Лекции по прикладному функциональному анализу. Учебное пособие

Доказательство. Пусть функция f полунепрерывна снизу. Пусть x0 предельная точка множества Ea, т.е. существует последовательность fxng 2 Ea такая, что xn ! x0 при n ! 1. Тогда, в силу полунепрерывности снизу функции f, имеем

f(x0) lim inf f(xn) a;

n!1

т.е. x0 2 Ea.

Пусть, наоборот, множество Ea замкнуто для всех a 2 R. Проведем рассуждения от противного. Пусть существует последовательность fxng 2 Ea и точка x0 такие,

Так как b < f(x0), то существует > 0 такое, что a = b + < f(x0). Рассмотрим замкнутое множество Ea. В силу (8.3), для всех достаточно больших k будем иметь xnk 2 Ea. Так как Ea замкнуто, то x0 2 Ea, т.е. f(x0) a. Это противоречит тому, что a < f(x0).

Установим связь между полунепрерывной функцией и ее надграфиком.

Теорема 8.2.3. Функция f : X 7 !R полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда замкнут ее надграфик.

Доказательство. Определим на X R функцию '(x; a) = f(x) a. Тогда f полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда ' полунепрерывна снизу на X R. Для любого r 2 R лебегово множество Er функции '(x; a) является свигом на вектор (0; r) множества epi f. Следовательно, оно замкнуто тогда и только тогда, когда замкнут надграфик функции f.

Теорема 8.2.4.

(i)Пусть f и g полунепрерывные снизу функции из X в R, тогда f + g тоже полунепрерывна снизу.

(ii)Пусть дано семейство ffig полунепрерывных снизу функций из X в R. Тогда их поточечная верхняя грань f(x) = supi fi(x) полунепрерывная снизу функция.

81

Определение 8.2.5. Функция f : X 7 !R называется слабо полунепрерывной снизу в точке x0 2 X, если для любой последовательности fxng ! x0 слабо в X, выполняется условие

lim inf f(x) f(x0):

x!x0

Теорема 8.2.6. Пусть X банахово пространство. Функция f : X 7 !R слабо полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда множество Ea слабо замкнуто.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству леммы 8.2.2. Очевидно, что слабо полунепрерывная функция является полунепрерывной. Об-

ратное в общем случае не верно. Покажем, что для выпуклых функций верно и обратное. Для начала докажем следующую лемму.

Лемма 8.2.7. Выпуклое замкнутое множество K банахова пространства X слабо замкнуто.

Доказательство. Пусть последовательность fxng K слабо сходится к x в пространстве X. Предположим x 2= K. Так как K замкнутое множество, то dist(x; K) >

0. По лемме об отделимости точки и замкнутого множества, существует линейный непрерывный функционал u 2 X такой, что

Получили, что u(x) < u(x). Указанное противоречие завершает доказательство.

Теорема 8.2.8. Пусть X банахово пространство. Пусть f : X 7 !R выпуклая полунепрерывная снизу функция. Тогда f слабо полунепрерывна снизу.

Доказательство. Так как f выпукла и слабо полунепрерывна, то ее надграфик замкнутое выпуклое множество. В силу леммы 8.2.7., оно является слабо замкнутым. Это означает, что f слабо полунепрерывна снизу.

Следствие 8.2.9. Пусть X рефлексивное банахово пространство с нормой jj jjX . Тогда f(x) = jjxjjX слабо полунепрерывная снизу функция.

82

Доказательство. Действительно, так как норма является выпуклой и непрерывной функцией, то в силу теоремы 8.2.8., она слабо полунепрерывна снизу.

§ 8.3 Минимизация выпуклых функционалов.

Будем считать, что X банахово пространство, сопряженное к которому сепарабельно, K множество в X.

Определение 8.3.1. Будем говорить, что точка x0 2 K является точкой минимума функции f на множестве K, если

f(x0) f(x) 8 x 2 K:

Теорема 8.3.2. Пусть K X ограниченное слабо замкнутое множество. Пусть f : K 7 !R выпуклая полунепрерывная снизу функция. Тогда существует точка минимума x0 функции f на множестве K, т.е.

Доказательство. Пусть fxng K минимизирующая последовательность, т.е.

lim f(xn) = inf f(x):

n!1 x2K

Так как множество K ограничено, то в силу рефлексивности пространства X, существуют подпоследовательность fxnk g и элемент x0 2 X такие, что fxnk g слабо сходится к x0. В силу слабой замкнутости множества K, элемент x0 2 K.

Далее, функция f выпуклая и полунепрерывная снизу, поэтому она слабо полунепрерывна снизу по теореме 8.2.8. В силу этого, справедлива следующая цепочка неравенств:

Это означает, что точка x0 точка минимума функции f на множестве K.

Теорема 8.3.3. Пусть K X ограниченное, выпуклое и замкнутое множество. Пусть f : K 7 !R выпуклая полунепрерывная снизу функция. Тогда существует точка минимума x0 функции f на множестве K.

83

Доказательство. Утверждение теоремы непосредственно следует из леммы 8.2.7. и теоремы 8.3.2.

Определение 8.3.4. Функция f называется коэрцитивной на множестве K, если f(x) ! 1 при x 2 K и jjxjjX ! 1.

Теорема 8.3.5. Пусть K X выпуклое и замкнутое множество. Пусть f :

K 7 !R выпуклая полунепрерывная снизу коэрцитивная функция. Тогда существует точка минимума x0 функции f на множестве K.

Доказательство. Пусть fxng минимизирующая последовательность, т.е.

Из коэрцитивности следует, что она ограничена. Действительно, если бы она была неограничена, то f(xn) ! 1 при jjxjjX ! 1 что противоречит (8.5). Далее доказательство теоремы повторяет доказательство Теоремы 8.3.2.

Замечание. Легко показать, что если в дополнение к Теоремам 8.3.2., 8.3.3., 8.3.5. потребовать, чтобы функция f была строго выпукла, то точка минимума единственна.

§ 8.4 Вариационные неравенства.

Задачи минимизации выпуклых функций тесно связаны с понятием вариационных неравенств. Дополнительно потребовав, чтобы функция являлась дифференцируемой, можно выписать необходимые и достаточные условия существования минимума.

Теорема 8.4.1. Пусть X нормированное пространство. Пусть f : K 7 !R

имеет производную Гато fc0(x0). Пусть, кроме того, в некоторой окрестности U

точки x0 выполняется неравенство

Тогда функция f слабо полунепрерывна снизу в точке x0.

Доказательство. Если последовательность fxng слабо сходится к x0, то

lim fc0(x0)[xn x0] = 0:

n!1

84

Отсюда и из (8.6) получаем, что

lim inf f(xn) f(x0);

n!1

т.е. f слабо полунепрерывная снизу функция в точке x0.

Теорема 8.4.2. Пусть X нормированное пространство. Пусть f : K 7 !R

имеет производную Гато fc0 в каждой точке x выпуклого множества K. Пусть, кроме того, неравенство (8.6) выполнено для всех точек x0; x 2 K. Тогда функция f слабо полунепрерывна снизу на K и выпукла.

Доказательство. Слабая полунепрерывность снизу следует из теоремы 8.4.1. Покажем выпуклость функции f. Положим x0 = x1 + (1 )x2, где x1; x2 2 K, 2 [0; 1]. Из (8.6) следует, что справедливы неравенства

f(x1) f(x0) + fc0(x0)[x1 x0];

f(x2) f(x0) + fc0(x0)[x2 x0]:

Умножая первое неравенство на , а второе на (1 ), после сложения получим

f(x1)+(1 )f(x2) f(x0)+fc0(x0)[ x1 +(1 )x2 x0] = f(x0) = f( x1 +(1 )x2);

т.е. f выпуклая функция.

Теорема 8.4.3. Пусть X нормированное пространство. Пусть f : K 7 !R имеет производную Гато fc0 в каждой точке x выпуклого множества K. Тогда функция f является выпуклой тогда и только тогда, когда неравенство (8.6) выполнено для всех точек x0; x 2 K.

Доказательство. Пусть f выпукла, т.е. для любого 2 (0; 1) и всех x; x0 2 K

выполнено

f( x + (1 )x0) f(x) + (1 )f(x0);

тогда

f(x0 + (x x0)) f(x0) f(x) f(x0):

Переходя к пределу при ! 0, получаем (8.6).

Справедливость же обратного утверждения мы доказали в теореме 8.4.2.

85

Выпуклость гладкой функции влечет за собой монотонность ее производной Гато.

Теорема 8.4.4. Пусть X нормированное пространство. Пусть f : K 7 !R

дифференцируемая по Гато функция на выпуклом множестве K. Тогда f является выпуклой тогда и только тогда, когда ее производная Гато fc0 является монотонным оператором из X в X , т.е.

Доказательство. Пусть функция f выпукла, тогда для всех x1; x2 2 K имеем

f(x1) f(x2) fc0(x2)[x1 x2]; f(x2) f(x1) fc0(x1)[x2 x1]:

Складывая эти неравенства, получим (8.7). Пусть теперь дано, что fc0 монотонный оператор. Покажем, что f выпуклая функция. Для этого рассмотрим вспомогательную функцию

(t) = f(x2 + t(x1 x2))

и положим

s = tf(x1) + (1 t)f(x2) f(tx1 + (1 t)x2):

Легко видеть, что из s 0 следует выпуклость функции f. Итак имеем

s = t(f(x1) f(tx1 + (1 t)x2)) + (1 t)(f(x2) f(tx1 + (1 t)x2)) =

t(1 t) 0c( ) t(1 t) 0c( ) = t(1 t)( 0c( ) 0c( )):

В (8.8) мы воспользовались формулой конечных приращений Лагранжа. Поэтому

2 (t; 1), 2 (0; t) и, следовательно, > . Далее, используя определение функции

(t) и теорему о дифференцировании сложной функции, получаем

s = t(1 t)(fc0(x2 + (x1 x2))[x1 x2] fc0(x2 + (x1 x2))[x1 x2]) =

t(1 t)(fc0(x2 + (x1 x2)) fc0(x2 + (x1 x2))[x1 x2]) =

t(1 t)(fc0(x2 + (x1 x2)) fc0(x2 + (x1 x2)))[(x2 + (x1 x2)) (x2 + (x1 x2))] 0:

86

Сформулируем теперь и докажем теоремы, характеризующие решение задачи минимизации (8.4) случаях, когда функция f дифференцируема или представима в виде дифференцируемой и недифференцируемой функций.

Теорема 8.4.5. Пусть X рефлексивное банахово пространство. K выпуклое замкнутое множество в X. Пусть f : K 7 !R выпуклая, собственная, полунепрерывная снизу, дифференцируемая по Гато функция. При этом производная fc0

непрерывна на K. Тогда следующие условия равносильны,

Доказательство. Покажем, что из (8.9) =) (8.10). Пусть x0 решение задачи (8.4), тогдадля любого 2 (0; 1) справедливо неравенство

f(x0) f((1 )x0 + x)

и, значит,

1

f(x0 + (x x0)) f(x0) 0:

Переходя к пределу при ! 0, получаем, что

fc0(x0)[x x0] 0;

т.е. утверждение (8.10).

Пусть теперь верно (8.10). Покажем, что из (8.10) =) (8.9). В силу теоремы 8.4.3., выпуклость f эквивалентна неравенству (8.6). Следовательно, из (8.10) получаем, что f(x) f(x0) для всех x 2 K, т.е. x0 точка минимума функции f на множестве

K.

Покажем, что из (8.10) =) (8.11). Так как функция f выпукла, то ее производная по Гато является монотонным оператором из X в X . В частности, получаем

(fc0(x) fc0(x0)[x x0] 0 8 x 2 K:

87

В силу выпуклости f2, имеем

f1(x0) + f2(x0) f1((1 )x0 + x) + (1 )f2(x0) + f2(x):

Откуда сразу получаем

1

(f1((1 )x0 + x) f1(x)) + f2(x) f2(x0) 0:

Переходя к пределу в последнем неравенстве при ! 0, получаем (8.14). Докажем обратную импликацию, т.е. из (8.14) =) (8.13). В силу выпуклости f1,

из теоремы 8.4.3. следует

Складывая неравенства (8.14) и (8.16), получаем

f(x) f(x0) 0 8 x 2 K;

что означает выполнение (8.13).

Покажем теперь, что (8.14) () (8.15). Из монотонности f10c (см. теорему 8.4.4.) вытекает, что

(f10c(x) f10c(x0)[x x0] 0:

Складывая это неравенство с (8.14), получим (8.15).

Пусть теперь, наоборот, x0 удовлетворяет (8.15). Возьмем x = (1 )x0 + y, где

2 (0; 1), y 2 K, и подствим в (8.15). В результате получим

f10c((1 )x0 + y)[y x0] + f2((1 )x0 + y) f2(x0) 0:

Используя выпуклость f2, отсюда получаем

f10c((1 )x0 + y)[y x0] + (f2(y) f2(x0)) 0:

Разделив полученное неравенство на и устремив к нулю, получим (8.14).

89

Список литературы

[1].Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В., Оптимальное управление, М.:, 1979. 429 с.

[2].Киндерлерер Д., Стампаккья Г., Введение в вариационные неравенства и их приложения, М.: Мир, 1983. 256 с.

[3].Ковригин А.Б., Математический анализ динамических систем, учебное пособие, Ленинград: Издательство ЛГУ, 1980. 155 с.

[4].Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1976. 542 с.

[5].Лионс Ж.Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.: Мир, 1972. 588 с.

[6].Рудой Е.М., Саженков С.А., Саженкова Е.В., Прикладной функциональный анализ, учебное пособие/ НГУ, Новосибирск, 2012. 88 с.

[7].Треногин В.А., Функциональный анализ, М.: Наука, 1993. 440 с.

[8].Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Мир, 1970.

720с.

[9].Evans L.C., Partial di erential equations, Graduate studies in mathematics, American Mathematical Society, 1997. 662 p.

[10].Экланд И., Темам Р., Выпуклый анализ и вариационные проблемы, М.: Мир, 1979. 400 с.

90