Лекции по прикладному функциональному анализу. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет информационных технологий

А. С. Терсенов

ЛЕКЦИИ ПО ПРИКЛАДНОМУ ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ

Учебное пособие

Новосибирск

2022

Предисловие

Настоящее учебное пособие посвящено применению методов функционального анализа для решения задач, возникающих в различных областях математики, таких как линейная алгебра, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление.

Воснову пособия легли лекции, которые автор читает на механико-математическом факультете НГУ.

Пособие состоит из 8 глав.

Впервой главе приводятся сведения из курса функционального анализа, касающиеся теории метрических и нормированных пространств, необходимые для дальнейшего повествования. Вторая глава посвящена принципу неподвижной точки и его приложению к разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

Третья глава посвящена теореме Брауэра о существовании неподвижной точки непрерывных отображений в конечномерных пространствах. Приведен пример применения теоремы Брауэра к задаче о существовании положительного собственного числа у матрицы с положительными элементами.

Вчетвертой главе доказывается принцип неподвижной точки Шаудера, являющийся аналогом теоремы Брауэра для бесконечномерных пространств. Приводится доказательство теоремы Лерэ-Шаудера, которая имеет широкое применение при доказательстве теорем существования для нелинейных дифференциальных операторов

счастными производными. В качестве приложения этого принципа доказывается разрешимость задачи Дирихле для обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка.

Впятой и шестой главах изложена классическая теория монотонных операторов (гл. 5) и отображений двойственности (гл. 6). Как приложение теории монотонных операторов и отображений двойственности, приведены результаты о корректности задачи Дирихле для уравнения p-лапласиана, являющегося классическим примером вырождающегося и сингулярного нелинейного эллиптического уравнения.

3

Седьмая глава посвящена дифференциальному исчислению в нормированных пространствах. Исследуются производные по Фреше и по Гато нелинейных отображений.

В восьмой главе рассматриваются вопросы выпуклого анализа. Исследуются задачи минимизации выпуклых функционалов и, тесно связанные с этими задачами, вариационные неравенства.

Пособие предназначено для студентов и аспирантов прикладных отделений математических факультетов высших учебных заведений. Также оно будет полезным для слушателей ФКПК и преподавателей математического и функционального анализа.

4

§ 1 Введение

Во введении мы приведем без доказательства некоторые сведения из теории нормированных пространств, необходимые для дальнейшего повествования.

§ 1.1 Нормированные пространства

Определение 1.1.1. Нормированное пространство B это линейное пространство над полем вещественных чисел, снабженное нормой jj jj: B 7!R, удовлетворяющей аксиомам

(a)jjxjj 0 8x 2 B, jjxjj = 0 () x = 0,

(b)jj xjj = j jjjxjj 8 x 2 B, 8 2 R,

(c)jjx + yjj jjxjj + jjyjj 8 x; y 2 B.

Определение 1.1.2. Последовательность fxng называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т.е. 8 > 0 9 N такое, что jjxn xmjj < , как только n; m > N .

Определение 1.1.3. Если всякая фундаментальная последовательность fxng из нормированного пространства B сходится к элементу x 2 B, то пространство B

называют полным.

Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем

расстояние (x; y) = jjx yjj 8 x; y 2 B.

Определение 1.1.4. Полное нормированное пространство B называется банаховым пространством.

Определение 1.1.5. Непустое множество L элементов нормированного пространства B называется линейным многообразием, если вместе с элементами x1; : : : xn

множество L содержит любую их линейную комбинацию. Замкнутое линейное многообразие L в нормированном пространстве B называется подпространством в B.

Определение 1.1.6. Пусть L непустое подмножество элементов нормированно-

5

обозначается Co(L).

Определение 1.1.7. Будем говорить, что последовательность fxng из нормированного пространства B сходится к элементу x0 2 B сильно, если jjxn x0jjB ! 0

при n ! 1.

Определение 1.1.8. Множество L элементов нормированного пространства B

называется ограниченным, если его можно заключить в некоторый шар, т.е. если

9 C > 0 такое, что 8 x 2 L выполнено jjxjjB C.

Определение 1.1.9. Пусть B линейное пространство, в котором заданы две различные нормы jj jj1, jj jj2. Нормы называются эквивалентными, если 9 ; > 0

такие, что 8 x 2 B выполнено jjxjj1 jjxjj2 jjxjj1.

§ 1.2 Компактные множества

Определение 1.2.1. Пусть B нормированное пространство и K B. Множество K называется -сетью множества K, если 8 x 2 K 9 x 2 K , такой что jjx x jjB .

Определение 1.2.2. Множество K называется вполне ограниченным, если 8 > 0

сушествует конечная -сеть K .

Заметим, что если множество K вполне ограничено, тогда 8 > 0 9 x1; : : : ; xN 2 K,

такие, что K SNk=1 B(xk; ), где B(xk; ) открытые шары с центром в xk радиуса

.

Определение 1.2.3. Пусть B нормированное пространство и K B. Если из любой последовательности fxng 2 K можно выделить сходящуюся в B подпоследовательность fxnk g, то K называют относительно компактным (предкомпактным) множеством. Если к тому же limk!1 xnk = x 2 K 8 fxnk g 2 K, то множество K называют компактным.

Теорема 1.2.4. (Критерий компактности.) Следующие утверждения являются эквивалентными

1.K X компактное множество,

2.из любой последовательности fxng 2 K можно выделить сходящуюся в K

подпоследовательность fxnk g,

6

3. K X замкнуто и вполне ограничено.

Теорема 1.2.5. (Арцела-Асколи.) Пусть K Rn компакт. Множество непрерывных функций C(K) предкомпактно тогда и только тогда, когда равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

§ 1.3 Сопряженное пространство

Теорема 1.3.1. (Теорема Хана-Банаха.) Пусть B нормированное пространство,

L B и f0 ограниченный линейный функционал на L. Тогда этот функционал может быть продолжен до некоторого линейного функционала f на всем B без увеличения нормы, т.е. jjf0jjна L = jjfjjна B.

Определение 1.3.2. Пусть B нормированное пространство и x; y 2 B. Назовем замкнутым отрезком, соединяющим x и y, совокупность точек вида x + y, где

; 0, + = 1.

Определение 1.3.3. Множество L B называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками x и y содержит и отрезок, их соединяющий.

Теорема 1.3.4. Пусть x0 ненулевой элемент нормированного пространства B, тогда существует такой непрерывный линейный функционал f, что

jjfjj = 1; f(x0) = jjx0jj:

Определение 1.3.5. Совокупность всех линейных непрерывных функционалов, определенных на B, образует линейное нормированное пространство. Оно называется сопряженным с B и обозначается B .

Норма в пространстве B вводится следующим образом

jjfjjB = sup jf(x)j: x6=0jjxjjB

Определение 1.3.6. Будем говорить, что последовательность fxng 2 B сильно сходится к элементу x 2 B, если jjxn xjjB ! 0 при n ! 1.

Определение 1.3.7. Будем говорить, что последовательность fxng 2 B слабо сходится к элементу x 2 B, если 8f 2 B числовая последовательность f(xn) ! f(x) при n ! 1.

7

Теорема 1.3.8. Если fxng слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве B, то существует такое C > 0, что jjxnjjB C, n = 1; 2; : : : , т.е. всякая слабо сходящаяся последовательность в нормированном пространстве ограничена.

Если рассмотреть B как исходное пространство, то на нем можно определить линейные непрерывные функционалы и, таким образом, говорить о пространстве

B .

Рассмотрим линейный непрерывный функционал f(x) 2 B , определенный на B. Фиксируем x 2 B, а f 2 B считаем переменным в B . Определим на B линейный функционал Fx(f) = f(x). Можно показать, что отображение : x 2 B 7 !Fx 2 B

изоморфно и изометрично, т.е. B B . Если же при этом соответствии B = B , то пространство B называют рефлексивным.

Понятия сильной и слабой (через пространство B ) сходимости в B можно определить также, как мы это делали для пространства B. Дадим теперь понятие - слабой сходимости.

Определение 1.3.9. Последовательность ffn(x)g 2 B называется -слабо сходящейся к f(x) 2 B , если 8x 2 B выполнено соотношение fn(x) ! f(x) при n ! 1.

Теорема 1.3.10. (Алаоглу.) Пусть B сепарабельно и L B ограничено. Тогда для любой последовательности ffng 2 L найдется подпоследовательность ffnk g такая, что fnk (x) ! f(x) -слабо при k ! 1 .

Теорема 1.3.11. Пусть B рефлексивно, B сепарабельно и L B ограничено. Тогда для любой последовательности fxng 2 L найдется подпоследовательность fxnk g

такая, что xnk ! x слабо при k ! 1.

8

§2 Принцип сжимающих отображений.

§2.1 Основные теоремы.

Пусть в банаховом пространстве B действует оператор (x) с областью определения

D( ) и с областью значений R( ) B. Предположим, что D( ) \ R( ) 6=;.

Определение 2.1.1. Точка x называется неподвижной точкой оператора , если

(x ) = x .

Определение 2.1.2. Пусть задано некоторое множество Q D( ). Будем говорить, что оператор является сжимающим оператором на Q, если существует q 2 (0; 1) такое, что 8 x0; x00 2 Q выполняется неравенство

jj (x00) (x0)jj qjjx00 x0jj:

Число q называется коэффициентом сжатия.

Теорема 2.1.3. Пусть оператор отображает замкнутое множество Q B в

себя и является на Q оператором сжатия с коэффициентом q. Тогда в Q оператор

имеет единственную неподвижную точку x . Пусть x0 2 Q произвольно. Образуем последовательность xn = (xn 1); n = 1; 2; : : : . Тогда fxng 2 Q и xn ! x при

n ! 1. Также справедлива оценка скорости сходимости

jjxn x jj qn jj (x0) x0jj:

1 q

Следствие 2.1.4. Пусть оператор определен на шаре Br(a) B с центром в

точке a радиуса r, и значения лежат в B. Пусть является на Br(a) оператором сжатия с коэффициентом q, причем

jj (a) ajj (1 q)r:

Тогда в Br(a) оператор имеет единственную неподвижную точку x и последовательность xn = (xn 1) ! x при n ! 1 со скоростью указанной в Теореме 2.1.3.

Теорема 2.1.5. Пусть оператор отображает замкнутое множество Q B

в себя и при некотором натуральном m оператор m является на Q оператором сжатия. Тогда в Q оператор имеет единственную неподвижную точку x .

9

§2.2 Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве.

Рассмотрим функцию x(t), определенную на отрезке [0; T ] вещественной оси, значения которой при каждом фиксированном t являются элементами банахова пространства B. Такие функции принято называть абстрактными функциями числового аргумента.

Определение 2.2.1. Функция x(t) называется непрерывной в точке t0, если

jjx(t) x(t0)jjB ! 0 при t ! t0:

Пример. Рассмотрим числовую функцию z = f(x; y) непрерывную по совокупности переменных (x; y) 2 K, где K = [a; b] [c; d]. Заметим, что при каждом фиксирован-

ном x0 2 [a; b] функция f(x0; y) (y) является элементом банахова пространства

C[c; d]. Согласно определению 2.2.1., непрерывность функции f(x; y) как абстрактной функции переменной x означает

т.е. мы имеем равномерную сходимость по y.

Определение 2.2.2. Функция x(t) имеет в точке t0 производную, если существует

определить для нее интеграл (Римана) как следующий предел

NZ b

10