1		3,5			9,5			3.5						1
				0		1		3,5			9,5			3.5
							1			0		2,5			6,5			1,5
							1			0		2,5			6,5			1,5
										1		3,5			9,5			3,5				.
							0			1		3,5			9,5			3,5
		x1 2,5x3 6,5x4 1,5,												x2 3,5x3						9,5x4							3,5.
				x1				1,5							2,5								6,5
		X		x					3,5							3,5							9,5
		X				2				0		C					1		C		2			0			.
				x						0				1			1				2			0
						3				0							0							1
				x4						0							0							1

Объяснить, как получено общее решение системы.

Домашнее задание 6.1: 1б, 2в, 2г, 4а, 4в; 6,2: 1а, 1в,1е, 2в.

ГЛАВА 6 ВЕКТОРЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ВЕКТОРЫ

Определение 1. Вектором называетсянаправленныйотрезокпрямой.

Определение 2. Длиной вектора (или его модулем) называется расстояние между началом и концом вектора.

Определение 3. Векторы, расположенные на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Определение 4. Векторы, лежащие на прямых, праллельных одной и той же плоскости, называются компланарными.

Два вектора коллинеарных, одинаково направленных, одинаковой длины считаются равными.

Определение 5. Линейной комбинацией векторов a1, , an называется вектор вида 1a1 nan , где 1, , n – любые действительные числа. Если 1 2 n 0 , то такая линейная комбинация называется тривиальной.

Определение 6. Система векторов a1, , an называется линейно

зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная. нулевому вектору. В противном случае система называется линейно независимой. Из определения следует, что если

a1, , an линейно независимы, то 1a1 nan 0 тогда и только тогда, когда 1 2 n 0 .

Определение 7. Базисом на плоскости или в пространстве называется максимальная по включению линейно независимая система векторов на плоскости или в пространстве, взятых в определенном порядке.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]