Лекции по прикладному функциональному анализу. Учебное пособие

что все lm непрерывны и, следовательно, непрерывна любая их конечная сумма,

M(m)

атак как P lm(x) > 0 следовательно, непрерывной функцией является частное

l=1

lm(x)yl , откуда уже вытекает, что непрерывна и сама функция fm(x).

M(m)

P lm(x) l=1

2. Свойство аппроксимации . Покажем, что последовательность ffmg аппрокси-

так как если для некоторого l имеем jjyl f(x)jj m1 , то lm(x) = 0. Таким образом

мы показали, что последовательность ffmg ! f при m ! 1 равномерно на K.

§ 4.2 Теоремы Шаудера

Первая теорема Шаудера. Пусть B вещественное банахово пространство,

K B непустое компактное и выпуклое множество. Пусть f : K 7 !K

непрерывное отображение. Тогда найдется точка x0 такая, что f(x0) = x0.

Доказательство. Рассмотрим проектор Шаудера

и, следовательно,

fm(x) : K 7 !Km;

32

где Km замкнутая выпуклая линейная оболочка множества fyl; l = 1; :; M(m)g. Заметим, что так как K выпукло, то Km K. Это вытекает из определения

замкнутой выпуклой оболочки как наименьшего из всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих данное множество, а fyl; l = 1; : : : ; M(m)g K.

Рассмотрим сужение fm(x) на множество Km. Имеем, что непрерывное отображение

fm(x) : Km 7 !Km

переводит непустое компактное выпуклое множество конечномерного пространства spanfyl; l = 1; : : : ; M(m)g в себя. Всякое конечномерное пространство изоморфно пространству Rn и, следовательно, по теореме Брауэра существует xm 2 Km K

такая, что f(xm) = xm.

Так как K является компактом, то последовательность fxmg содержит сходящуюся подпоследовательность

xmj ! x0 2 K при j ! 1:

Заметим, что

jjf(x0) x0jj jjf(x0) f(xmj )jj + jjf(xmj ) fmj (xmj )jj + jjf(xmj ) x0jj =

jjf(x0) f(xmj )jj + jjf(xmj ) fmj (xmj )jj + jjxmj x0jj:

Рассмотрим сумму модулей, стоящих в правой части последнего равенства. Первый модуль может быть сделан сколь угодно маленьким, в силу того, что f непрерывное отображение. Второй модуль может быть сделан сколь угодно маленьким, в силу того, что fmj ! f при j ! 1 равномерно по x (см. свойство проекторов Шаудера). И, наконец, третий модуль может быть сделан сколь угодно маленьким, в силу того, что xmj ! x0 при j ! 1 (компактность K). Отсюда сразу вытекает, что f(x0) = x0.

Вторая теорема Шаудера. Пусть B вещественное банахово пространство,

K B непустое замкнутое ограниченное и выпуклое множество. Пусть f :

K 7 !K вполне непрерывное отображение. Тогда найдется точка x0 такая, что f(x0) = x0.

33

Доказательство. Напомню некоторые определения.

Определение 4.2.1. Компактный оператор это оператор, который всякое ограниченное множество переводит в предкомпактное.

Определение 4.2.2. Непрерывный компактный оператор называется вполне непрерывным.

Заметим, что так как f(K) K и K замкнутое множество, то f(K) предкомпактно и, следовательно, f(K) компактно. Рассмотрим Co(f(K)) замкнутую выпуклую оболочку множества f(K). Покажем, что Co(f(K)) есть компакт. Рассмотрим последовательность точек fzng Co(f(K)). Для любого n можно записать

zn = nx1n + (1 )x2n; где n 2 [0; 1] 8 n 2 N; x1n; x2n 2 f(K):

Так как отрезок [0; 1] и множество f(K) компактны в R и B соответственно, то найдется подпоследовательность fnkg такая, что

nk ! 2 [0; 1]; x1nk ! x1; x2nk ! x2 при k ! 1;

где x1nk ; x2nk 2 f(K). Следовательно,

znk ! x1 + (1 )x2 2 Co(f(K)) при k ! 1;

откуда немедленно вытекает, что Co(f(K)) является компактом. Далее, имеем, что f(K) K, но K выпуклое множество и, следовательно, Co(f(K)) K. Рассмотрев теперь сужение f на множество Co(f(K)), получаем, что

f : Co(f(K)) 7 !Co(f(K))

является непрерывным отображением, переводящее выпуклый компакт в себя, следовательно, по первой теореме Шаудера имеет неподвижную точку x0 2 Co(f(K)) K.

Следствие из теоремы Шаудера. Пусть K замкнутое выпуклое множество в банаховом пространстве B. Пусть f : K 7 !K непрерывное отображение такое, что f(K) является предкомпактным множеством. Тогда найдется точка x0 такая, что f(x0) = x0.

Замечание. Здесь мы ничего не говорим об ограниченности множества K, но вместо этого требуем, чтобы непрерывное отображение f было таково, чтобы f(K) было предкомпактным.

34

§ 4.3 Приложение теоремы Шаудера

Рассмотрим дифференциальное уравнение

с теми же краевыми условиями (4.3). Очевидно, что однородная краевая задача

x00 = 0; x(0) = 0; x(p) = 0

имеет только тривиальное решение. Отсюда немедленно вытекает, что решение задачи (4.4), (4.3) единственно. Для доказательства этого факта надо предположить, что существует два решения и рассмотреть их разность.

С помощью функции Грина легко записать решение задачи (4.4), (4.3)

Таким образом, можно записать

Из представлений (4.6), (4.7) вытекают следующие оценки

35

Из полученных выше оценок, из (4.7) и из продифференцированного равенства (4.7)

где максимум берется по 0 s p.

Теорема 4.2.1. Пусть f(t; x; x0) непрерывна и ограничена

jf(t; x; x0)j m

при 0 t p и всех (x; x0). Тогда задача (4:2), (4:3) имеет по крайней мере одно

jx(t)j mp8 2 , jx0(t)j mp2 .

Доказательство. Пусть D банахово пространство непрерывно дифференцируе-

Решение этой задачи (как уже говорилось выше) единственно и, следовательно, мы построили отображение

T : h 7 !x:

Исследуем теперь свойства этого отображения. Из условия jf(t; x; x0)j m при 0 t p и всех (x; x0), и, в силу оценки (4.8), мы получаем, что решения задачи (4.9)

36

следовательно, имеем, что

T : jjhjj mp8 2 7 !xjjjj mp8 2 ;

Тогда из (4.7) и оценок функции Грина получаем для модуля разности функций

0

p2 max jf(s; h1(s); h01(s)) f(s; h2(s); h02(s))j ! 0

при jjh1(s) h2(s)jj ! 0:

37

Следовательно, из оценок (4.10), (4.11) вытекает, что

jjT (h1) T (h2)jj ! 0 при jjh1(s) h2(s)jj ! 0

и, следовательно, оператор T непрерывен на D.

Далее, для любого x(t) из области значений оператора T , т.е. для x = T (h) с

Таким образом, семейства функций fx(t)g и fx0(t)g равномерно ограничены и равностепенно непрерывны и, следовательно, по теореме Арцела семейство fx(t)g пред-

компактно в D0 = fh 2 D; jjhjj mp8 2 g. В итоге мы построили оператор

T : D0 7 !D0;

который является вполне непрерывным на замкнутом выпуклом множестве и, следовательно, по теореме Шаудера имеет неподвижную точку, которая и является решением задачи (4.2), (4.3).

Замечание. Условия теоремы налагают существенные ограничения на нелинейность f(t; x; x0), ведь условие jfj m должно иметь место для всех x, x0. От этого условия можно освободиться, наложив определенные структурные ограничения на f, позволяющие иметь сильные нелинейности.

Пусть получены оценки jxj R, jx0j M. Тогда можно получить оценку jf(t; x; x0)j m для этих значений x и x0. Такое m всегда существует, в силу предположения о том, что f непрерывна по всем своим аргументам.

38

Продолжим функцию f(t; x; x0) вне jxj R, jx0j M следующим образом

Она удовлетворяет всем условиям теоремы 4.2.1. и, следовательно, у нее существует решение. Для того, чтобы перейти к решению задачи (4.2), (4.3)

x00 = f(t; x; x0); x(0) = 0; x(p) = 0;

надо для решений задачи (4.12) иметь оценки jxj R, jx0j M. Этого можно добиться, если наложить на функцию f(t; x; x0) структурное ограничение вида

f(t; R; 0) 0; f(t; R; 0) 0:

В свою очередь, доказательство существования решения задачи (4.12) основано на построении вполне непрерывного отображения шара D0 в себя. Оценки же, полученные для задачи (4.12) имеют вид

и это является одной из главных технических проблем, возникающих при попытке доказать теорему существования решения для нелинейного дифференциального уравнения методом неподвижной точки.

39

§ 4.4 Теорема Лерэ-Шаудера

В приложениях часто используется (особенно в уравнениях с частными производными) следующий специальный случай, носящий имя

Теорема Лерэ-Шаудера. Пусть T компактное отображение банахова пространства B в себя. Пусть существует постоянная M такая, что для любого x 2 B и 2 [0; 1], удовлетворяющего уравнению x = T x, справедливо неравенство

jjxjjB < M:

Тогда отображение T имеет неподвижную точку.

Доказательство. Определим отображение T следующим образом

jjxjj Mg из B в себя, т.е.

T : F 7 !F:

Из условия теоремы имеем, что T F предкомпатно. Докажем, что и T F также предкомпактно.

Действительно, полная непрерывность отображения T означает, что для любой ограниченной последовательности fxng, из последовательности fT xng можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую для удобства записи, снова обозначим fT xng. Для любого > 0 существует N такое, что при n; m > N

Без ограничения общности можно считать, что M = 1. Если jjT xn T xmjj < ,

бо jjT xnjj; jjT xmjj > 1, либо jjT xnjj; jjT xmjj ! 1 при n ! 1 и, следовательно

пактности T . Во втором случае имеем

40