Лекции по прикладному функциональному анализу. Учебное пособие

Предисловие

3

1 Введение

5

1.1

Нормированные пространства

5

1.2

Компактные множества

6

1.3

Сопряженное пространство

7

2 Принцип сжимающих отображений

9

2.1

Основные теоремы

9

2.2

Теорема существования и единственности задачи Коши

для дифференциального уравнения в банаховых пространствах

10

3 Теорема Брауэра о неподвижной точке

16

3.1

Предварительные сведения

16

3.2

Лемма об аппроксимации

18

3.3

Лемма о несуществовании гладкой ретракции

21

3.4

Теорема Брауэра

24

3.5

Приложение теоремы Брауэра. О собственных числах матрицы

положительными элементами

28

4 Теорема Шаудера о неподвижной точке

31

4.1

Нелинейный проектор Шаудера

31

4.2

Теоремы Шаудера

32

4.3

Приложение теоремы Шаудера

35

4.4

Теорема Лерэ-Шаудера

40

5 Теория монотонных операторов

42

5.1

Свойства монотонных операторов

42

5.2

Теорема о разрешимости операторных уравнений

45

6 Отображения двойственности

53

6.1

Свойства отображений двойственности

53

6.2

Теоремы существования и единственности

55

6.3

Задача Дирихле для уравнения с p-лапласианом

59

7 Дифференциальное исчисление в нормированных

пространствах

63

7.1

Производные Фреше и Гато

63

7.2

Формула конечных приращений

64

7.3

Связь между производными Фреше и Гато. Теорема о

дифференцировании суперпозиции

66

7.4

Частные производные. Теорема о полном дифференциале

71

7.5

Теорема о неявной функции

73

8 Элементы выпуклого анализа

78

8.1

Выпуклые функции

78

8.2

Полунепрерывные снизу функции

80

8.3

Минимизация выпуклых функционалов

83

8.4

Вариационные неравенства

84

Список литературы

90

Содержание

91