Комбинаторика. Учебное пособие

Сочетания с повторениями

Полученные величины называют полиномиальными коэффициентами. В частности, число двоичных последовательностей длины n

m-элементных подмножеств n-элементного множества, так как каждый такой набор можно рассматривать как характеристический вектор m-элементного подмножества.

В качестве примера рассмотрим наборы (a1, a2, a3, a4), где ai {α, β, γ}. Полное число таких наборов равно 34 81. Найдём число наборов, в которых символ встречается дважды, а символыи — по одному разу. В соответствии с полученной выше общей

Сочетания с повторениями

Пусть теперь имеется n типов элементов, где элементы одного типа считаются неразличимыми, а запас элементов каждого типа неограничен. Рассматриваются m-элементные множества, в каждое из которых может включаться любое количество элементов каждого типа от 0 до m. Число таких множеств называется числом сочетаний

31

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

с повторениями из n п и обозначается Cnm . Здесь возможен слу-

чай и m > n

Сочетание с повторениями называют также мультимножеством Если обычное множество задаётся характеристическим вектором, компоненты которого принимают значения 0 или 1, то мультимножество на n типах элементов может быть задано вектором кратно-

стей типов ( 1, 2, , n ), где i — число элементов i-го типа в мультимножестве, которое может быть любым целым неотрицатель-

ным числом. Мощность мультимножества A определяется как сумма

n

кратностей типов: | A| = ∑λi. В терминах мультимножества Cnm

i=1

есть число мультимножеств мощности m, построенных на n типах элементов.

Найдём теперь числа Cnm. С этой целью рассмотрим наборы длины (n + m − 1), компонентами которых являются символы «*» и «׀», причём число звездочек равно m, а число чёрточек — (n – 1). С каждым таким набором можно связать сочетание с повторениями, ставя в каждом из n промежутков между чёрточками вместо звездочек символы типа, соответствующего номеру промежутка. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между m-элементными множествами из n типов элементов и двухсимвольными наборами длины (n + m −1).

Установленное взаимно однозначное соответствие позволяет

Разбиения

Пусть теперь n-элементное множество разбивается на классы, среди которых j1 одноэлементных, j2 двухэлементных, j3 трёхэлементных и т.д., где 1j1 + 2 j2 + + njn = n. Назовём такое разбиение

32

Разбиения

разбиением типа ( j1, j2, , jn ) и найдём число разбиений заданного типа

по два элемента и т.д. При этом перестановка элементов внутри каждого класса, а также перестановка целиком классов одинаковой мощности между собой не меняют разбиения. Поэтому число раз-

n!

биений типа ( j1, j2, , jn ) равно n

∏(i!) ji ji !

i=1

Число разбиений 4-элементного множества на два 2-элементных

ные разбиения множества {a b c d} на два двухэлементных класса:

{a, b} {c, d}, {a, c} {b, d}, {a, d} {b, c}.

Подчеркнём, что разбиение — это множество, элементами которого являются классы, и два разбиения одинаковы, если между их классами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором друг другу соответствуют одинаковые классы.

Наряду с обычными разбиениями часто рассматриваются и так называемые упорядоченные разбиения типа ( j1, j2, , jn ), в кото-

рых классы линейно упорядочены в соответствии с неубыванием их мощностей. В упорядоченном разбиении перестановка классов одинаковой мощности приводит к различным упорядоченным разбиениям, и число упорядоченных разбиений типа ( j1, j2, , jn ) оказы-

33

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

Числа Стирлинга и Белла

Числом Стирлинга второго рода Snm называется число разбие-

Snm имеет место следующее рекуррентное соотношени

Snm = mSnm−1 + Snm−−11

Вего справедливости можно убедиться следующим образом. Раз-

биение элементного множества на классов можно получить, убрав один из элементов из множества и действуя затем одним из двух способов: разбив оставшееся ( – 1)-элементное множество на классов и добавив убранный элемент к одному из классов, что может быть сделано mSnm 1 способами, либо образовав из убранного элемента отдельное подмножество, разбив ( – 1)-элементное мно-

жество на – 1 классов.

Значения Snm могут быть также найдены по формуле Стирлинга

S m = 1 m (−1)m−iCi in. n m!∑i=1 m

Полное число всевозможных разбиений n-элементного множества называется числом Белла и обозначается B(n). По определению имеем

n

B(n) = ∑ Snm.

m=1

Вот все 15 разбиений четырёхэлементного множества {a, b, c, d}:

{a, b, c, d}, {a} {b, c, d}, {a} {b} {c, d}, {a} {b} {c} {d}, {b} {a, c, d}, {a} {c} {b, d}, {c} {a, b, d}, {a} {d} {b, c}, {d} {a, b, c}, {b} {c} {a, d}, {a, b} {c, d}, {b} {d} {a, c}, {a, c} {b, d}, {c} {d} {a, b}, {a, d} {b, c}.

34

Числа Стирлинга и Белла

Для чисел Белла также существует рекуррентное соотношение

n

B + = ∑ C k B

n 1 n k k=0

Чтобы его обосновать, зафиксируем в ( + 1)-элементном множетве A некоторый элемент . Формируем разбиение множества A выбирая из множества A \{a} содержащий класс мощности k (0 k ) (Cnk способов) и разбиваем его дополнение (Bn k способов), откуда и следует искомое рекуррентное соотношение.

Для B существует также красивая формула Добинского выражающая это число в виде суммы бесконечного ряда

1 ∞ mn

Bn = e m∑=0 m!

Числом Стирлинга первого рода snm называется число подстано-

вок на n символах, имеющих m независимых циклов. Если подстановка имеет j1 циклов длины 1, j2 циклов длины 2, j3 циклов

длины 3 и т.д., где 1j1 + 2 j2 + + njn = n, то говорят, что это подстановка типа ( j1, j2, , jn ).

Для snm также существует удобное рекуррентное соотношение

snm = (n −1)snm−1 + snm−−11

Доказательство этого соотношения аналогично доказательству рекуррентной формулы для чисел Стирлинга второго рода с той лишь разницей, что убранный из n-элементного множества элемент можно добавить в один из m циклов (n – 1)-элементного множества n – 1 способами, так число способов добавления в каждый цикл равно длине цикла. Заметим также, что числом Стирлинга первого

рода в математической литературе часто называют не snm, а

( 1)n m snm.

35

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

Комбинаторные отображения

Многие задачи комбинаторики сводятся к изучению отображений из одного конечного множества в другое. Рассмотрим такие отображения в общем виде. Пусть f : A B, где | A| n, | B | m. Используя введённые комбинаторные числа, найдём число таких функций. Будем при этом различать случаи, когда все элементы каждого из множеств A или B различимы или неразличимы, а функ-

ия f может быть произвольной функцией, а также инъекцией или

сюръекцией. Уточним, что в случае неразличимости элементов множества A функции f1 : A B и f2 : A B одинаковы, если некоторой подстановкой элементов множества A одна из функций может быть переведена в другую. Аналогичным образом определяется совпадение функций в случае неразличимости элементов множетва B. Данную задачу можно наглядно проинтерпретировать как размещение шаров по урнам, где шары и урны могут быть как различимыми, так и неразличимыми. Результаты подсчётов представлены в таблице 1.

Рассмотрим число всевозможных отображений f : A B, когда элементы обоих множеств различимы. С одной стороны, это число

36

Полиномиальные и биномиальные коэффициенты

Пусть требуется раскрыть выражение (x1 + x2 +... + xm )n , т.е.

. Найдём эти числа. В соответствии с правилами алгебры в процессе раскрытия скобок из каждой скобки выбирается один из имволов {x1, , xm }, и они перемножаются. В результате возникает набор из сомножителей, выбираемых из множества {x1, , xm }. И наоборот, каждый такой набор может быть получен как результат подобного выбора. Затем среди полученных таким образом наборов выполняется приведение подобных членов, в результате чего и возникают коэффициенты A (i1, ..., im ). Поэтому коэффициент A (i1, ..., im ) равен числу составленных из символов x1, ..., xm последовательностей длины в которых символ j

37

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

используется ij раз. Как было установлено в предыдущем разделе,

Наиболее часто эта формула используется при возведении в n-ю степень двучлена. В этом случае она принимает вид

фигурировавшие ранее как числа сочетаний. Биномиальные коэффициенты очень важны и встречаются практически во всех разделах математики.

Из биномиальной формулы можно извлечь еще целый ряд соотношений между биномиальными коэффициентами. Например,

n

(1 + x)n = ∑Cnk x k .

k =0

Продифференцировав по x, получим

n

n(1 + x)n−1 = ∑k Cnk x k −1,

k =1

x 1, получим новое интересное соотношение

n

∑k Cnk = n2n−1.

k =1

38

Полиномиальные и биномиальные коэффициенты

Подставив теперь вместо мнимую единицу i получим

n

(1 + i)n = ∑Cnk i k = (1 −Cn2 +Cn4 −Cn6 + ) + i(Cn1 −Cn3 +Cn5 −Cn7 + ).

k=0

Сдругой стороны, по формуле Муавра имеем

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем ещё два соотношения:

Список получаемых подобным образом соотношений может быть продолжен.

Например,

k

∑(−1)i Cni = (−1)k Cnk−1.

i =0

В самом деле:

+(Cn1−1 +Cn2−1 ) −(Cn2−1 +Cn3−1 ) + +(−1)k −1(Cnk−−12 +Cnk−−11 ) +

+(−1)k (Cnk−−11 +Cnk−1 ) = (−1)k Cnk−1.

39

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

Вот ещё одно тождество

Данное равенство имеет очевидный комбинаторный смысл. Система вложенных множеств A B C с мощностями, соответ-

ственно, m i и n может быть получена Cni Cim способами, если сначала из множества C выбирать множество B, а затем из множества B выбирать множество A, и Cnm Cni mm способами, если сначала из множества C выбирать множество A, а затем дополнять его до B

Теперь доказательство этого тождества уже не составляет труда:

Формула включения и исключения

Чтобы найти мощность объединения двух непересекающихся множеств, нужно просто сложить их мощности: | A B | = | A | + | B | .

Если же множества пересекаются, то при сложении их мощностей каждый элемент объединения, входящий только в одно из множеств, учитывается один раз, но каждый элемент пересечения будет посчитан дважды. Поэтому для правильного ответа необходимо из

40