Комбинаторика. Учебное пособие
.pdf
Ответы к задачам
U |
j |
( |
|
j)!. Эти j чисел можно выбрать C j способами. Итого вари- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||
антов C j |
( j)! |
|
|
. По формуле включений и исключений: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
j ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
U \ (U1 U 2 ... U n ) |
|
|
|
|
|
n! |
n! n! n! |
+ +(−1)n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
− |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
3! |
4 ! |
5! |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
n! |
|
− |
+ |
− |
|
+ + |
(−1) |
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
3! 4 ! 5! |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
В нашем случае искомое число равно |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
5! |
− |
+ |
|
− |
60 |
– 20 + 5 – 1 44. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
3! |
|
4 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2.26. Обозначим U множество студентов в группе. U0 U1 U2
U3 — подмножества множества занимающихся в 0, 1, 2, 3 секциях соответственно. Поскольку эти подмножества не пересекаются,
|U| |U0| + |U1| + |U2| + |U3| 5 + 10 + 6 + 1 22.
2.27. По формуле включения и исключения всего число спорт-
сменов равно (10 + 8 + 6) – (4 + 3 + 2) + 1 24 – 9 + 1 16. Не зани-
маются спортом 25 – 16 9 человек.
2.28. На 2 делятся [100/2] 50 чисел. На 3 делятся [100/3] 33 числа. Одновременно на 2 и на 3 делятся [100/6] 16 чисел. По формуле включений и исключений получаем 100 – (50 + 33) + 16 100 – 83 + 16 33.
2.29. Поясним лишь два случая:
1. Если элементы множества A неразличимы, а элементы множества B различимы, то произвольная функция f определяется набором кратностей принимаемых ею из множества B значений, т.е. является мультимножеством мощности n, определённым на m типах.
91
Ответы к задачам
2. В случае, когда элементы множества A различимы, а элементы множества B неразличимы, сюръекция является разбиением
элементного множества на |
классов |
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2.30. ∑Cni = (1 +1)n = 2n . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)i Cni = (1 −1)n = 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
i =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+m |
|
2.32. С одной стороны, (1 + x)n+m = ∑ Cnk+m x k . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
m |
|
|
(1 + x)n+m = (1 + x)n (1 + x)m = ∑ ∑ Cni Cmj xi + j = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i =0 j =0 |
|
|
|
|
n+m |
|
|
k |
n |
m |
|
= |
∑ |
|
|
∑ |
|
||||
|
x k |
|
C i |
C k |
−i . |
||||
|
|
|
k =0 |
|
i =0 |
|
|
|
|
Сравнивая коэффициенты при равных степенях, получаем нужную формулу.
2.33. В формуле задачи 2.32 нужно положить |
k |
92
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. — М.: Наука, 2004.
2.Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. —
М.: Мир, 1998.
3.Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика. —
М.: Наука, 1990.
4.Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А., Федько О.С., Дадашев Т.М. Сборник задач по дискретному анализу. — М.: МФТИ, 2004.
5.Зуев Ю.А. Современная дискретная математика. — М.: Леланд, 2019.
6.Зуев Ю.А. Современная дискретная математика в задачах и решениях. — М.: Леланд, 2019.
7.Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения / под ред. К.А. Рыбникова. — М.: Наука, 1982.
8.Леонтьев В.К. Избранные задачи комбинаторного анализа. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.
9.Липский В. Комбинаторика для программистов. — М.: Мир, 1988.
10.Перечислительные задачи комбинаторного анализа / сб. переводов под ред. Г.П. Гаврилова. — М.: Наука, 1979.
11.Райзер Г.Дж. Комбинаторная математика. — М.: Мир, 1966.
12.Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. — М.: ИЛ, 1963.
93
Дополнительная литература
13.Риордан Дж. Комбинаторные тождества. — М.: Наука, 1982.
14.Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985.
15.Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. — М.: МЦНМО, 2004.
16.Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т. 1. — М.: Мир, 1990.
17.Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т. 2. — М.: Мир, 2005.
94
Учебное издание
КОМБИНАТОРИКА
Учебное пособие
Формат 60 ×90/16. Гарнитура Times Печ. л. 6,0.
ИД «Юриспруденция» 105066, Москва, ул. Спартаковская 6-50
www.jurisizdat.ru, e-mail: e-book@mail.ru