Комбинаторика. Учебное пособие

Задачи к разделу 2

Задачи к разделу 2

2.1.В спортивном тотализаторе требуется указать золотого, серебряного и бронзового призёров из 10 команд высшей лиги. Сколькими способами это может быть сделано?

2.2.Сколькими способами студенческая группа в составе 15 человек может делегировать трёх человек для участия в студенческой конференции?

2.3.Если футбольный матч закончился вничью и его судьба решается в серии послематчевых пенальти, то сколькими способами тренер может представить судье список пяти игроков, по очереди в порядке списка исполняющих пенальти, из 11 футболистов, находившихся на поле в момент финального свистка?

2.4.Сколькими способами может быть перетасована 6-карточная колода?

2.5.Сколькими способами можно рассадить 10 кинокритиков в просмотровом зале, имеющем 15 нумерованных мест?

2.6.Ресторанное меню содержит семь первых и восемь вторых блюд. Сколькими способами может быть сделан заказ из первого и второго блюда?

51

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

2.7.Тренер футбольной команды желает одновременно заменить троих из 10 полевых игроков, имея пять футболистов на скамейке запасных. Сколькими способами он может это сделать?

2.8.Некто, имея достаточно денег, зашёл в буфет, где имеется пять ванильных, шесть шоколадных и семь фруктовых пирожных. Сколько вариантов сладкой покупки у него есть, включая и вариант ничего не купить?

2.9.Электропоезд с 10 пассажирскими вагонами подходит к платформе, на которой его ожидают пять человек. Сколькими способами они могут разместиться по вагонам?

2.10.В кондитерской имеются в неограниченном количестве три вида пирожных — ванильные, шоколадные и фруктовые. Некто желает купить шесть пирожных. Сколькими способами он может это сделать?

2.11.Желая преподнести любимой девушке букет из пяти прекрасных свежих роз, молодой человек заходит в цветочный магазин, где есть розы четырех сортов: красные, жёлтые, оранжевые и белые. Сколькими способами можно собрать букет?

2.12.Имеется шесть пушек, замаскированных в разных местах,

ичетыре последних снаряда для них. Сколькими способами можно произвести четыре последних выстрела?

2.13.Сколько неотрицательных целых решений имеет уравнение

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =10, xi ≥ 0, i =1, 2, 3, 4, 5.

2.14.Сколькими способами из 12 человек можно составить две волейбольные команды по шесть человек в каждой?

2.15.Сколькими способами 12 студентов можно распределить между двумя преподавателями так, чтобы у каждого преподавателя было по шесть студентов?

2.16.Сколькими способами может быть отмечено пять номеров из 36 при заполнении карточки лотереи?

52

Задачи к разделу 2

2.17.Пусть имеется 10 языков. Сколько нужно издать словарей, чтобы был возможен перевод с любого языка на любой? (Англо-рус- ский и русско-английский — это два разных словаря и т.п.)

2.18.У мамы два яблока, пять груш и три апельсина. Каждый день в течение 10 дней она решила давать сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

2.19.В достаточном количестве имеются яблоки, груши и апельсины. Сколькими способами может быть составлен подарочный набор из пяти фруктов?

2.20.Сколькими способами можно разделить яблоко, грушу, апельсин, мандарин, сливу и айву между тремя мальчиками так, чтобы каждому досталось по два фрукта?

2.21.Сколькими способами группу из 10 студентов можно разбить на три подгруппы 3 + 3 + 4 и распределить между тремя преподавателями?

2.22.Чему равно число Стирлинга второго рода S102 ?

2.23. Чему равен коэффициент при x13 x24 x33 в разложении

( x1 x2 x3 )10 ?

2.24. Чемуравенкоэффициентпри t17 вразложении (2 t 4 t 7 )15 ?

2.25.Сколько имеется перестановок чисел {1, 2, 3, 4, 5}, в которых никакое число i не стоит на i-м месте?

2.26.В группе пять студентов не занимаются ни в одной спортивной секции, 10 студентов занимаются ровно в одной из спортивных секций, шесть студентов ходят в две секции и один студент занимается в трёх секциях. Сколько всего студентов в группе?

2.27.Всего в группе 25 студентов. Из них в бассейн ходят 10 человек, в гимнастический зал — восемь человек, в волейбольную секцию — шесть человек. При этом четыре человека ходят одновременно в бассейн и на гимнастику, три человека — в бассейн

53

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

и на волейбол и два человека — на гимнастику и на волейбол. Один человек ходит во все три секции. Сколько студентов группы не занимаются в спортивных секциях?

2.28.Сколько натуральных чисел, не превосходящих 100, не делятся ни на 2, ни на 3?

2.29.Проверить данные, приведённые в таблице 1.

i =0

54

Р а з д е л 3

ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

ИРЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Врезультате выполнения алгебраических преобразований могут осуществляться определенные комбинаторные подсчеты. С этим мы уже встретились в разделе 2 при выводе биномиальной формулы, когда комбинаторные объекты — числа сочетаний — появились в новом качестве биномиальных коэффициентов при выполнении алгебраической операции возведения в степень. Рассмотрим еще примеры, иллюстрирующие эту связь между алгеброй и комбинаторикой.

Пример. Пусть в урне находятся три красных, четыре синих и два зелёных шара. Сколькими способами могут быть извлечены шесть шаров, если шары одного цвета считать неразличимыми?

Для ответа на этот вопрос достаточно по обычным алгебраическим правилам раскрыть скобки в выражении

(1 x x 2 x3 )(1 x x 2 x3 x 4 )(1 x x 2 ),

привести подобные члены и взять коэффициент при 6. Здесь первая скобка соответствует красным шарам, вторая — синим и третья — зелёным. Степени буквы в каждой скобке выражают количество шаров данного цвета, которые могут быть взяты. При перемножении скобок показатели степеней складываются, поэтому 6 возникнет столько раз, сколько существует способов выбора шести шаров. Это рассуждение справедливо не только для 6, но и для любой другой тепени

Выполнив умножение, получим многочлен

1 3x 6x 2 9x3 11x 4 11x5 9x6 6x7 3x8 x9 ,

55

РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

который называется производящей функцией для числа способов выбора, так как коэффициент при k равен числу способов выбора

k шаров. В частности, шесть шаров могут быть извлечены девятью способами.

Несколько видоизменим задачу. Пусть теперь требуется найти, сколькими способами можно извлечь из той же урны шесть шаров так, чтобы среди них было нечётное число красных шаров, чётное число синих и хотя бы один зелёный шар. В этом случае также легко выписать производящую функцию, дающую ключ к решению задачи:

(x + x3 )(1 + x 2 + x 4 )( x + x 2 ) =

=x 2 + x3 + 2x 4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 + x 8 +x 9.

Теперьшестьшаровмогутбытьизвлеченылишьдвумяспособами.

Другой пример. Пусть имеются четыре монеты достоинством 1 рубль, три монеты — 2 рубля, две монеты — 5 рублей и одна монета — 10 рублей. Сколькими способами можно набрать денежную сумму в размере 10 рублей?

Рассмотрим выражение

(1 x x 2 x3 x 4 )(1 x 2 x 4 x6 )(1 x5 x10 )(1 x10 ),

в котором каждая скобка соответствует одному из номиналов. Показатели степени, в которые возводится буква в скобке, равны произведению номинала монеты на число монет данного номинала, которое может быть включено в набираемую денежную сумму. Это число изменяется от нуля до количества имеющихся в распоряжении монет данного номинала. Так как при умножении показатели степени складываются, то ответ на вопрос задачи даст после перемножения скобок коэффициент при 10. Выполнив умножение, получим:

1 x 2x 2 3x3 3x 4 3x 5 4 x6 4 x 7 4 x 8 4 x 9 5x10

5x 11 6x12 7x13 7x 14 6x 15 7x16 6x17 6x 18 5x 19 5x 204 x 21 4 x 22 4 x 23 4 x 24 3x 25 3x 26 2x 27 2x 28 x 29 x30 .

56

Производящие функции и рекуррентные соотношения

Таким образом, набрать 10 рублей можно пятью способами.

Вот они:

{10},{5 5},{5 2 1 1 1},{5 2 2 1},{2 2 2 1 1 1 1}.

Конечно, проще было бы решить задачу, просто указав пять возможных вариантов. Однако полученный в результате перемножения скобок многочлен позволяет для любого дать ответ на вопрос, сколькими способами может быть получена денежная сумма в размере рублей. Он является производящей функцией числа способов набора денежных сумм в данной задаче.

Метод производящих функций берёт своё начало в ХVIII веке в работах Муавра, Эйлера, Лагранжа и Лапласа, как и сам термин «производящая функция». Идея метода состоит в том, чтобы сопотавить последовательности {an } a0 , a1, a2 , ... решений задачи сте-

пенной ряд A( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 +... + an x n +...,

производящей функцией последовательности. Аналитические методы работы с функцией A( ) часто оказываются проще и эффективнее комбинаторных методов работы с членами последовательности. Если ряд A( ) сходится в некоторой окрестности нуля, то его можно почленно дифференцировать. Поэтому знание производящей функции позволяет восстановить исходную последовательность

Полезно знать производящие функции для простейших последовательностей. Для последовательности 1, 1, ... , 1, ..., все члены которой равны единице, производящая функция есть

Это хорошо известная из школьного курса математики формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

57

РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Дифференцируя почленно, получаем, что производящая функция последовательности натуральных чисел 1, 2, ..., n, ... ест

С помощью k — кратного дифференцирования получаем

Полезно также следующее непосредственно проверяемое тожде-

ство

1 − x n =1 + x + x 2 +... + x n−1. 1 − x

Теперь, вооруженные уже определенными техническими средствами, перейдем к задачам, решение которых методом производящих функций путем прямого перемножения скобок было бы достаточно утомительным.

Какова вероятность при бросании четырех игральных костей выбросить 14 очков?

Эта вероятность равна отношению числа способов выбросить 14 очков к полному числу возможных выпадений четырех различных костей. Подсчет полного числа выпадений четырех различных костей не составляет труда. Так как каждая кость имеет шесть граней, то это число равно 64. Сложнее найти число способов, которыми может быть выброшено 14 очков. Ответом на этот вопрос является коэффициент при x14 в выражении (x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)4. Здесь каждая из четырёх скобок, возникающих при расписывании степени в виде произведения, соответствует одной из игральных костей, а стоящие в скобке степени переменной x выражают возможные

58

Производящие функции и рекуррентные соотношения

значения очков на данной кости. После выполнения алгебраических преобразований коэффициенты степенного ряда укажут число способов получения любой суммы от 4 до 24. Поэтому полученный степенной ряд (в данном случае конечный) называется производящей функцией для числа способов выпадения различных сумм в четырёх бросаниях. Используя (3) и (2), найдём эту производящую функцию

P = 146 = 146 ≈ 0,11. 6 4 1296

Пусть требуется найти число целочисленных решений системы

Легко понять, что искомое число решений есть коэффициент при z40 после раскрытия скобок в выражении

(z 4 +... + z15 )(z9 +... + z18 )(z5 +... + z16 )

59

РАЗДЕЛ 3. ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ И РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Три перемножаемые скобки соответствуют переменным 1 2 3, и выписанное выражение является производящей функцией для числа решений системы

так как при любом целом n 0 коэффициент при равен числу решений. Найдём коэффициент при 40

( z 4 +... + z15 )( z9 +... + z18 )( z5 +... + z16 ) =

=z 4 (1 +... + z11 ) z9 (1 +... + z9 ) z5 (1 +... + z11 ) =

В коэффициент при z40 дают вклад значения n 22, 12, 10, 0.

В качестве ещё одного любопытного приложения производящих функций докажем единственность представления натурального числа в двоичной системе счисления.

60