Лекции по прикладному функциональному анализу. Учебное пособие

где предел понимается в смысле сходимости по норме пространства B, когда диа-

метр разбиения отрезка [a; b] стремится к нулю.

Заметим, что

1.f(t) = jjx(t)jjB есть непрерывная функция.

2.Все классические свойства непрерывных функций из анализа переносятся и на абстрактные функции.

3.Для абстрактных функций имеют место формулы дифференцирования суммы абстрактных функций и произведения абстрактной функции на скалярную функции, аналогичные соответствующим формулам для скалярных функций.

4.Отметим также некоторые свойства интеграла от абстрактной функции, такие

как

где x элемент замкнутой выпуклой оболочки значений функции x(t) на отрезке

[a; b].

Если x(t) непрерывна, то функция

Z t

y(t) = x( )d

a

непрерывно дифференцируема и справедливы соотношения

Z b

y0 = x; y0(t)dt = y(b) y(a):

a

Аналогично можно рассматривать так называемые операторные функции. Рассмотрим нелинейный оператор F (t; x), где t вещественный параметр, x(t) абстрактная функция. Предполагаем, что при каждом фиксированном t оператор F (t; x) имеет одну и ту же область определения. При каждом фиксированном t = t0, x(t0) = x0 2 B и F (t0; x(t0)) : B 7 !B. Оператор F (t; x(t)) F0(t) можно рассматривать как абстрактную функцию и значит пользоваться определениями понятий непрерывности, производной и интеграла, введенные нами выше.

Рассмотрим теперь задачу Коши для дифференциального уравнения в банаховом пространстве B

11

и удовлетворяющая (2.2). Подставим x(t) в (2.1) и проинтегрируем тождество

Z t Z t

x0( )d = F ( ; x( ))d )

00

Z t

x(t) = x0 + F ( ; x( ))d ; (2.7)

0

т.е. x(t) удовлетворяет интегральному уравнению. Обратно, пусть x(t) непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению (2.7) на [0; T ].

Докажем, что F ( ; x( )) как функция непрерывна на [0; T ]. Действительно jjF ( ; x( )) F ( 0; x( 0))jj = jjF ( ; x( )) F ( ; x( 0)) + F ( ; x( 0)) F ( 0; x( 0))jj

jjF ( ; x( )) F ( ; x( 0))jj + jjF ( ; x( 0)) F ( 0; x( 0))jj(в силу (2.6) mjjx( ) x( 0)jj + jjF ( ; x( 0)) F ( 0; x( 0))jj ! 0 при ! 0;

в силу непрерывности F (t; x) по t и непрерывности x(t) по t. Следовательно, F ( ; x( ))

непрерывна по . Отсюда сразу вытекает, что если

Z t

x(t) = x0 + F ( ; x( ))d ;

0

то x(0) = x0 и x(t) непрерывно дифференцируемая функция на [0; T ] и, в силу представления (2.7), следует x0(t) = F (t; x(t)). Таким образом задачи (2.1), (2.2) и (2.7) эквивалентны. Введем банахово пространство CB[0; T ] абстрактных непрерывных функций на [0; T ] со значениями в B и нормой

jjxjjCB[0;T0] = max jjx(t)jjB

t2[0;T0]

Рассмотрим в CB[0; T0] замкнутый шар

Br(x0) = fx(t) 2 CB[0; T0]; jjx(t) x(t0)jj rg:

13

Z t

max jjF ( ; x( ))jjd c T0 < r:

[0;T0] 0

Так как (x) : Br(x0) 7 !Br(x0), то выполняется условие (2.6) и, следовательно, имеют место следующие неравенства

Z t

max jjF ( ; x1( )) F ( ; x2( ))jjd T0mjjx1(t) x2(t)jjCB[0;T0] =

[0;T0] 0

qjjx1( ) x2( )jj;

где q = T0m < 1 и, следовательно, сжимающий оператор.

Таким образом, согласно принципу сжимающих отображений в CB[0; T0] существует единственное решение x(t) 2 CB[0; T0] уравнения (2.7), следовательно и задачи (2.1), (2.2).

Как видно из доказательства результат, который мы здесь получаем, носит локальный характер по времени. Это, как известно, характерно для нелинейных задач.

Теорема 2.2.5. Пусть F (t; x) непрерывен по t на [0; T ] при каждом фиксированном x 2 B и удовлетворяет условию Липшица

с единой константой m для всех x1; x2 2 B. Тогда на [0; T ] существует единственное решение x(t) задачи Коши (2.1), (2.2) .

Замечание. Здесь мы отказываемся от условия (2.5). Это условие гарантировало нам тот факт, что за счет малости T0 можно было добиться, чтобы : Br(x0) 7 !

Br(x0). Это дает возможность использовать условие (2.6). Здесь же условие Липшица выполнено с единой константой для всех x1; x2 2 B.

Доказательство. Рассмотрим норму разности

Z t

jj (x1) (x2)jjCB[0;T0] m jjx1( ) x2( )jjd mjjx1( ) x2( )jjCB[0;T0]:

0

Используя эту оценку, имеем

jj 2(x1) 2(x2)jjCB[0;T0] = jj ( (x1)) ( (x2))jjCB[0;T0] =

14

Z t

mjj (x1( )) (x2( ))jjCB[0;T0]d

0

Z t t2

m2 0 jjx1( ) x2( )jjd m2 2 jjx1(t) x2(t)jjCB[0;T0]:

Отсюда легко вытекает, что

jj n(x1( )) n(x2( ))jjCB[0;T0] (mTn!)n jjx1(t) x2(t)jjCB[0;T0]:

Поскольку (mTn!)n ! 0 при n ! 1, существует N такое, что (mTN!)N = q < 1 и, следовательно, оператор N является оператором сжатия в CB[0; T0] и, как следствие, у

существует единственная неподвижная точка.

15

и открытое множество W f(a) такие, что отображение f : V ! W имеет непрерывное обратное f 1 : W ! V , которое является непрерывно дифференцируемым и 8 y 2 W удовлетворяет соотношениям

(f 1)0(y) = [f0(f 1(y))] 1:

Пусть A = (aij)i;j=1;n матрица размерности n n.

Определение 3.1.3. Определителем матрицы A называют величину

n

XY

где p 2 Sn группа подстановок n-элементного множества

l число инверсий в подстановке p.

Если aip(i) = aip(i)(x) являются непрерывными функциями, то очевидно из представления для определителя, что detA(x) также является непрерывной функцией.

Теорема 3.1.4. Пусть g : 7 ! , где и открытые множества в Rn. Предположим, что g взаимнооднозначное отображение класса C1, причем det g0(x) 6= 0, где g0 матрица Якоби. Пусть A и B = g[A] . Пусть f(y) заданная на B измеримая функция. Тогда f суммируема на B тогда и только тогда, когда функция f(g(x))jdet g0(x)j суммируема на A. При этом имеет место следующее равенство

ZZ

f(y)dy = f(g(x))jdet g0(x)jdx:

BA

Вчастности, при f 1 будем иметь

Z

(g[A]) = jdet g0(x)jdx

A

.

17

§ 3.2 Лемма об аппроксимации.

Пусть f : B(0; 1) 7 !B(0; 1) является непрерывным отображением, где B(0; 1) =

fx 2 Rn; jjxjj 1g. Для любого k положим

Действительно, т.к. отображение f(x) непрерывно, то на компакте B(0; 1) будет рав-

номерно непрерывно, т.е. 8 > 0 9 > 0 такое, что

18

Легко заметить, что supp !m(x) B(0; m1 ) и !m(x) 2 C10 и

Z Z

!m(x y)dy = (t = y x) = !m( t)dt = (в силу четности !m) =

Rn Rn

Таким образом, мы получаем, что

gmk (x) : B(0; 1) 7 !Bk

и является бесконечно дифференцируемым отображением как свертка бесконечно дифференцируемой функции и непрерывного отображения.

Покажем, что

gmk (x) ! fk(x) равномерно по x 2 B(0; 1):

Так как fk(x) является непрерывным отображением, следовательно, оно равномерно непрерывно на B(0; 1), т.е. 8 > 0 9 k > 0 такое, что

jjfk(x) fk(y)jj < как только jjx yjj < k 8 x; y 2 B(0; 1):

19

Будем рассматривать только те m, для которых m k, тогда supp !m(x y) Bm

Bk, т.к. при m k имеем 1 + m1 1 + k1 . Отсюда вытекает, что

Покажем теперь, что из построенных нами функций gmk (x), k; m = 1; 2 : : : можно выделить подпоследовательность, которая будет равномерно в единичном шаре аппроксимировать функцию f(x). Действительно,

jjgmk (x) f(x)jj = jjgmk (x) fk(x) + fk(x) f(x)jj jjgmk (x) fk(x)jj + jjfk(x) f(x)jj:

20