Комбинаторика. Учебное пособие

Операции над множествами

Множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из множеств A или B называется объединением множеств A и B и обозначается A B.

Множество, состоящее из элементов, входящих в оба множества A и B называется ересечением множеств A и B и обозначается A B. Если A∩ B = , т.е. у множеств A и B нет общих элементов, то говорят, что множества A и B не пересекаются

Операции объединения и пересечения могут быть наглядно представлены, как показано на рис. 3.

На практике часто возникает следующая задача. По известным мощностям конечных множеств A и B и мощности их пересечения требуется найти мощность их объединения. Если множества A и B не пересекаются, то | A B |=| A| + | B |. Если же пересечение A и B не пусто, то в сумму | A| | B | каждый элемент пересечения входит дважды. Поэтому в общем случае для подсчёта мощности объединения используется формула

|A B |=| A|+ | B |− | A∩ B |

Втеории множеств рассматриваются ещё две операции над множествами, которые называются разность и симметрическая раз

Множество, состоящее из элементов, входящих в A но не входяих в B называется разностью множеств A и B и обозначается

A \ B.

11

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

Множество, состоящее из элементов, входящих ровно в одно из множеств A или B называется их симметрической разностью и обо-

Как правило, множества, с которыми приходится иметь дело в дискретной математике, являются подмножествами некоторого большего множества. Если такое универсальное для данного круга

задач множество U задано, то все рассматриваемые множества будут

его подмножествами и для любого из них определена операция дополнения A U \ A. Схематически она представлена на рис. 5.

Разность и симметрическая разность могут быть выражены через основные операции , ∩, как:

A \ B = A∩ B; B \ A = B ∩ A; A B = (A∩ B) (A ∩ B).

12

Операции над множествами

Операции , ∩, обладают рядом интересных свойств. Укажем важнейшие из них.

1. Коммутативность (переместительный закон):

A B = B A; A∩ B = B ∩ A.

2. Ассоциативность (сочетательный закон):

(A B) C = A (B C); (A∩ B) ∩ C = A∩ (B ∩ C).

3.Дистрибутивность (распределительный закон):

A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C);

A∩ (B C) = (A∩ B) (A∩ C).

4. Инволютивность дополнения (преобразование периода 2, повторное применение которого даёт исходное множество):

A A.

5. Правила де Моргана:

A B = A ∩ B; A∩ B = A B.

Свойства 1–3 напоминают свойства арифметических операций «+» и «×», но в отличие от них между операциями и существует полная симметрия. Ассоциативность, коммутативность и инволютивность вполне очевидны и не нуждаются в доказательстве. Справедливость дистрибутивности и правил де Моргана может быть непосредственно усмотрена из диаграмм Эйлера — Венна или установлена несложным логическим рассуждением. В качестве примера такого рассуждения докажем первое из правил де Моргана:

A B = A ∩ B.

Пусть x A B. Тогда

x A B x A и x B x A и x B x A∩ B

Поэтому A B A ∩ B

13

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть y A ∩ B . Тогда

y A и y B y A и y B y A B y A B

Поэтому A ∩ B A B

Отсюда вытекает, что A B = A ∩ B

Прямое произведение

Помимо определённых выше операций, имеется ещё одна важная операция над множествами, которая называется прямым или декар-

товым произведением множеств. Прямым (декартовым) произведе-

нием A B множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар (a, b), где a A, b B.

Пусть A {a1 a2 a3}, B {b1 b2}. Тогда их прямое произведе-

ние A B {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2), (a3, b1), (a3, b2) }

состоит из 3 × 2 = 6 элементов. И в общем случае мощность прямого произведения двух конечных множеств находится как произведение их мощностей: | A× B | = | A|×| B |.

Множество двоичных векторов длины n с компонентами 0 или 1 или, как говорят, бинарных наборов можно рассматривать, таким образом, как {0, 1}n n-ю декартову степень множества {0, 1}. Поэтому число таких наборов в соответствии с вышеприведённой формулой равно 2n, что уже было ранее доказано.

Отношения

Если взять некоторый коллектив людей и рассмотреть упорядоченную пару (a, b), взятую из этого множества, то члены пары могут находиться в некотором отношении R, что обозначается, как (a b) R. В качестве такого отношения R может выступать, например, отношение знакомства, тогда (a, b) R означает, что a и b зна-

14

Отношения

комы между собой. В этом случае, если ( b) R, то и (b ) R что выражает симметричность отношения знакомства. Если же в каче-

следует (b ) R что выражает асимметричность долгового отношения

Подобные бинарные отношения естественным образом возникают и на числовых множествах. Здесь отношение « » является примером симметричного отношения, а отношения «<» и «>» — примерами асимметричных отношений. Рассмотрев подобные поясняющие примеры, определим математическое понятие бинарного отношения в самом общем виде.

Пусть A — произвольное множество, A2 = A × A — его декартов квадрат (множество всех упорядоченных пар его элементов). Если задано некоторое подмножество R A2, т.е. некоторое множество упорядоченных пар (ai , a j ), где ai , a j A, то говорят, что на множестве A задано бинарное отношение R . Пишут (ai , a j ) R или

aiRaj .

Для каждого отношения R обратное ему отношение R 1 определяется следующим образом: (ai , a j ) R−1 тогда и только тогда,

когда (a j , ai ) R. Отношения «<» и «>», а также «≤» и «≥» являются примерами пар взаимно обратных отношений.

Выделяют следующие основные свойства бинарных отношений:

т.е. никакой элемент множества A не находится в отношении R сам

с собой.

3. Cимметричность — из ( b) R следует (b ) R т.е. отношение R не зависит от порядка, в котором берутся элементы и b

15

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

6.Транзитивность— из (a, b) R и (b, c) R следует (a, c) R.

Вкачестве примеров можно привести хорошо известные отношения для пар чисел « » (равно), «<» (меньше), «≤» (меньше или

равно), «>» (больше), «≥» (больше или равно). Отношение « » рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношения «<» и «>» иррефлексивны, асимметричны и транзитивны. Отношения «≤» и «≥» рефлексивны, антисимметричны и транзитивны.

Два вида отношений, характеризующиеся определёнными наборами перечисленных свойств, являются особенно важными — это

отношение порядка и к

] Определение 1. Бинарное отношение R на множестве A, являющееся одновременно рефлексивным, антисимметричным и транзитивным, называется отношением порядка.

Таким образом, отношения «≤» и «≥» являются отношениями

ный арифметический символ. Запись b a обозначает обратное

или цепью. Обычное отношение «≤» на множестве действительных чисел и его подмножествах является примером линейного порядка

16

Отношения

Система подмножеств некоторого множества, упорядоченная по ключению: A ≤ B A B, даёт пример порядка, не являющегося линейным. В таком случае говорят о упорядоченном

Другим интересным примером частично упорядоченного множетва является множество натуральных чисел, упорядоченное отношением делимости. В этом порядке если m / n. Так, 3 6, но неверно, что 4 6.

В качестве ещё одного примера частичного порядка можно привести множество разбиений некоторого множества. Здесь разбиение следует за разбиением (α ≤ β), если получается измельчением , т.е. разбиением некоторых подмножеств разбиения Например, если рассматриваются разбиения множества {1, 2, 3, 4, 5}

α ={1, 2, 3} {4} {5}, а β ={1, 2, 3} {4, 5}, то α ≤ β.

иметь ни одного минимального элемента, как, например, множество елых чисел Z ={ ,− 3, − 2, −1, 0, 1, 2, 3, } с обычным отношением порядка между числами. Но подобная ситуация возможна лишь для бесконечных множеств. Конечные множества обязательно имеют минимальные элементы, которых может быть один или больше. Так, в системе из пяти множеств { }, { b}, { }, {b, c}, {a, b, c}, упорядоченных по включению, имеется два минимальных элемента: {a} и {b, c}. В системе из семи натуральных чисел {2, 3, 4, 6, 8, 12, 16}, упорядоченных отношением делимости, также имеется два минимальных элемента: 2 и 3.

Элемент называется , если для любого b имеет место b. Если в упорядоченном множестве имеется наименьший элемент, то он единственен. В самом деле, если и b — два наименьших элемента, то b и b , и по свойству антисимметрич-

17

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

ности имеем b. Ясно также, что если в конечном частично упорядоченном множестве имеется единственный минимальный элемент, то он является наименьшим. Аналогичным образом определяются

максимальный и наибольший элементы Множество всех подмножеств некоторого множества имеет в

качестве наименьшего и наибольшего элементов два несобственных подмножества — и само множество. Множество натуральных чисел, упорядоченное отношением делимости, имеет в качестве наименьшего элемента единицу и не имеет наибольшего. Множество разбиений имеет в качестве наибольшего элемента само разбиваемое множество, а в качестве наименьшего — его разбиение на дноэлементные подмножества

Будем говорить, что b непосредственно следует за или что b окрывает если a b и между и b невозможно вставить ни дного элемента c такого, что a c b. В этом случае будем писать a b. Если в конечном упорядоченном множестве a b, но b не

точно просто вставлять между и b элементы до тех пор, пока это возможно. По отношению « » легко восстанавливается отношение порядка », а именно b том и только в том случае, если сущетвует цепочка a c1 …cm b.

Конечные упорядоченные множества с небольшим числом элементов удобно наглядно представлять с помощью диаграмм Хассе. На ней элементы представляются точками, а непосредственно следующие друг за другом элементы соединяются отрезками, причём конец отрезка, соответствующий большему элементу, располагается выше. Рассмотренные выше система из упорядоченных по включению подмножеств и система упорядоченных по делимости натуральных чисел могут быть представлены диаграммами Хассе, как показано на рис. 6.

18

Рассмотрим теперь другой важнейший тип бинарных отношений.

] Определение 2. Бинарное отношение на множестве A, являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным,

к

Отношение эквивалентности между элементами и b обычно записывают как a ~ b. Для каждого элемента a A множество K(a) сех элементов, эквивалентных называется к к

. При этом a K(a) ввиду рефлексивности отношения эквивалентности

Любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают. В самом деле, пусть K(a) ∩ K(b) ≠ и c K(a) ∩ K(b).

Таким образом, каждое отношение эквивалентности разбивает множество A на непересекающиеся подмножества так, что два элемента лежат в одном классе в том и только в том случае, если они находятся в отношении эквивалентности. Обратно с любым разбиением множества A на непересекающиеся подмножества можно связать соответствующее отношение эквивалентности. Поэтому подмножества любого разбиения называют к . Множество же классов эквивалентности называется фактормножеством множества A по отношению к данному отношению эквивалентности

19

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

Если в качестве множества A взять множество студентов университета, а в качестве бинарного отношения на этом множестве рассмотреть принадлежность двух студентов к одной и той же студенческой группе, то это отношение будет, очевидно, отношением эквивалентности, в котором множество студентов, принадлежащих к одной и той же группе, образует класс эквивалентности. Множество студенческих групп и будет в данном случае фактормножеством

В качестве другого, более математического примера рассмотрим отношение сравнения на множестве целых чисел Z {0, 1, 2, 3, }. Выберем произвольное натуральное число и пределим на Z отношение R следующим образом: z1 Rn z2, если z1 z2 делится на . Легко проверить, что R является отношением эквивалентности. В самом деле, рефлексивность и симметричность проверяются тривиально. Проверим свойство транзитивности. Пусть

Любая пара целых чисел сравнима по модулю 1 и всё множетво Z при n 1 образует один класс эквивалентности. При n 2 множество целых чисел разбивается на два класса эквивалентности: множество чётных чисел и множество нечётных чисел. В общем лучае множество Z разбивается на классов эквивалентности K(0), K(1), , K(n 1), характеризуемых остатками от деления на

ством классов вычетов по модулю

20