Комбинаторика. Учебное пособие

Формула включения и исключения

суммы мощностей вычесть мощность их пересечения: A B A + B − A ∩ B . При этом все элементы объединения посчита-

ются ровно один раз.

Пусть теперь имеются три множества (рис. 10).

A B

C

Рис. 10

При сложении мощностей всех трёх множеств каждый элемент, входящий ровно в одно из множеств, учитывается один раз, каждый элемент, входящий ровно в два множества, будет посчитан дважды, а каждый элемент, входящий во все три множества, — трижды. Если из суммы мощностей вычесть мощности попарных пересечений, то по одному разу будут посчитаны элементы, входящие ровно в одно множество и ровно в два множества, но элементы, входящие во все три множества, не будут посчитаны ни разу. Поэтому для получения правильного ответа необходимо еще прибавить мощность пересечения всех трёх множеств:

A B C = A + B + C − A ∩ B − A ∩C − B ∩C + A ∩ B ∩C

Формула, аналогичная вышеприведённой, справедлива и в общем случае n множеств:

41

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

Эта формула может быть записана компактнее, если ввести следующие обозначения:

Тогда формула примет вид

n

U1 U 2 ... U n = ∑ (−1) j −1 S j .

j =1

Докажем эту классическую формулу, называемую формулой включения и исключения. Пусть элемент u входит ровно в k подмно-

жеств U i1 , ..., U ik . Тогда в каждой из сумм Sj он будет посчитан Ckj

раз и в правую часть формулы даст вклад, равный Ck1 Ck2 + … +

n

+ ( 1)k 1Ckk . Но из тождества ∑(−1)i Cni = 0 для биномиальных

i =0

коэффициентов следует, что

Ck1 −Ck2 +... +(−1)k −1Ckk =1.

равен единице, т.е. правая часть будет равна полному числу элементов, что и доказывает формулу включения и исключения.

В практических задачах часто имеется некоторое множество U и система его подмножеств U1, U 2 , , U n U . Требуется найти число

элементов множества U, не принадлежащих ни одному из множеств

U1, U 2 , , U n . В этом случае формула включения и исключения выглядит следующим образом

42

Формула включения и исключения

Воспользовавшись введёнными выше обозначениями и положив S0 | U |, формулу можно представить в виде

подмножеств можно рассматривать как размещение n различных шаров по m одинаковым урнам, причём в каждую урну должен попасть хотя бы один шар. В таблице 1 соответствующая функция f является сюръекцией.

Найдём число размещений в случае различных урн, т.е. вычислим m! Snm . Полное число размещений, включая и размещения с пустыми урнами, есть mn, а число размещений, в которых некоторая фиксированная урна остаётся пустой, равно (m – 1)n. Отсюда получаем

откуда и следует формула Стирлинга.

При применении формулы включения и исключения вычисление всех входящих в неё сумм может оказаться затруднительным. Что будет, если ограничиться первыми l < n суммами, т.е. рассматривать пересечения не более чем l подмножеств? Ясно, что справедливо

неравенство

43

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

Аналогичные неравенства, называемые неравенствами Бонферрони, справедливы и в общем случае

То есть при сохранении лишь первых l < n сумм искомая мощность объединения множеств вычисляется с недостатком, если первая отбрасываемая сумма имеет положительный знак, и с избытком — если отрицательный. При этом абсолютная величина погрешности, очевидно, не превосходит абсолютной величины первого отбрасываемого члена.

Чтобы это доказать, снова рассмотрим элемент u, входящий в k

Таким образом, этот вклад оказывается большим или меньшим единицы в зависимости от знака первой отбрасываемой суммы. В рассмотренной выше задаче о беспорядках число полностью лишённых порядка перестановок будет вычисляться с недостатком или с избытком в зависимости от знака первого отбрасываемого члена.

Подмножества U1, U 2 , , U n, как правило, задаются предикативно, т.е. принадлежность элемента данному подмножеству опре-

44

Формула включения и исключения

деляется наличием у него определённого свойства. Возникает задача нахождения числа элементов, обладающих ровно l свойствами и не

менее чем l свойствами.

Число элементов, принадлежащих ровно l подмножествам, равн

n

∑ (−1) j −l C lj S j . j =l

Чтобы установить это, достаточно заметить, что элемент принадлежащий k l подмножествам, в каждой сумме S j учитывается

Используя формулу для числа элементов, принадлежащих не менее чем l подмножествам, получае

В двойной сумме здесь был изменён порядок суммирования, что часто используется в дискретной математике. Для обоснования этого приёма достаточно заметить, что для нахождения суммы чисел в прямоугольной таблице можно просуммировать их в каждой троке и затем сложить полученные суммы, а можно сначала суммировать по столбцам.

Далее имеем

45

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

Итак, число элементов, принадлежащих не менее чем l подмно жествам, ест

n

∑ (−1) j −l C lj−−11S j . j =l

Применим полученные формулы. Считая, что перестановка принадлежит множеству Ui если она оставляет на месте символ i получаем, что число перестановок, оставляющих на месте ровно l сим олов, равно

А число перестановок, оставляющих на месте не менее l символов, есть

46

Примеры решения задач по разделу 2

Примеры решения задач по разделу 2

1. Пусть в спортивном тотализаторе требуется указать золотого, серебряного и бронзового призёров из 16 команд высшей лиги. Сколькими способами это может быть сделано?

век может делегировать трёх человек для участия в студенческой конференции?

3. В кондитерской имеются в неограниченном количестве три вида пирожных — ванильные, шоколадные и фруктовые. Некто желает купить восемь пирожных. Сколькими способами он может это сделать?

Это число равно C38 .

4. Чему равно число костей домино?

Кость домино состоит из двух полей, каждое из которых обозначено одной из семи цифр от 0 до 6, причём цифры на обоих полях могут совпадать (дубль). Поэтому число костей домино равно

5. Сколькими способами колоду из 36 карт можно разбить на две равные части?

36!

Число разбиений равно 18! 18! 2! (неупорядоченные разбие-

ния).

6. Сколькими способами колоду из 36 карт можно разделить поровну между двумя играющими?

Число разбиений равно 36! (упорядоченные разбиения).

18! 18!

47

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

7. Каждый студент группы обязан изучать хотя бы один из трёх иностранных языков. Немецкий изучают шесть человек, французский — семь, английский — восемь, три человека одновременно изучают немецкий и французский, четыре — немецкий и английский, пять — французский и английский и один человек изучает все три языка. Сколько всего студентов в группе?

Применяем формулу включений и исключений: (6 + 7 + 8) –

– (3 + 4 + 5) + 1 10.

8. Найти с помощью формулы включения и исключения число костей домино.

На множестве костей домино можно выделить семь подмножеств U 0 , U1, , U 6 , мощность каждого из которых равна 7. Принадлежность некоторой кости подмножеству Ui характеризуется тем, что хотя бы одно из двух её полей помечено цифрой i. При i j имеем | U i U j | 1, так как имеется ровно одна кость, одно поле которой

помечено цифрой i, а другое — цифрой j. Поэтому по формуле включения и исключения получаем, что число костей равно

| U 0 U1 U 6 | = 7 7 −C72 1 = 28

9. Найти число натуральных чисел, не превосходящих 100 и не делящихся ни на одно из чисел 3, 5, 7.

Применяем формулу включения и исключения. Число чисел, делящихся на 3, равно [100 3] 33; на 5 — [100 5] 20; на 7 — [100 7] 14. Число чисел, делящихся на 3 и 5, равно [100 15] 6; на

48

Примеры решения задач по разделу 2

12. Найти число перестановок чисел {1, 2, …, n}, в которых никакое число i не стоит на i-м месте.

Таким образом, используя введённые нами обозначения, имеем

Отметим, что выражение в скобках с ростом n стремится к e–1

так как

e x =1 + x + x 2 + x3 +

1! 2! 3!

49

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

Вопросы для самоконтроля по разделу 2

2.4.Число кортежей выражается:

а) соответствующим биномиальным коэффициентом; б) соответствующим полиномиальным коэффициентом; в) числом сочетаний с повторениями.

2.5.Мультимножество характеризуется:

а) характеристическим вектором из нулей и единиц; б) двухсимвольными наборами определённой длины; в) вектором кратностей типов.

50