Лекции по прикладному функциональному анализу. Учебное пособие

Докажем, что (6.17) удовлетворяет всем аксиомам нормы. Легко заметить, что

ственным следствием неравенства Пуанкаре, которое формулируется следующим образом.

Неравенство Пуанкаре. Пусть Rn ограниченная область с C1 границей,

0

тогда для любого u 2 Wp1( ) существует постоянная C такая, что

jjujjLp( ) CjjrujjLp( ):

Теорема 6.3.3. При любом заданном f 2 Wq 1( ) задача (6:14), (6:15) имеет един-

ственное обобщенное решение в смысле определения 6.3.2.

0

Доказательство. Рассмотрим отображение J : Wp1( ) 7 !Wq 1( ), которое действует по закону

Интегральное равенство (6.16) можно записать в виде

0

hJ(u); 'i = hf; 'i 8 ' 2 Wp1( ):

Таким образом, в силу произвольности ', заключаем, что (6.16) эквивалентно операторному уравнению J(u) = f.

61

0

Известно, что пространства Wp1( ) и Wq 1 являются рефлексивными сепарабель-

ными банаховыми пространствами, строго выпуклыми относительно нормы (6.17) и соответствующей нормы пространства Wq 1, порожденной нормой (6.17). Следовательно, осталось показать, что оператор J(u) является отображением двойственности.

Рассмотрим (r) = rp 1. Очевидно, что эта функция удовлетворяет всем услови-

Учитывая (6.19), из (6.20) вытекает, что

Т.е. J(u) является оператором двойственности относительно функции (r) = rp 1 и, следовательно, уравнение J(u) = f как и задача (6.14), (6.15) однозначно разрешимы по теореме об обратимости отображения двойственности.

62

§7 Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах.

§7.1 Производные Фреше и Гато.

Определение 7.1.1. Пусть X и Y два нормированных пространства и F : X 7 !

Y отображение, определенное на некотором открытом множестве X. Назовем это отображение дифференцируемым в некоторой точке x 2 , если существует линейный ограниченный оператор Lx 2 L(X; Y ) такой, что для любого

" > 0 существует > 0, при котором из неравенства jjhjj < , следует

Из (7.1) следует, что дифференцируемое в точке отображение непрерывно в этой точке. Выражение Lx[h], представляющее собой при каждом фиксированном h 2 X

элемент пространства Y , называется дифференциалом Фреше (сильным дифференциалом ) отображения F в точке x. Сам оператор Lx называется производной Фреше (сильной производной) отображения F в точке x. Производную Фреше будем обозначать символом F 0.

Если отображение F дифференцируемо в точке x, то соответствующая производная определяется единственным образом. Действительно, равенство jjL1[h] L2[h]jj = o(jjhjj) для операторов Li 2 L(X; Y ), i = 1; 2, возможно лишь когда L1 = L2.

Установим некоторые простые свойства производной Фреше.

1.Если F (x) = y0, то F 0(x) 0, т.е. производная является нулевым оператором.

2.Производная непрерывного линейного отображения L есть само это отображение. Действительно,

L(x + h) L(x) = L(h); откуда сразу следует L0 = L:

3. Пусть F и G два непрерывных отображения, действующих из X в Y . Если отображения F и G дифференцируемы в некоторой точке x, то и отображения F +G

и F , число, будут дифференцируемы в точке x, причем

63

Действительно, пользуясь определением суммы операторов и произведения оператора на число, немедленно получаем вышеуказанные соотношения.

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве H следующий функционал F (x) = (x; x) = jjxjj2. Тогда

jjx + hjj2 jjxjj2 = 2(x; h) + jjhjj2:

Величина 2(x; h) представляет собой главную линейную (по h) часть этого выраже-

ния, следовательно,

F 0(x) = 2x; F 0(x)[h] = 2(x; h);

где последнее равенство следует из представления Рисса линейных функционалов в

гильбертовом пространстве.

Пусть снова F : X 7 !Y .

Определение 7.1.2. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения F в точке x при приращении h называется предел

Иногда, следуя Лагранжу, выражение DF (x; h) называют первой вариацией отображения F в точке x. Слабый дифференциал может не быть линеен по h. Если же

DF (x; h) = Fc0(x)[h];

где Fc0 линейный ограниченный оператор, то этот оператор называют слабой производной или производной Гато . Сразу заметим, что производная Гато, как и производная Фреше, удовлетворяет свойствам 1, 3.

§ 7.2 Формула конечных приращений.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a; b] и обладает конечной производной на (a; b). Вспомним известную из математического анализа формулу конечных приращений Лагранжа

f(b) f(a) = f0(c)(b a);

64

где c 2 (a; b). Интересно отметить, что эта формула в пространстве R2 может уже быть не верна. Действительно, рассмотрим функцию

f : R 7 !R2; f(t) = (sin t; cos t):

Тогда для каждого t существует производная Фреше f0(t)

f0(t)[h] = h(cos t; sin t) 8 h 2 R:

Рассмотрим функцию f(t) на отрезке [0; 2 ]. Для любого c 2 [0; 2 ] имеем

f0(c)[2 0] = 2 (cos c; sin c) 6= (00); = f(2 ) f(0)

и, следовательно, формула конечных приращений, приведенная выше не верна. В то же время можно привести оценку, вытекающую из формулы конечных приращений и имеющую следующий вид

jf(b) f(a)j Mjb aj; M = sup jf0(x)j:

x2[a;b]

Покажем, что последняя оценка может быть обобщена и на случай произвольных нормированных пространств.

Теорема 7.2.1. (Формула конечных приращений). Пусть X и Y два нормированных пространства и F : X 7 !Y отображение, определенное на некотором открытом множестве X. Пусть отрезок [x; x0] 2 . Предположим, что отображение F дифференцируемо по Гато в каждой точке упомянутого отрезка. Тогда

Доказательство. Рассмотрим произвольный функционал ' 2 Y и числовую функцию

f(t) = '(F (x0 + t x));

определенную при t 2 [0; 1]. Эта функция дифференцируема по t. Действительно в выражении

65

можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала '. В результате получаем

f0(t) = ' (Fc0[x0 + t x] x) :

Применив к функции f(x) формулу конечных приращений на отрезке [0; 1], получим

0 1

Выберем теперь ненулевой функционал ' таким образом, чтобы

'(F (x) F (x0)) = jj'jjY jjF (x) F (x0)jj:

Это всегда можно сделать по теореме о существовании нетривиальных линейных функционалов (см. теорему 1.3.4.). При этом из (7.6) получаем

jjF (x) F (x0)jj sup jjFc0(x0 + x)jjjj xjj;

0 1

т.е. неравенство (7.4). Неравенство (7.4) можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (7.4) отображению

x 7 !F (x) Fc0(x0) x;

получим следующее неравенство

jjF (x) F (x0) Fc0(x0) xjj sup jjFc0(x0 + x) Fc0(x0)jjjj xjj: (7.7)

0 1

§7.3 Связь между производными по Гато и Фреше. Теорема

одифференцировании суперпозиции.

Лемма 7.3.1. Если отображение F : X 7 !Y дифференцируемо по Фреше, то оно будет также дифференцируемо и по Гато. Обратное утверждение не имеет места.

66

т.е. производная по Гато у f в точке (0; 0) существует и равна 0.

Лемма 7.3.2. Пусть отображение F : X 7 !Y дифференцируемо по Гато в каждой точке некоторой окрестности U точки x0. Пусть его производная Fc0 непрерывна в точке x0. Тогда отображение F будет дифференцируемо в точке x0 и по Фреше и обе производных совпадут.

Доказательство. В силу непрерывности оператора Fc0 в точке x0, для любого " > 0

существует > 0 такое, что при jjhjj <

jjFc0(x0 + h) Fc0(x0)jj < ":

Применив к отображению F формулу (7.7), получим

jjF (x) F (x0) Fc0(x0)hjj sup jjFc0(x0 + h) Fc0(x0)jjjjhjj "jjhjj:

0 1

Тем самым имеет место (7.1), т.е. дифференцируемость F по Фреше и, следовательно, по лемме 7.3.1., совпадение производных Фреше и Гато.

Теорема 7.3.3. (О дифференцировании суперпозиции.) Пусть X, Y , Z нормированные пространства, U X окрестность точки x0, V Y окрестность точки y0. Пусть заданы отображения F : U 7 !V и G : V 7 !Z. Определим суперпозицию H = G F : U 7 !Z.

Если отображение G дифференцируемо по Фреше в точке y0, а отображение F

дифференцируемо по Фреше (Гато) в точке x0, тогда H дифференцируемо по Фреше (Гато) в точке x0 и справедлива формула дифференцирования сложной функции

H0(x0) = G0(y0) F 0(x0):

Доказательство. 1). Пусть F дифференцируема по Гато в точке x0. По определению производной Фреше

G(y) = G(y0) + G0(y0)[y y0] + o(y y0);

68

где

По определению производной Гато имеем

Fc0(x0)[h] = lim F (x0 + tht) F (x0):

t!0

(y0)jjFc0(x0)[h]jj = 0:

2). Пусть теперь F дифференцируема по Фреше. Тогда по определению производной Фреше имеем

F (x) = F (x0) + F 0(x0)[x x0] + o(x x0);

G0(y0)[F 0(x0)[x x0]] + G0(y0)[o(x x0)] + o(F (x) F (x0)):

Покажем, что последние два слагаемых в (7.8) есть o(x x0). Действительно, т.к. операторы F 0 и G0 линейны, то для них выполняется

69

где C1, C2 некоторые положительные постоянные. Из (7.9) сразу следует, что

jjF (x) F (x0)jj (C1 + (x))jjx x0jj; jjG(x) G(y0)jj (C2 + (y))jjy y0jj: (7.10)

Таким образом, из (7.9), (7.10) последние два слагаемых в (7.8) по норме могут быть оценены следующим образом

jjG0(y0)[o(x x0)] + o(F (x) F (x0))jj jjG0(y0)[o(x x0)]jj + jjo(F (x) F (x0))jj

C2jjo(x x0)jj + (y)jjy y0jj (x)C2jjx x0jj + (C1 + (x)) (y)jjx x0jj =

( (x)C2 + (x)C1 + (y) (x))jjx x0jj ! 0 при x ! x0:

Следовательно для разности H(x) H(x0) мы можем записать

H(x) H(x0) = (G0(y0) F 0(x0))[x x0] + o(x x0);

что означает дифференцируемость отображения H по Фреше и верна формула дифференцирования сложной функции.

Пример. Пусть X = Y = R2, Z = R. Положим

Легко проверить, что эта функция не будет дифференцируема по Гато, поскольку у нее нет производной по направлению h = (1; 1).

70