Лекции по прикладному функциональному анализу. Учебное пособие

jjT xn(jjT xmjj jjT xnjj) + T xnjjT xnjj T xmjjT xnjjjj

jjT xnjj jjT xmjj jjT xnjj + jjT xnjjjjT xn T xmjj

jjT xnjj + jjT xnjj = 2 jjT xnjj ! 0 при ! 0;

следовательно, T компактный оператор.

Пусть теперь jjT xmjj < 1 и jjT xnjj > 1, тогда jjT xnjj; jjT xmjj ! 1 при n; m ! 1. Следовательно,

закнутое выпуклое множество в себя и, следовательно, по второй теореме Шаудера

этому неравенству должно удовлетворять x~, так как оно является решением этого уравнения, т.е. jjx~jj < M. А это противоречит полученному ранее равенству jjx~jj = M. Следовательно, jjT x~jj < 1, откуда немедленно получаем

x~ = T x~ = T x:~

41

§5 Теория монотонных операторов.

§5.1 Свойства монотонных операторов

Пусть V сепарабельное рефлексивное банахово пространство, V сопряженное с V пространство линейных функционалов на V . Для x 2 V и f 2 V будем писать

f(x) = hf; xi;

где h i скобки двойственности.

Определение 5.1.1. Оператор A : V 7 !V называется монотонным, если для любых x; y 2 V выполняется

hA(x) A(y); x yi 0:

Определение 5.1.2. Оператор A : V 7 !V называется строго монотонным, если для любых x; y 2 V выполняется

hA(x) A(y); x yi > 0:

Определение 5.1.3. Оператор A : V 7 !V называется ограниченным, если он переводит ограниченное множество из V в ограниченное множество из V .

Определение 5.1.4. Оператор A : V 7 !V называется семинепрерывным, если функция

7 ! hA(u+ v); wi

непрерывна как функция из R 7 !R, для любых u; v; w 2 V .

42

Пример. Рассмотрим пространство L2( ), ограниченное множество в Rn. Опре-

делим в этом пространстве оператор

Z

A : u 2 L2 7 !A(u); hA(u); vi = u(x)v(x)dx:

Очевидно, A(u) 2 L2( ) = L2( ). Исследуем свойства этого функционала. Покажем,

что он монотонный. Действительно,

Z Z

hA(u) A(v); u vi = u(x)(u(x) v(x))dx v(x)(u(x) v(x))dx =

Z

(u(x) v(x))2dx 0:

Легко заметить, что скобки двойственности обращаются в нуль только при u(x) =

v(x), следовательно оператор A строго монотонный. Далее

( 1 2)vwdx j 1 2j jvjjwjdx j 1 2jjjvjjL2 jjwjjL2 ;

следовательно, если j 1 2j ! 0, тогда

откуда вытекает семинепрерывность оператора A. Из неравенства

ZZ

jhA(u); vij = uvdx jujjvjdx jjujjL2 jjvjjL2

следует, что

Таким образом, если jjujjL2 K, где K некоторая постоянная, тогда

43

ограниченный, семинепрерывный, монотонный оператор, тогда A непрерывен.

Доказательство. Пусть последовательность fukg ! u 2 V сильно в V . Из сильной сходимости последовательности fukg вытекает ее ограниченность, т.е. существует

постоянная C1 > 0 такая, что для любого k выполнено jjukjjV C1. Оператор A

ограничен, следовательно, существует постоянная C2 > 0 такая, что jjA(uk)jjV C2

для любого k. Используя ограниченность последовательности, fA(uk)g получаем

Последовательность fA(uk)g ограничена и, следовательно, по теореме Алаоглу - слабо компактна, т.е. существует подпоследовательность fA(ukl)g такая, что

Для простоты будем считать, что к сходится сама последовательность fA(uk)g. Непрерывность оператора A эквивалентна равенству = A(u). Из (5.1) и (5.2) имеем

hA(uk); uk vi = hA(uk); uk u + u vi =

Из (5.3) следует

в силу монотонности оператора A. Положим в (5.4) v = u + w, где > 0 и w 2 V

произвольны, тогда

из Ah(u + w) ; wi 0 следуетA(uh + w) ; wi 0:

44

Устремим ! 0 в последнем неравенстве и, используя семинепрерывность оператора, установим, что

hA(u) ; wi 0 8 w 2 V:

В силу произвольности w, можно заменить w на w и получить обратное неравенство, т.е.

hA(u) ; wi 0 8 w 2 V:

Из последних двух неравенств немедленно вытекает, что

hA(u) ; wi = 0 8 w 2 V =) A(u) =

и, следовательно, оператор A непрерывен.

§ 5.2 Теорема о разрешимости операторных уравнений

Прежде чем перейти к доказательству теорем о разрешимости операторных уравнений с монотонными операторами, докажем одну вспомогательную лемму.

Лемма об остром угле. Пусть P : Rn 7 !Rn непрерывное отображение такое, что для подходящего > 0 имеет место неравенство

(P ( ); ) 0 8 2 fj j = g;

тогда найдется точка 2 B(0; ) такая, что P ( ) = 0.

Доказательство. Пусть такой точки не существует. Тогда отображение

P : 7 ! P( )jP ( )j;

которое переводит B(0; ) 7 !B(0; ), непрерывно. Из теоремы Брауэра следует, что существует точка 0 2 B(0; ) такая, что 0 = P ( 0), т.е.

(P ( 0); 0) = P ( 0); P ( 0)jP ( 0)j = jP ( 0)j(P ( 0); 0) =

45

jP ( 0)jjP ( 0)j2 = jP ( 0)j < 0;

так как > 0, P ( 0) 6=,0что противоречит условию (P ( 0); 0) 0. Из этого противоречия получаем, что существует такая, что P ( ) = 0.

Теорема о разрешимости операторного уравнения. Пусть V рефлексивное, сепарабельное банахово пространство, имеющее базис Шаудера, A : V 7 !V

ограниченный, семинепрерывный, монотонный и коэрцитивный оператор. Тогда для любого f 2 V уравнение A(u) = f имеет по крайней мере одно решение.

Доказательство. Проведем доказательство в три этапа.

I этап. Метод Галеркина. Пусть fwig счетный базис Шаудера сепарабельного пространства B, т.е.

Лемма 5.2.1. Система Галеркина (5.6) всегда разрешима, т.е. существует вектор

m

2 Rm такой, что um = P iwi удовлетворяет (5.6).

i=1

Доказательство. Доказательство разрешимости (5.6) основано на применении леммы об остром угле. Определим отображение P ( ) : Rm 7 !Rm по правилу

46

В силу коэрцитивности оператора A, существует 1 > 0 такой, что правая часть, а, следовательно, и левая, неотрицательны, т.е. мы имеем

Покажем, что для любого 2 > 0 существует 3 > 0 такое, что для любого 2 fj j =

2g выполнена оценка

i=1 V

Действительно, пусть это не так, тогда существует последовательность f kg 2 Rm

m

такая, что j kj = 2 и 'km ! 0 при k ! 1. Так как отображение 7 !'m = iwi

i=1

При таких соотношениях между и и таком выборе имеем, что

j j = 2 =) j j = :

(P ( ); ) 0 8 2 fj j = g:

Замечаем, что отображение P ( ) является непрерывным на Rm, так как отображение

7 !'m( i) является гомеоморфизмом и 'm 7 !A('m) непрерывно, в силу непрерывности оператора A. Таким образом, отображение P ( ) удовлетворяет условиям

леммы об остром угле и, следовательно, существует ~ 2 такое, что

B(0; )

~ ) h i h i

P ( ) = 0 = A(um); um = f; um ;

откуда сразу получаем

m

h i h i X ~

A(um); wi = f; wi ; um = iwi;

i=1

47

т.е. um решает систему Галеркина (5.6).

II этап. Предельный переход в галеркинских приближениях. Так как um

решает уравнение

hA(um); umi = hf; umi;

следовательно, имеем, что

hA(um); umi = hf; umi jjfjjV jjumjjV :

Разделив все на jjumjjV , получим

hA(um); umi fV : (5.12) jjumjjV

Так как A коэрцитивен, левая часть будет стремиться к бесконечности, если jjumjjV ! 1, что противоречит (5.12) и, следовательно, существует постоянная C0 > 0 такая, что

Из (5.13), учитывая ограниченность оператора A, вытекает, что существует постоянная C1 такая, что

Из рефлексивности и сепарабельности пространства B, а также оценок (5.13), (5.14), вытекает, что из последовательности fumg можно выделить сходящуюся подпоследовательность fumk gтакую, что

Переходя к пределу при k ! 1 в системе (5.1), получаем, используя (5.16), hA(umk ); wii = h ; wii; h ; wii = hf; wii;

и, в силу плотности множества spanfwig в V , = f. Кроме того, из (5.15) вытекает

hA(umk ); umk i = hf; umk i ! hf; ui;

48

III Этап. Остается установить, что = A(u). Действительно, ведь тогда из = f

сразу вытекает A(u) = f. Из монотонности оператора A следует

hA(umk ) A(v); umk vi 0; 8 v 2 V:

Перейдем к пределу при k ! 1 в этом неравенстве. Имеем

hA(umk ); umk i ! h ; ui; hA(umk ); vi ! h ; vi;

hA(v); umk i ! hA(v); ui; k ! 1:

Из этих соотношений следует

lim hA(umk ) A(v); umk vi = h A(v); u vi 0; 8 v 2 V:

k!1

Положим v = u w. Тогда

h A(u w); wi 0 =) h A(u w); wi 0; > 0; 8 w 2 V:

Переходя к пределу при ! 0, получаем

h A(u); wi 0; 8 w 2 V:

Взяв вместо w ! w, получаем обратное неравенство и как следствие имеем

h A(u); wi = 0 =) = A(u):

Перейдем к исследованию единственности операторного уравнения. Для начала, рассмотрим простой вариант теоремы единственности, который звучит следующим образом.

Теорема (единственности). Пусть A : V 7 !V строго монотонный оператор. Тогда уравнение A(u) = f имеет не более одного решения.

Доказательство. Пусть A(u) = f, A(v) = f. Тогда

hA(u) A(v); u vi = 0

и, в силу строгой монотонности, это имеет место только при u = v.

49

Перейдем теперь к более сильному варианту теоремы единственности, не предполагающему строгой монотонности. Для этого введем несколько понятий, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Определение 5.2.2. Пространство V называется строго выпуклым, если для любых u, v, u 6= v, > 0 имеет место неравенство

jj u + (1 )vjjV < jjujjV + (1 )jjvjjV ; 2 [0; 1]:

Определение 5.2.3. Пусть 2 R фиксировано, B банахово пространство, v 2 V фиксированный линейный функционал над V . Множество

S = fu 2 V; hv; ui g

называется полупространством в V . Замкнутость этого множества очевидна, а выпуклость проверяется непосредственно.

Теорема существования и единственности решения операторного уравнения. Пусть V рефлексивное, сепарабельное банахово пространство. A : V 7 !V

ограниченный, семинепрерывный, монотонный и коэрцитивный оператор. Предположим, что пространство V строго выпукло и справедливо следующее условие:

из A(u) = A(v) =) jjujjV = jjvjjV :

Тогда уравнение A(u) = f имеет единственное решение.

Доказательство. Проведем доказательство в четыре этапа. На первых трех этапах мы докажем вспомогательные леммы, а четвертый этап будет заключаться в непосредственном доказательстве результата, сформулированного в теореме.

I этап. Лемма о вариационном неравенстве.

Лемма о вариационном неравенстве. Элемент u 2 V является решением операторного уравнения A(u) = f тогда и только тогда, когда он служит решением вариационного неравенства

50