Комбинаторика. Учебное пособие

Отображения

Отображения

Если каждому элементу множества A поставлен в соответствие единственный элемент множества B то говорят, что задано отобра-

Функцию y f (x) можно рассматривать и как бинарное отношение R между образом и прообразом (x, y) специального типа, выде-

тот же элемент множества B, другими словами, каждый элемент множества B имеет не более одного прообраза;

сюръекцией если для каждого b B существует такое A что b f (a), т.е. множество A отображается на всё множество B другими словами, каждый элемент множества B имеет хотя бы один прообраз;

биекцией если f является инъекцией и сюръекцией одно-

ременно, т.е. f устанавливает взаимно однозначное соответствие

между множествами A и B

Если функция f : A B является биекцией, то для неё существует обратная функция f −1 : B → A. Это схематически представлено на рис. 7.

21

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

A

B

Рис. 7

Если на каждом из множеств A и B определено отношение порядка, то функция f : A B называется монотонной если из

2 следует f (a1) f (a2).

Рис. 8

Сохраняя при записи композиции отображений порядок выполнения отображений слева направо, отображаемый элемент множе-

22

Вопросы для самоконтроля по разделу 1

ства удобнее писать слева от символа отображения. Пусть (a) f b, (b) g c, (c)h d. Тогда (a)( f g) c и (a)(( f g) h) d. Анало-

гично (b)(g h) d и (a)( f (g h)) d, что и доказывает ассоциативность отображений. Из закона ассоциативности вытекает, что любая расстановка скобок в последовательности отображений приодит к одному и тому же результату

Композиция прямого и обратного отображения всегда даёт тождественное отображение.

Вопросы для самоконтроля по разделу 1

1.1.В спортивной команде университета каждый спортсмен занимается хотя бы одним видом спорта — коньками или лыжами. Самый юный конькобежец среди лыжников и самый юный лыжник среди конькобежцев — одно и то же лицо?

Выбрать правильный ответ: а) да; б) нет;

в) может быть как одно и то же лицо, так и разные лица.

1.2.В спортивной команде университета каждый спортсмен занимается хотя бы одним видом спорта — коньками или лыжами. Лучший конькобежец среди лыжников и лучший лыжник среди конькобежцев — одно и то же лицо?

Выбрать правильный ответ: а) да; б) нет;

в) может быть как одно и то же лицо, так и разные лица.

1.3.В спортивной команде университета каждый спортсмен занимается хотя бы одним видом спорта — коньками или лыжами. Каждый шестой среди лыжников является конькобежцем, а каждый второй среди конькобежцев является лыжником. Кого больше — лыжников или конькобежцев?

23

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

Выбрать правильный ответ: а) лыжников; б) конькобежцев;

в) равное количество.

1.4. При каких натуральных число 9 +1 – 8 – 9 делится на 64? Выбрать правильный ответ:

а) ни при каком б) при любом

в) только при некоторых

Задачи к разделу 1

1.1.Фирма получила 10 заказов на доставку пиццы. Сколькими способами заказы могут быть распределены между двумя курьерами?

1.2.В спортивной команде университета каждый спортсмен занимается хотя бы одним видом спорта — коньками или лыжами. Каждый шестой среди лыжников является конькобежцем, а каждый второй среди конькобежцев является лыжником. Чему равно отношение числа лыжников к числу конькобежцев?

1.3.У каждого из четырёх друзей появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое обмениваются всеми известными им новостями. За какое минимальное число разговоров каждый из друзей узнает все новости?

ai1i2i3i4 1?

1.6.Чему равен наибольший общий делитель чисел 364 и 266?

24

Задачи к разделу 1

A∩ B = A∩ C и A B = A C. Множество B состоит из шести элементов. Из скольких элементов состоит множество C?

1.9.Сколько диагоналей можно провести в правильном 11-уголь-

нике?

1.10.В колонию из 100 бактерий попадает вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию и делится на два вируса.

Вэту же минуту каждая оставшаяся бактерия делится на две. Во вторую минуту два вируса уничтожают две бактерии, и каждый из них делится на два вируса. В эту же минуту каждая оставшаяся бактерия делится на две. Через сколько минут колония бактерий будет уничтожена вирусами?

1.13.100 студентов сдавали четыре предмета. Из них на отлично сдали математику — 70, физику — 75, химию — 80, информатику — 85 студентов. Какое максимальное число студентов могло сдать все предметы на отлично?

1.14.100 студентов сдавали четыре предмета. Из них на отлично сдали математику — 70, физику — 75, химию — 80, информатику — 85 студентов. Какое минимальное число студентов могло сдать все предметы на отлично?

1.15.Пусть p11p22 p33 p44 — каноническое разложение числа на простые множители. Сколько это число имеет делителей (включая 1

исамо число)?

1.16.Чему равно наименьшее общее кратное чисел 60 и 72?

25

РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ

1.17.Бокал вина выплёскивается в бочку с водой, а потом снова наполняется из неё. Чего после этого будет больше, воды в бокале или вина в бочке?

1.18.Вы должны послать своему корреспонденту секретный документ. У вас есть невскрываемая шкатулка, на которой предусмотрено место для двух секретных замков, каждый из которых отпирается единственным уникальным ключом. Такой замок с единственным ключом есть у вас и у вашего корреспондента. Есть также возможность пересылать шкатулку друг другу. Как переслать документ с гарантией, что его не прочтёт никто, кроме вашего корреспондента?

1.19.Имеется круглый стол. Игра заключается в следующем — два игрока поочерёдно кладут на этот стол пятаки. Проигрывает тот, кто положит пятак последним. Указать выигрышную стратегию для игрока, который ходит первым.

1.20.Древняя восточная игра Ним. В кучке 21 камень. Каждый игрок за очередной ход может взять из неё один, два или три камня. Выигрывает тот, кто возьмёт последний камень. Указать выигрыш-

ную стратегию для игрока, который ходит первым.

1.21. Как найти 10, сделав всего четыре умножения? Промежуточные результаты можно запоминать

1.22.Если существует биекция множества A на множество всех натуральных чисел N {1, 2, 3, …}, то множество A называется счётным. Является ли счётным:

а) множество точек отрезка [0, 1]; б) множество всех рациональных чисел;

в) множество всех алгебраических чисел (то есть чисел, являющихся корнями многочленов с целыми коэффициентами)?

1.23.Для покупки букваря Маше не хватило пяти копеек, а Ване не хватило одной копейки. Тогда они решили купить один букварь на двоих, но денег всё равно не хватило. Сколько стоил букварь?

26

Р а з д е л 2

КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

Правило произведения

Пусть некоторый выбор осуществляется в два этапа, причём на первом этапе имеется k1 возможностей для выбора, на втором — k2 Тогда полное число возможных вариантов выбора равно k1k2

Пример. Из города А в город В ведут две дороги, а из города В в город С — три дороги. Сколько существует маршрутов, ведущих из города А в город С через город В?

Ответ: существует 2 3 6 маршрутов.

Очевидно, если выбор производится в этапов и на i м этапе име-

тсяki возможностей,тополноечисловозможностейравно

Правило произведения является основой элементарной комбинаторики. Его можно наглядно представить с помощью дерева выбора возможностей (рис. 9).

Рис. 9

27

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

При применении правила произведения нужно следить за тем, чтобы при ветвлении в каждой вершине происходило разбиение множества вариантов на непересекающиеся подмножества. Этим гарантируется, что окончательные варианты, получаемые на концах ветвей дерева, будут различными при движении по различным ветвям.

Поясним это на примере. Пусть с помощью правила произведения хотят найти число двухэлементных подмножеств элементного множества, считая, что на первом этапе формирования подмножества выбирается один элемент, а на втором — другой. Тогда на первом этапе выбор производится из возможностей, а на втором — из

– 1. Поэтому в соответствии с правилом произведения получилось бы, что число двухэлементных подмножеств равно ( – 1), что неверно, так как это число равно ( – 1)/2.

Ошибка объясняется тем, что при таком порождении двухэлементных подмножеств каждое подмножество возникает дважды: при одном порядке включения входящих в него элементов и при другом. И здесь с помощью правила произведения на самом деле находится число упорядоченных двухэлементных выборок.

Перестановки

Пусть задано конечное множество из элементов, которые будем называть символами. В качестве таких символов могут выступать,

Pn = n(n −1) ... 2 1= n!.

28

Размещения

Размещения

Пусть теперь из элементов требуется выбрать элементов (m ≤ n) и линейно их упорядочить. Обозначив число таких упоря-

Число Anm называют также числом размещений из n по m, так как m элементов из n размещаются по m местам, пронумерованным от 1 до m. Полагают An0 1 и Anm 0 при m > n. Вот множество упорядоченных выборок длины 2 из 3-элементного множества: {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}, мощность которого в соответствии

использоваться обозначение (n)m

Сочетания

Пусть, наконец, из n-элементного множества просто выбирается его m-элементное подмножество без упорядочивания. Число m-элементных подмножеств n-элементного множества является весьма важным не только для комбинаторики, но и для всей математики. Оно обозначается через Cnm и называется в комбинаторике числом сочетаний из n по m. Эти величины также называют биномиальными коэффициентами. Вместо Cnm может использоваться обо-

n

значение m

Для нахождения Cnm заметим, что упорядоченную выборку можно рассматривать как получаемую в два этапа: сначала из n эле-

29

РАЗДЕЛ 2. КОМБИНАТОРНЫЕ ЧИСЛА

ментов выбирается неупорядоченное элементное подмножество, что можно сделать Cnm способами, а затем выбранное элементное

Пусть имеется 4-элементное множество {a, b, c, d}. Вот все его

использовалось «правило произведения».

Кортежи

Это наборы (a1, a2, , an ), где ai {c1, c2, , cm}, такие, что в

кортежей из m символов с заданной кратностью ni использования каждого символа ci?

Руководствуясь правилом произведения, можно поступить следующим образом. На первом этапе из n возможных мест выбираем n1 мест для символа c1, для чего есть Cnn1 возможностей. На втором этапе из n n1 оставшихся свободными мест выбираем n2 мест для

30