Лекции по прикладному функциональному анализу. Учебное пособие

§7.4 Частные производные. Теорема о полном дифференциале.

Будем предполагать, что X, Y , Z нормированные пространства и задана область

U X Y . Пусть F : U 7 !Z.

Определение 7.4.1. Пусть U окрестность некоторой точки (x0; y0) 2 X Y . Если отображение x 7 !F (x; y0) дифференцируемо по Фреше в точке x0, то его производную называют частной производной по Фреше по x отображения F в

точке (x0; y0) и обозначают

@F

Fx(x0; y0) @x (x0; y0):

Аналогично определяется частная производная по y.

Также мы будем говорить о частных производных по Гато Fxc(x; y0) и Fyc(x0; y), которые определяются таким же образом, как и частные производные по Фреше.

Теорема 7.4.2. (О полном дифференциале.) Пусть X, Y , Z нормированные пространства, U X Y окрестность в X Y . Пусть отображение F : U 7 !Z

имеет в каждой точке (x; y) 2 U частные производные Fxc(x; y) и Fyc(x; y) в смысле Гато. Если отображения Fxc(x; y) и Fyc(x; y) непрерывны в точке (x0; y0), то F

дифференцируема по Фреше в (x0; y0) и справедливо равенство

Доказательство. Выберем и такими, чтобы (x0 + ; y0 + ) 2 U. Рассмотрим следующее выражение

= F (x0 + ; y0 + ) F (x0; y0) Fxc(x0; y0)[ ] Fyc(x0; y0)[ ]

ипокажем, что

Действительно,

F (x0 + ; y0 + ) F (x0; y0) Fxc(x0; y0)[ ] Fyc(x0; y0)[ ] =

71

F (x0 + ; y0 + ) F (x0 + ; y0) + F (x0 + ; y0) F (x0; y0)

Fxc(x0; y0)[ ] Fyc(x0 + ; y0)[ ] + Fyc(x0 + ; y0)[ ] Fyc(x0; y0)[ ] =

F (x0 + ; y0) F (x0; y0) Fxc(x0; y0)[ ]+

F (x0 + ; y0 + ) F (x0 + ; y0) Fyc(x0 + ; y0)[ ]+

Fyc(x0 + ; y0)[ ] Fyc(x0; y0)[ ]:

Далее

jjF (x0 + ; y0 + ) F (x0; y0) Fxc(x0; y0)[ ] Fyc(x0; y0)[ ]jj

jjF (x0 + ; y0) F (x0; y0) Fxc(x0; y0)[ ]jj+

jjF (x0 + ; y0 + ) F (x0 + ; y0) Fyc(x0 + ; y0)[ ]jj+

jjFyc(x0 + ; y0)[ ] Fyc(x0; y0)[ ]jj:

Используя (7.7), получаем

jjF (x0 + ; y0) F (x0; y0) Fxc(x0; y0)[ ]jj sup jjFxc(x0 + ; y0) Fxc(x0; y0)jjjj jj;

0 1

jjF (x0 + ; y0 + ) F (x0 + ; y0) Fxc(x0 + ; y0)[ ]jj

sup jjFxc(x0 + ; y0 + ) Fxc(x0 + ; y0)jjjj jj;

0 1

jjFyc(x0 + ; y0)[ ] Fyc(x0; y0)[ ]jj jjFyc(x0 + ; y0) Fyc(x0; y0)jjjj jj:

В то же время заметим, что, в силу непрерывности Fxc и Fyc в точке (x0; y0), при jj jj; jj jj <

sup jjFxc(x0 + ; y0) Fxc(x0; y0)jj 1(x0 + );

0 1

sup jjFxc(x0 + ; y0 + ) Fxc(x0 + ; y0)jj 2(x0 + ) + 3(y0 + );

0 1

jjFyc(x0 + ; y0) Fyc(x0; y0)jj 4(x0 + );

где

1(x0 + ) ! 0; 2(x0 + ) ! 0 при jj jj ! 0;

3(y0 + ) ! 0 при jj jj ! 0; 4(x0 + ) ! 0 при jj jj ! 0:

72

Откуда вытекает

jj jj ( 1(x0 + ) + 2(x0 + ) + 4(x0 + ))jj jj + jj jj 3(y0 + );

что немедленно влечет (7.12), т.е. дифференцируемость по Фреше. В свою очередь (7.12) дает нам (7.11).

Следствие 7.4.3. Пусть X, Y , Z нормированные пространства, U X Y

окрестность в X Y . Пусть отображение F : U 7 !Z имеет в каждой точке

(x; y) 2 U частные производные Fxc(x; y) и Fyc(x; y) в смысле Гато. Если отображения Fxc(x; y) и Fyc(x; y) непрерывны в U, то F непрерывно дифференцируема по Фреше на U, и наоборот.

§ 7.5 Теорема о неявной функции.

Одна из важнейших теорем классического анализа, имеющая разнообразные применения, это теорема о неявной функции. Мы сейчас покажем, что эта теорема без особых изменений переносится с числовых функций на отображения произвольных банаховых пространств.

Теорема 7.5.1. (О неявной функции.) Пусть X, Y , Z нормированные пространства, U X Y окрестность точки (x0; y0) 2 X Y . Пусть отображение

F : U 7 !Z обладает следующими свойствами:

1.F непрерывно в точке (x0; y0).

2.F (x0; y0) = 0.

3.Частная производная Fy0(x; y) существует в U и непрерывна в точке (x0; y0), а

оператор Fy0(x0; y0) имеет ограниченный обратный.

Тогда уравнение F (x; y) = 0 разрешимо в некоторой окрестности точки (x0; y0). Точнее это означает следующее: существуют такие > 0 и > 0 и отображение

определенное при jjx x0jj < и непрерывное в точке x0, что каждая пара (x; y), для которой jjx x0jj < и y = f(x), удовлетворяет уравнению

73

и обратно, каждая пара (x; y), удовлетворяющая (7.14) и условиям jjx x0jj , jjy y0jj , удовлетворяет и (7.13).

Доказательство. Обозначим через U(x) Y совокупность тех y, для которых (x; y) 2

Для доказательства существования решения уравнения (7.15) применим принцип сжимающих отображений. С этой целью покажем, что для достаточно малого > 0

найдется > 0, что при jjx x0jj < отображение A(x) является сжимающим и переводит шар jjy y0jj < в себя. Начнем с того, что вычислим и оценим производную отображения A(x). Из (7.2), а также из формулы дифференцирования сложной функции и производной линейного отображения, имеем

A0(x)(y) = I Fy0(x0; y0) 1 Fy0(x; y) = Fy0(x0; y0) 1 (Fy0(x0; y0) Fy0(x; y)):

В силу непрерывности производной Fy0 мы можем выбрать > 0 и > 0 так, что

jjA0(x)(y)jj q < 1:

Это неравенство, в силу формулы конечных приращений, означает, что отображение

A(x) пространства Y при любом x, удовлетворяющем неравенству jjx x0jj < , на шаре jjy y0jj < является сжимающим. Оценим теперь норму разности jjA(x)y0 y0jj. Имеем

В силу непрерывности отображения F , последнее выражение можно сделать сколь угодно малым за счет выбора . Пусть настолько мало, что

jjA(x)y0 y0jj < (1 q) приxjj x0jj < :

74

Проверим, что при таком отображение A(x) переводит замкнутый шар jjy y0jj <

в себя. Действительно, если jjx x0jj < , jjy y0jj < , то из формулы конечных приращений получим

jjA(x)y y0jj jjA(x)y0 y0jj + jjA(x)y A(x)y0jj

(1 q) + sup jjA0(x)(y0 + (y y0)jjjjy y0jj (1 q) + q = :

0 1

Таким образом при jjx x0jj < отображение A(x) переводит замкнутый шар jjy y0jj < в себя и является на нем сжимающим. Значит в этом шаре существует единственная неподвижная точка y = f(x), т.е. точка, для которой

y = y Fy0(x0; y0) 1 F (x; y );

т.е, в силу условия 3 теоремы

F (x; y ) = 0:

Отображение f и есть искомое. Действительно, справедливость уравнения (7.14) проверена. Равенство f(x0) = y0 вытекает из единственности неподвижной точки для отображения A(x0). Непрерывность же построенной функции f следует из того, что в приведенных рассуждениях может быть сделано сколь угодно малым.

Замечание. Нетрудно показать, что если в теореме 7.5.1. предположить отображение F непрерывным во всем U, то отображение f будет непрерывным в некоторой окрестности точки (x0; y0), а не только в ней.

Нижеследующая теорема дает условия, при которых отображение, определяемое уравнением F (x; y) = 0, является дифференцируемым.

Теорема 7.5.2. Пусть выполнены условия теоремы 7.5.1. Пусть, кроме того, в U

существует частная производная Fx0 непрерывная в точке (x0; y0). Тогда отображение f дифференцируемо в точке (x0; y0) и

Доказательство. Обозначим выражение, стоящее в правой части (7.16) через . Оно представляет собой линейный оператор, действующий из X в Y . Доказать, что этот оператор служит производной отображения f в точке x0, это значит доказать,

75

что для любого > 0 существует такое > 0, что при любом x таком, что jjx x0jj < , выполнено неравенство

Полагая f(x) = y, заменяя f(x0) на y0, а оператор его выражением (7.16), имеем

f(x) f(x0) [x x0] = y y0 + Fy0(x0; y0) 1 Fx0(x0; y0)[x x0] =

Fy0(x0; y0) 1 Fx0(x0; y0)[x x0] + Fy0(x0; y0)[y y0] :

Используя формулу конечных приращений и тот факт, что F (x; y) = F (x0; y0) = 0, получаем

jjf(x) f(x0) [x x0]jj

Fy0(x0; y0) 1 jjF (x; y) F (x0; y0) Fx0(x0; y0)[x x0] Fy0(x0; y0)[y y0]jj =

jjF (x; y) F (x; y0) + F (x; y0) F (x0; y0) Fx0(x0; y0)[x x0]

Fy0(x0; y0)[y y0] Fy0(x; y0)[y y0] + Fy0(x; y0)[y y0]jj =

jjF (x; y) F (x; y0) Fy0(x; y0)[y y0] + F (x; y0) F (x0; y0) Fx0(x0; y0)[x x0]

Fy0(x0; y0)[y y0] + Fy0(x; y0)[y y0]jj

jjF (x; y) F (x; y0) Fy0(x; y0)[y y0]jj + jjF (x; y0) F (x0; y0) Fx0(x0; y0)[x x0]jj+

jj Fy0(x0; y0)[y y0] + Fy0(x; y0)[y y0]jj (по формуле конечных приращений

sup jjF 0(x; y0 + y(y y0)) F 0(x; y0)jjjjy y0jj+

0 y 1

sup jjF 0(x0 + x(x x0); y0) F 0(x0; y0)jjjjx x0jj+

0 x 1

jjFy0(x0; y0) Fy0(x; y0)jjjjy y0jj (jjx x0jj + jjy y0jj);

где величина может быть сделана сколь угодно малой в силу непрерывности производных Fx0 и Fy0, если величина достаточно мала. Таким образом, мы получили, что

jjf(x) f(x0) [x x0]jj (jjx x0jj + jjf(x) f(x0)jj)

jjx x0jj + jj [y y0]jj + jjf(x) f(x0) [y y0]jj :

76

Отсюда при достаточно малом получаем

jjf(x) f(x0) [y y0]jj (1 ) 1(1 + jj jj)jjx x0jj;

и для доказательства неравенства (7.17) остается лишь выбрать так, чтобы

(1 ) 1(1 + jj jj)jjx x0jj < :

Теорема доказана.

77

§8 Элементы выпуклого анализа.

§8.1 Выпуклые функции.

Будем рассматривать функции, действующие из множества A нормированного пространства X в расширенную числовую прямую R = R [ f 1g [ f1g.

Определение 8.1.1. Пусть A выпуклое множество и f : A 7 !R. Функция f

называется выпуклой, если для всех x1; x2 2 A и для всех 2 [0; 1] выполняется неравенство

Говорят, что f строго выпукла, если в (8.1) имеет место строгое неравенство для

всех x1 6=x2 и 2 (0; 1).

Считается, что условие (8.1) выполняется всегда, кроме случаев, когда f(x1) =

f(x2) = 1.

Замечание. По индукции можно показать, что f выпукла тогда и только тогда, когда для всех x1; : : : ; xn 2 A и для всех 1; : : : ; n 2 [0; 1] таких, что их сумма равна единице, выполняется

Определение 8.1.2. Для любой функции f : X 7 !R множество

dom f = fx 2 X : f(x) < 1g

назовем эффективным множеством функции f.

Замечание. Пусть задана функция f : A 7 !R. Рассмотрим функцию

Очевидно, что функция f~ выпукла тогда и только тогда, когда A выпуклое множество и f выпуклая функция. Поэтому в теории выпуклых функций можно рассматривать только выпуклые функции, определенные на всем пространстве X.

Определение 8.1.3. Функция f называется собственной, если f(x) 6= 1 для всех x 2 X и существует x0 такой, что f(x0) 6= 1.

78

Определение 8.1.4. Пусть дано множество A X. Индикатором (или индикаторной функцией) множества A называется функция

Определение 8.1.5. Надграфиком функции f : X 7 !R называется множество

epi f = f(x; a) 2 X R : f(x) ag

Надграфик функции f это совокупность точек из X R, которые лежат "над"графиком f. Проекция epi f на X это эффективное множество dom f.

Теорема 8.1.6. Функция f : X 7 !R является выпуклой тогда и только тогда, когда ее надграфик выпуклое множество.

Доказательство. Пусть f выпукла и точки (x1; a1) и (x2; a2) принадлежат надграфику. Тогда по определению надграфика имеем f(x1) a1 < 1 и f(x2) a2 < 1. В силу выпуклости f, для любого 2 [0; 1] имеем

f( x1 + (1 )x2) f(x1) + (1 )f(x2) a1 + (1 )a2:

Это означает, что точка (x1; a1) + (1 )(x2; a2) принадлежит надграфику, т.е. epi f

выпуклое множество.

Пусть теперь epi f выпукло. Тогда его проекция dom f выпуклое множество. Таким образом, в силу предыдущего замечания, достаточно показать, что (8.1) выполняется на dom f. Возьмем x1; x2 2 dom f и числа a1 f(x1), a2 f(x2). В силу выпуклости надграфика, для любого 2 [0; 1] имеем (x1; a1)+(1 )(x2; a2) 2 epi f, поэтому

f( x1 + (1 )x2) a1 + (1 )a2:

Если f принимает в x1, x2 конечные значения, то достаточно положить a1 = f(x1), a2 = f(x2). Если же f(x1) и f(x2) равны 1, то нужно a1 или a2 устремить к 1. Тогда (8.1) также будет иметь место.

79

Теорема 8.1.7.

(i) Пусть f : X 7 !R является выпуклой функцией, тогда для любого 0

функция f тоже выпукла.

(ii)Пусть f и g выпуклые функции из X в R, тогда f + g выпукла (при этом, если f(x) = g(x) = 1, то (f + g)(x) = 1.

(iii)Пусть дано семейство ffig выпуклых функций из X в R. Справедливо, что их поточечная верхняя грань f(x) = supi fi(x) выпуклая функция.

Теорема 8.1.8. (Непрерывность выпуклых функций.) Если в некоторой окрестности точки x выпуклая функция ограничена сверху, то f непрерывна в точке x.

Доказательство. С помощью переноса сведем все к случаю, когда x = 0 и f(0) = 0. Пусть U окрестность точки 0 2 X, в которой f ограничена, т.е. существует положительное число a > 0 такое, что f(x) a < 1 для всех x 2 X. Положим

= U ( U) симметричная окрестность нуля. Пусть 2 (0; 1). Если x 2 , то, в

Отсюда следует , что jf(x)j a для всех x 2 , т.е. f непрерывна в нуле.

§ 8.2 Полунепрерывные снизу функции.

Определение 8.2.1. Функция f : X 7 !R называется полунепрерывной снизу на

X, если для всех x0 2 X выполняется условие

lim inf f(x) f(x0):

x!x0

Лемма 8.2.2. Функция f : X 7 !R полунепрерывна снизу тогда и только тогда, когда лебегово множество

Ea = fx 2 X : f(x) ag

замкнуто для всех a 2 R.

80