Комбинаторика. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский государственный университет технологий и управления

имени К.Г. Разумовского (ПКУ)

КОМБИНАТОРИКА

Учебное пособие

Москва Юриспруденция

2023

УДК 519.1(075.8) ББК 77.176

К63

Рецензенты:

В.Н. Орлов, доктор физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Московского государственного строительного университета В.М. Иванов, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры электроэнергетики Там бовского технического университета

К63 Комбинаторика: учебное пособие. — М.: ИД «Юриспруденция», 2023. — 96 с.

ISBN 978-5-9516-0929-8

Комбинаторика тесно связана со многими областями математики, в частности с алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, теорией чисел и другими. Она применяется в самых различных областях знаний: например, в генетике, информатике, статистике, статистической физике, лингвистике.

Учебное пособие предназначено в первую очередь для студентов высших учебных заведений, в состав учебных программ которых входит курс дискретной математики. Также оно может быть рекомендовано для всех студентов, в ходе учебного процесса сталкивающихся с комбинаторными методами и желающих углубить свои познания в этой области.

Помимо учебного материала пособие включает в себя свыше 100 задач как с решениями, так и для самостоятельной работы.

УДК 519.1(075.8) ББК 77.176

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

Оглавление

4

АВТОРСКИЙ КОЛЛЕКТИВ

Воробьева А.В. — специалист в области автоматизации технологических процессов, теории систем и методов сетевого планирования, заведующая кафедрой высшей математики, кандидат технических наук, доцент Московского государственного университета технологий и управления имени К.Г. Разумовского (ПКУ)

Зуев Ю.А. специалист в области дискретной математики, комбинаторнойоптимизации,теориивероятностей,докторфизикоматематических наук, профессор Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана, член американского математического общества

Иванов С.К. — специалист в области математического моделирования, прикладной теории вероятностей, дискретной математики и информационных технологий, доцент кафедры высшей математики, кандидат технических наук Московского государственного университета технологий и управления имени К.Г. Разумовского (ПКУ)

Корнилов А.Я. — доцент кафедры высшей математики, кандидат физико-математических наук Московского государственного университета технологий и управления имени К.Г. Разумовского (ПКУ)

Лановая А.В. — доцент кафедры высшей математики, кандидат физико-математических наук Московского государственного университета технологий и управления имени К.Г. Разумовского (ПКУ)

5

Авторский коллектив

Попович А.Э. — декан факультета цифровых технологий, специалист в области IT-технологий, профессор кафедры высшей математики, доктор педагогических наук Московского государственного университета технологий и управления имени К.Г. Разумовского (ПКУ)

Худжина М.В. — доцент кафедры высшей математики, кандидат педагогических наук Московского государственного университета технологий и управления имени К.Г. Разумовского (ПКУ)

6

Р а з д е л 1

ВВЕДЕНИЕ

Комбинаторика — раздел дискретной математики, занимающийся подсчётом числа конечных множеств, обладающих заданными свойствами.

Множества

Множество — первичный неопределяемый объект, характеризующийся свойством содержать элементы. Элемент — первичный неопределяемый объект, характеризующийся свойством содержаться во множестве. Иногда, руководствуясь геометричекими представлениями, элементы множества называют также его точками

Множества могут быть бесконечными (например, множество действительных чисел) и конечными (то есть состоящими из конечного числа элементов). В центре внимания дискретной математики находятся именно конечные множества

Конечное множество A может быть задано простым перечислением своих элементов в произвольном порядке, которое принято записывать в фигурных скобках: A {a1, , an}. Таким образом,

{a1, a2, a3} и {a3, a2, a1} обозначают одно и то же — множество, состоящее из трёх элементов: a1, a2, a3. Если A — множество,

остоящее из n элементов, то говорят, что мощность множества A равна и пишут A n. Тот факт, что ai является элементом множества A, записывается как ai A. В математике рассматривается и множество, не содержащее ни одного элемента. Оно называется

пустым множеством и обозначается

7

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

Перестановки

Список элементов множества, заключённый в круглые скобки, обозначает перечисление элементов в определённом порядке. Такое перечисление в заданном порядке называется перестановкой элементов множества. Таким образом, (a1, a2, a3) и (a3, a2, a1) обозначают различные перестановки элементов множества {a1, a2, a3}. Вот все шесть возможных перестановок элементов множества

{a1, a2, a3}: (a1, a2, a3), (a1, a3, a2), (a2, a1, a3), (a2, a3, a2), (a3, a1, a2), (a3, a2, a1).

шесть перестановок, а с помощью следующего несложного рассуждения. На первое место можно поставить любой из трёх элементов, что даёт три возможности. Если на первое место уже поставлен некоторый элемент, то на второе место можно поставить любой из оставшихся двух элементов, что даёт две возможности. И наконец, на третье место остаётся единственный представитель, т.е. единственная возможность. Таким образом, число перестановок оказыается равным 3 × 2 × 1= 6.

Если бы переставлялись элементы множества мощности то число перестановок было бы равно n(n −1) × × 2 × 1. Для такого произведения натуральных чисел от 1 до в математике существует специальное обозначение: 1× 2 × × (n −1)n = n! .

Здесь введена важнейшая для комбинаторного анализа функция ! (читается «эн-факториал»), определяемая для натуральных как произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно и

8

Подмножества

Подмножества

Если каждый элемент множества B является элементом множетва A то множество B называется подмножеством множества A

Считая элементы множества точками плоскости, лежащими внутри кругов, отношение включения можно наглядно представить как расположение одного круга внутри другого. На рис. 1а) B A а на рис. 1б) B A . Такие наглядные представления множеств часто называют диаграммами Эйлера — Венна.

Подмножествами A являются пустое множество не содержащее ни одного элемента, и само множество A . Эти два подмножества называют несобственными а все остальные — собственными. Если

Между подмножествами множества A и двоичными векторами лины | A | существует, таким образом, взаимно однозначное соответствие. Поэтому, пересчитав число двоичных векторов длины | A |

9

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

можно найти и полное число подмножеств множества A . Так как каждая компонента характеристического вектора независимо принимает одно из двух значений, то число векторов равно 2|A|. Этим объясняется обозначение 2A для семейства всех подмножеств множества A , используемое как для конечных, так и для бесконечных множеств

Таким образом, полное число подмножеств элементного мно-

2A = { , {a1}, {a2}, {a3}, {a1, a2}, {a1, a3}, {a2, a3}, {a1, a2, a3}}.

Характеристические векторы этих подмножеств есть

(000), (100), (010), (001), (110), (101), (011), (111).

Система подмножеств B1,B2, , Bk A называется разбиением множества A , если каждый элемент множества A принадлежит в точности одному из подмножеств B1, B2, , Bk . На рис. 2 показано такое разбиение множества на три подмножества.

B1

B2

B3

Рис. 2

Операции над множествами

Если заданы два множества A и B, то из них по определённым правилам может быть построено новое множество. Это называется теоретико-множественной операцией или просто операцией над множествами

10