Комбинаторика. Учебное пособие
.pdf
Задачи для самостоятельного решения
5. |
Сколькими способами можно |
шаров разместить по урнам |
|||
так, чтобы в урнах находилось по |
шаров, в |
2 |
урнах находи- |
||
лось по 2 шаров и т.д., в k урнах находилось по |
k шаро |
||||
|
(m1 m2 mk |
m1n1 m2n2 mk nk |
), |
||
сли |
а) шары различимы и урны различимы; |
|
|
||
|
|
|
|||
|
б) шары различимы, а урны неразличимы; |
|
|
||
|
в) шары неразличимы, а урны различимы; |
|
|
||
|
г) и шары, и урны неразличимы? |
|
|
||
6. |
На окружности выбрано |
точек общего положения, и каж- |
|||
дая пара соединена хордой. Сколько точек пересечения хорд внутри окружности при этом возникло?
(Общее положение означает, что через каждую точку пересечения хорд внутри окружности проходит ровно две хорды. Такое расположение с вероятностью единица возникает при случайном выборе точек на окружности.)
7.Чему равно число 4-значных десятичных чисел, у которых: а) каждая последующая цифра меньше предыдущей; б) каждая последующая цифра не больше предыдущей?
8. Сколько существует бинарных наборов длины ( + ) с единицами и нулями, в которых никакие две единицы не стоят рядом?
( + 1)
9. Сколькими способами человек можно рассадить за круглым толом с + пронумерованными местами так, чтобы никакие двое не сидели рядом? ( )
10.Сколько существует возможных вариантов выпадения при одновременном бросании пяти одинаковых игральных костей?
11.Сколькими способами две монеты по 10 рублей, четыре монеты по 5 рублей и пять монет по 1 рублю могут быть разложены по трем разным кошелькам? (Пустые кошельки допускаются.)
81
Задачи для самостоятельного решения
12. Сколько решений в целых неотрицательных числах имеет неравенство x1 + x2 + + xn ≤ m ?
13. |
Функцией Эйлера (n) для натуральных |
называется число |
||||||||||
натуральных чисел, не превосходящих |
и взаимно простых с |
|||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
|||
Показать, что при |
> 1 φ(n) = n∏ 1 |
− |
|
, где |
p1, p2 , , pk — все |
|||||||
p |
||||||||||||
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
i |
|
|
|
различные простые делители числа n |
|
|
|
|||||||||
14. |
Доказать следующие тождества: |
|
|
|
||||||||
|
n |
m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
а) ∑Ci = Cn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i =m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) ∑ ∑CnkCkr = 3n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k =0 r =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
Для всех натуральных n доказать справедливость двойного |
|||||||||||
неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
≤ C n |
≤ |
|
|
4n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 n |
2n |
|
|
|
3n +1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16.Мэри мечтает выйти замуж за умного, красивого и богатого мужчину. Она считает, что каждый из 20 её поклонников обладает хотя бы одним из этих качеств, причём среди них 11 богатых, 10 умных, девять красивых, трое умных и богатых, четверо красивых и умных, четверо богатых и красивых. Есть ли среди поклонников мужчина её мечты?
17.Сколько натуральных чисел, не превосходящих 1000, не делятся ни на одно из чисел 6, 10, 15?
18. Компания из n мужчин заходит в бар, где каждый оставляет в гардеробе зонт и шляпу. Выходя из бара, компания разбирает зонты и шляпы случайным образом. Найти вероятность того, что:
а) ровно l мужчин окажутся со своим зонтом и своей шляпой;
б) ровно у l мужчин окажется хотя бы одна из их вещей.
82
Задачи для самостоятельного решения
19. За круглым столом требуется рассадить супружеских пар соответствии с правилами этикета, согласно которым мужчины и женщины должны чередоваться и никакие двое супругов не должны сидеть рядом. Сколькими способами это может быть осуществлено, если расположения, получаемые круговым сдвигом всей компании, считать одинаковыми?
20.Сколькими способами можно раздать 12 одинаковых монет пяти нищим так, чтобы каждый получил не менее одной, но не более трех монет?
21.Номера билетов состоят из шести десятичных цифр, так что всего имеется 106 номеров. Найти число «счастливых» номеров, у которых сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх цифр.
22.Найти вероятность того, что две наугад взятые костяшки домино можно приставить друг к другу
23.Из перетасованной колоды (36 карт) извлекаются три карты. Какова вероятность, что сумма их очков будет равна 21 (валет — 2, дама — 3, король — 4, туз — 11, остальные — 6, 7, 8, 9, 10)?
24.Используется колода из 52 карт (достоинства карт начинаются с 2). Карточные комбинации в вопросах задачи взяты из игры
впокер, в которой играющий получает при сдаче пять карт. Найти ероятность получить
а) пять карт одной масти (флеш); б) четыре карты из пяти одинакового достоинства (каре);
в) три карты одного достоинства и две другого (фул); г) пять последовательных карт не одной масти (стрит);
д) три карты одного достоинства и две карты других различных между собой достоинств (тройка);
е) двекартыодногодостоинстваидвекартыдругогодостоинстваплюскартаотличногоотнихдостоинства(дведвойки); ж) две карты одного достоинства и три карты других различ-
ных между собой достоинств (двойка).
83
Задачи для самостоятельного решения
|
25. |
Сколькими способами можно подняться по лестнице с |
сту- |
|||||
пеньками, преодолевая каждым шагом одну или две ступеньки? |
||||||||
|
26. |
Найти формулу -го члена последовательности, заданной |
||||||
рекуррентно: an+1 = an + n +1, 0 |
1. |
|
||||||
|
27. |
Найти формулу -го члена последовательности, заданной |
||||||
рекуррентно: u |
= u |
+ 2n, |
0 |
0. |
|
|||
|
|
|
n+1 |
n |
|
|
|
|
|
28. |
Найти |
и b |
из системы рекуррентных соотношений |
||||
|
|
= 3a |
+ b |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
–6. |
|||
|
n+1 |
n |
n с заданными начальными условиями 0 14, b0 |
|||||
b |
|
= −a |
+ b |
|
|
|
|
|
n+1 |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
29. |
С помощью производящих функций найти формулу для |
||||||
суммы кубов первых |
натуральных чисел |
|
||||||
|
30. |
Задача о баллотировке. Пусть на выборах за кандидата А |
||||||
подано голосов, а за кандидата В — голосов, причём m n. Пусть далее при подсчёте голосов + бюллетеней вынимаются из урны случайным образом. Какова вероятность, что в процессе подсчёта голосов кандидат А ни разу не уступит кандидату В?
31. Сколькими способами 2 человек различного роста могут быть построены в две шеренги так, чтобы в каждой шеренге они стояли по росту и каждый стоящий в первой шеренге был выше стоящего за ним?
84
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ
1.1. а
1.2. в
1.3. а
1.4. б
2.1.а
2.2.б
2.3. в
2.4.б
2.5.в
2.6.в
2.7.б
2.8.б
3.1. в
3.2. а
3.3. в
85
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
1.1.Это число равно числу двоичных наборов длины 10, т.е. 210
1.2.Пусть А — множество конькобежцев, В — лыжников. По
условию |
| A | |
= 2; |
| B | |
= 6. Отсюда |
| B | |
3. |
|
| A ∩ B | |
| A | |
||||
|
| A ∩ B | |
|
|
|||
1.3. Пусть друзей n. Тогда минимальное число разговоров равно 2n – 4. Для n 4 проверяется непосредственно. Пусть добавили одного друга. Число разговоров возрастает на 2. За один разговор он сообщит кому-то свою новость. После того как остальные n обменяются новостями за 2n – 4 разговора, он за один разговор узнает все новости.
1.4. 256. |
|
|
|
|
|
1.5. 24. |
|
|
|
|
|
1.6. 14. |
|
|
|
|
|
1.7. Поскольку 105 3 |
5 7, тосравнениеэквивалентносистеме |
||||
|
2 |
≡ 0 |
(mod 3) |
x ≡ 0 |
(mod 3) |
x |
|
||||
|
|
+1)2 ≡ 0 |
(mod 5) |
|
(mod 5) |
( x |
x ≡ 4 |
||||
|
2 |
≡ 0 |
(mod 7) |
|
(mod 7) |
x |
x ≡ 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
Решение имеет вид x |
84 + 105k, где k Z Z — множество целых |
||||
чисел. |
|
|
|
|
|
1.8. |
|
|A| + |C| | A C | − | A ∩C | |
|
||
|
|
|
|||
| A B | − | A ∩ B | |A| + |B| |C| |
|B| 6. |
||||
86
|
Ответы к задачам |
1.9. В |
угольнике можно провести ( – 3)/2 диагонали. |
В 11-угольнике можно провести 44 диагонали. |
|
1.10. Если — начальное число бактерий, то через k минут оста |
|
нется 2k( |
k) бактерий. Через минут бактерии будут уничтожены. |
1.11. 0.
1.12. 0.
1.13. Обозначим эти множества A B C и D соответственно. U множество всех студентов. Тогда
max | A B C D | |
min {|A|, |B|, |C|, |D|} 70. |
|||||||||||||||||||||||||||
1.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min | A B C D | min | A B C D | |
max | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A |
B |
|
C D | |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|U| – max | A B C D | |
|U| – (| A | |
| B | | C | | D |) 10. |
||||||||||||||||||||||||||
1.15. 120.
1.16. 360.
1.17.Одинаково.
1.18.Вы пересылаете шкатулку с вашим документом, заперев её своим замком. Ваш корреспондент запирает её своим замком
иотсылает обратно. Вы снимаете свой замок и вновь отправляете шкатулку корреспонденту.
1.19.Первый пятак кладётся на центр стола. Далее этот игрок делает ходы, симметричные относительно центра стола ходам второго игрока.
1.20.Каждый раз нужно брать столько камней, чтобы число оставшихся в кучке камней было кратно четырём.
1.21. a2((a2)2)2
1.22. а) нет; б) да; в) да.
1.23. 5 копеек.
87
Ответы к задачам
2.1. Число размещений |
Am |
= |
n! |
|
10!/(10 – 3)! 720. |
|
|
|
|||||
|
n |
|
(n − m)! |
|
||
2.2. Число сочетаний C m = |
|
n! |
|
|||
|
|
|
15!/(3!(15 – 3)!) |
455. |
||
|
|
|
||||
|
n |
m!(n − m)! |
|
|||
|
|
|
||||
2.3.Число размещений Anm
2.4.Число перестановок Pn
2.5.Число размещений Anm
= ( n! )
n m !
−
n! 6!
= ( n! )
n m !
−
11!/(11 – 5)! 55 440.
720.
15!/(15 – 10)! 30 240.
2.6.Правило произведения: 7 8 56.
2.7.Правило произведения: на этапе 1 выбираются три игрока из 10 для удаления, на этапе 2 — три игрока из пяти для замены.
C 3 |
C 3 |
1200. |
|
10 |
|
5 |
|
2.8. |
Правило произведения: (5 + 1)(6 + 1)(7 + 1) 336. |
||
2.9.Для каждого есть 10 вариантов выбора вагона. Правило произведения: 105 100 000.
2.10.Число сочетаний с повторениями:
|
|
m = C m = |
(m + n −1)! |
|
|
6 |
|
C |
|
C |
|||||
|
n m+n−1 |
( |
) |
3 |
|||
|
m! |
n −1 ! |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
2.11. Число сочетаний с повторениями:
|
|
m = C m = |
(m + n −1)! |
|
|
5 |
|
C |
|
C |
|||||
|
n m+n−1 |
( |
) |
4 |
|||
|
m! |
n −1 ! |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
8!/(6!2!) 28.
8!/(5!3!) 56.
88
Ответы к задачам
2.12. Число сочетаний с повторениями:
|
|
m = C m = |
(m + n −1)! |
|
|
4 |
9!/(4!5!) |
|
C |
|
C |
||||||
|
n m+n−1 |
( |
) |
6 |
|
|||
|
m! |
n −1 ! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2.13. Число сочетаний с повторениями:
|
|
m = C m = |
(m + n −1)! |
|
|
10 |
14!/(10!4!) |
|
C |
|
C |
||||||
|
n m+n−1 |
( |
) |
5 |
|
|||
|
m! |
n −1 ! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2.14. Число неупорядоченных разбиений равно
n! |
|
12! |
462. |
n |
2 |
||
∏(i !) ji ji ! |
|
(6!) 2! |
|
i=1
2.15.Число упорядоченных разбиений равно
|
n! |
|
12! |
|
924. |
|
n |
2 |
|
||
|
∏(i !) ji |
|
(6!) |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
2.16. Число сочетаний C 5 |
376 992. |
|
|||
36 |
|
|
|
|
|
2.17. Число размещений A2 |
90. |
|
|
||
|
|
10 |
|
|
|
126.
1001.
2.18. Число кортежей длины 10, в которых яблоко встречается два раза, груша — пять раз и апельсин — три раза, равно
10! |
2520. |
|
2! 5! 3! |
||
|
2.19. Число сочетаний с повторениями:
|
|
m = C m = |
(m + n −1)! |
|
|
5 |
7!/(5!2!) 21. |
|
C |
|
C |
||||||
|
n m+n−1 |
( |
) |
3 |
|
|||
|
m! |
n −1 ! |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
89
Ответы к задачам
2.20. Число упорядоченных разбиений равно |
|
|
||||
|
n! |
|
6! |
90. |
|
|
|
n |
3 |
|
|
||
|
∏(i !) ji |
(2!) |
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
2.21. Число упорядоченных разбиений равно |
10! |
. По опре- |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
(3!)2 4 ! |
|
делению упорядоченного разбиения это количество разбиений, где подгруппа из четырех студентов стоит всегда на одном месте. Поскольку преподавателей трое, то эта подгруппа может стоять на трех местах. Правило произведения даёт окончательный ответ:
10! 3
(3!)2 4 !
2.22. По формуле Стирлинга
|
|
1 |
m |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Snm = |
∑(−1)m−iCmi i n S102 = |
∑(−1)2−iC2i i10 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
m! i =1 |
|
|
|
|
2! i =1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
(−2 + 210 ) 29 – 1 |
511. |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.23. Полиномиальному коэффициенту |
10! |
4200. |
||||||||||
|
3! 3! 4 ! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 7n =17 |
|
|
|
|
|
2.24. |
Система |
4m |
не имеет решения в целых неот- |
|||||||||
|
≤ m + n ≤15 |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рицательных числах. Поэтому член с t17 отсутствует в указанном разложении. То есть коэффициент при нём равен 0.
2.25. Обозначим U множество всех переcтановок, Uj — множе-
ство перестановок, в которых j чисел остаются на исходных местах.
90