Комбинаторика. Учебное пособие

Производящая функция частичных сумм

рекуррентное соотношение sn+1 = sn + an+1. Домножив обе его части

S( x) − a0 = x S( x) + A( x) − a0 .

Отсюда находим связь между производящими функциями:

S( x)

= A( x)

1 − x

С помощью полученного соотношения найдём формулу для суммы квадратов n первых натуральных чисел. Хорошо известно, что

12 + 22 + + n2 = n(n +1)(2n +1) 6

Доказательство этой формулы является классическим примером применения метода математической индукции. Однако сама формула при этом должна быть каким-то образом угадана. Метод производящих функций позволяет легко получить эту формулу и не требует никаких угадываний.

Пусть A(x) — производящая функция последовательности квадратов натуральных чисел:

71

РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Теперь легко находим производящую функцию суммы квадратов

∞∞

=x 2 ∑Cn3+3 x n + x ∑Cn3+3 x n =

72

Производящая функция свёртки

т.е. производящая функция свёртки последовательностей является произведением их производящих функций.

Воспользовавшись полученным соотношением, решим задачу Эйлера о разбиении выпуклого многоугольника на треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри многоугольника. Такое разбиение называется триангуляцией многоугольника. Сколькими способами возможно триангулировать выпуклый многоугольник?

Обозначив число триангуляций ( + 2)-угольника через C имеем: C1 1, C2 2, C3 5, C4 14, … . На рис. 11 представлены все пять возможных триангуляций пятиугольника:

равно произведению числа триангуляций i угольника на число три-

В правой части стоит ( – 1)-й член свёртки последовательности

73

РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Это даёт для производящей функции C( x) = C0 +C1 x +C2 x 2 + оотношени

C( x) −C0 = xC 2 ( x); xC 2 ( x) −C( x) +1 = 0

Решением квадратного уравнения, удовлетворяющим условию C(0) 1, является

C( x) = 1 − 1 − 4 x 2x

Нашей дальнейшей целью является разложение этого выражения в ряд. Имеем

74

Производящая функция свёртки

Следовательно,

Числа Cn возникают во многих задачах дискретной математики и имеют специальное название. Их называют числами Каталана по имени бельгийского математика XIX века.

В качестве другого примера появления чисел Каталана рассмотрим множество векторов длины 2n, компонентами которых являются +1 и –1, причём число единиц со знаком плюс равно числу единиц со знаком минус. Таких ( 1)-векторов, очевидно, C2nn .

Поставим теперь задачу найти среди них число векторов, у которых сумма любого числа первых компонент неотрицательна. Будем обозначать множество таких векторов через Tn, а их число

| Tn | = τn .

При n 1 имеем единственный такой вектор: T1 = {(+1, −1)} . При

n 2 таких векторов два: T2 = {(+1, +1, −1, −1), (+1, −1, +1, −1)}. При n 3 подобных векторов уже пять:

T3 = {(+1, +1, +1, −1, −1, −1), (+1, +1, −1, +1, −1, −1), (+1, +1, −1, −1, +1, −1), (+1, −1, +1, +1, −1, −1),

(+1, −1, +1, −1, +1, −1)}.

Имеем τ1 =1, τ2 = 2, τ3 = 5. Это есть начальные члены последовательности Каталана C1, C2 , C3, . Покажем, что для любого n справедливо τn = Cn .

75

РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Обозначим через Tn′ Tn подмножество тех векторов из T у которых для любого i 1 ≤ i ≤ n −1, сумма первых 2i координат строго

больше нуля, | Tn′ | = τ′n .

Число векторов из T у которых для некоторого i 1 ≤ i ≤ n −1, сумма первых 2i координат вектора первый раз обращается в нуль, чевидно, равно τ′i ×τn−i . Поэтому, положив τ0 =1, имеем

Первая координата любого вектора из Tn всегда равна +1, а последняя — (–1). Если эти координаты отбросить, то, как легко идеть, получится вектор из Tn 1. Обратно, приписав к любому вектору из Tn 1 в качестве первой координаты +1, а в качестве последней — (–1), получим вектор из Tn . Отсюда τ′n = τn−1. Это позволяет переписать формулу в виде

Но это рекуррентное соотношение совпадает с рекуррентным соотношением, определяющим числа Каталана. Отсюда следует,

Решение последней задачи показывает широту приложений метода производящих функций, но его вряд ли можно назвать элементарным. К счастью, для этой задачи существует и неожиданно простое геометрическое решение.

76

Метод траекторий

Метод траекторий

Будем рассматривать (2 )-мерный ( 1)-вектор как одномерное блуждание точки вдоль оси . Точка, в начальный момент находящаяся в нуле, в дискретные моменты времени t 1, 2, , 2n перемещается на единицу в положительном или отрицательном направлении в зависимости от знака соответствующей компоненты ( 1)-вектора. Требуется найти число таких блужданий, при которых момент времени t 2 точка возвратится в нуль, ни разу не побывав при этом в отрицательной области. Сделав «развёртку» такого дномерного движения с помощью оси времени t получим его траекторию. На рис. 12 представлена такая траектория, соответствую-

щая вектору (+1, −1, +1, +1, −1, +1, −1, −1).

Таким образом, нужно найти число путей, ведущих из точки (0, 0) в точку (2 , 0) и не заходящих в отрицательную область. Так как полное число путей из точки (0, 0) в точку (2 , 0) равно C2nn, то для решения задачи достаточно из C2nn вычесть число путей, заходящих в отрицательную область, которое определяется совсем просто

В самом деле, пусть имеется путь из (0, 0) в (2 , 0), заходящий в отрицательную область. Отразив симметрично относительно пря-

77

РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

мой –1 его часть после первого попадания на эту прямую, получим путь из точки (0, 0) в точку (2 , –2). На рис. 13 показано отображение заходящего в отрицательную область пути из (0, 0) в (12, 0)

впуть из (0, 0) в (12, –2). Сплошной линией показан исходный путь,

апрерывистой — его отражение.

–1

–2

–3

Рис. 13

Как легко понять из рисунка, в общем случае данным отражением устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех путей из (0, 0) в (2 , –2) и множеством путей из (0, 0) в (2 , 0), заходящих в отрицательную область. В самом деле, любой путь из (0, 0) в (2 , –2) хотя бы раз пересекает прямую –1, поэтому, отразив его часть после первого пересечения этой прямой симметрично относительно неё, получим путь из (0, 0) в (2 , 0), заходящий в отрицательную область. Так как имеется C2nn 1 путей из (0, 0) в (2 , –2), число не заходящих в отрицательную область путей из (0, 0) в (2 , 0) равно

78

Вопросы для самоконтроля по разделу 3

Вопросы для самоконтроля по разделу 3

1. Указать производящую функцию для числа способов выбрасы-

3. Сколькими способами можно расставить в очередь 2n человек, n мужчин и n женщин, так, чтобы в любом начальном отрезке очереди число мужчин не превышало числа женщин?

79

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по пять пронумерованных мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом по ходу движения, двое — спиной, а остальным безразлично, как сидеть. Сколько способов размещения пассажиров с учётом их желаний существует?

2.Сколько существует различных начальных ситуаций при игре

вподкидного дурака, где каждый из четырёх играющих получает при сдаче по шесть карт, а оставшиеся 12 карт лежат в определённом порядке?

3.Восемь молодых людей, девушек и юношей, хотят разделиться на две команды по четыре человека для игры в городки. Сколькими способами они могут это сделать, если:

а) девушек пятеро, а юношей трое, и в каждой команде должен быть хотя бы один юноша;

б) девушек четверо и юношей четверо, а в каждой команде должно быть по две девушки и по два юноши?

80