Комбинаторика. Практикум по решению задач. Учебное пособие

УДК 519.1(07) ББК 22.141я73 Т587

Ответственные редакторы:

В. И. Нечаев, доктор физико-математических наук В. Г. Чирский, доктор физико-математических наук

Рецензенты:

А. В. Царёв, доктор физико-математических наук, МПГУ

А. И. Козко, кандидат физико-математических наук, МГУ им. М. В. Ломоносова

Топунов, Владимир Леонидович.

Т587 Комбинатрика. Практикум по решению задач: Учебное пос бие /

В. Л. Топунов; Под ред. В. И. Нечаева, В. Г. Чирского. – 2-е изд. –

Москва: МПГУ, 2024. – 88 с. – Текст: электронный.

ISBN 978-5-4263-0330-0

Практикум по комбинаторике адресован студентам физико-математиче- ских факультетов педагогических вузов. Пособие дает возможность студентам овладеть основными приемами решения задач по комбинаторике. Пособие будет полезно учителям математики средних школ для использования его во внеклассной работе.

1-е издание практикума было подготовлено В. Л. Топуновым на кафедре теории чисел в 1988 г.

УДК 519.1(07) ББК 22.141я73

Содержание

4

От редактора

Книга представляет собой сборник задач по комбинаторике с решениями и упражнениями для самостоятельной работы. Набор задач позволяет освоить основные методы решения комбинаторных задач. Предлагаемые разные способы решения разобранных в книге задач помогут читателю выбрать метод «по вкусу».

Книга позволит научиться решать некоторые «типовые» олимпиадные задачи, трудные задачи ЕГЭ. Она будет полезна студентам педагогических вузов, школьникам и преподавателям школ.

В современной математике комбинаторные методы приобретают всё большее значение. Это связано с развитием компьютерной математики. Поэтому книга будет полезна студентам, магистрантам и аспирантам, занимающимся теоретической и прикладной математикой.

Заведующий кафедрой теории чисел МПГУ, д.ф.-м.н, профессор Чирский В.Г.

5

Раздел 1. Основные комбинаторные понятия

Решение комбинаторных задач заключается в подсчёте числа тех или иных выборок из конечных (как правило) множеств. Выборка здесь означает результат отбора, извлечения предпочитаемого из наличного. Таковым наличным является конечное множество, своё для каждой задачи. В дальнейшем будем такое конечное множество называть основным и обозначать S.

Выборки характеризуются следующими свойствами:

•объёмом, т.е. числом элементов в выборке (выборку, содержащую k элементов, будем называть k-выборкой, как и множество из n-элементов — n-множеством);

•порядком, т.е. мы различаем упорядоченные и неупорядоченные множества;

•повторением, т.е. в выборке могут быть разрешены, а могут быть запрещены повторения элементов основного множества (в первом случае можно трактовать выборку как результат отбора с немедленным возвращением отобранного элемента в основное множество или же рассматривать основное n-множество S как множество n классов элементов, неразличимых внутри класса и имеющихся в достаточном количестве).

Неупорядоченные выборки называются сочетаниями, упорядоченные выборки называются размещениями.

В зависимости от того, разрешено ли повторяться в данной выборке элементам основного множества или нет, говорят о выборке с повторениями

или выборке без повторений1.

Пример 1. Трёхзначные числа являются 3-размещениями с повторениями из множества S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

1Часто в случае выборок без повторений слова «без повторений» опускают, так что говорят просто о размещениях и сочетаниях, имея в виду размещения и сочетания без повторений.

6Основные комбинаторные понятия

123, 401, 525, 888, 900 – здесь выписаны пять таких размещений с повторениями и среди них два размещения без повторений.

Пример 2. Тройки латинских букв, обозначающие треугольники, являются 3-сочетаниями без повторений из 26-множества S = {A, B, C, D, . . . , X, Y, Z} латинских букв.

Задача 1. Для основного множества S = {a, b, c} указать все сочетания и размещения (без повторений и с повторениями).

Задача 2. Для основного множества S = {a, b, c} указать все сочетания и размещения (без повторений и с повторениями) объема 3.

m-размещение (без повторений) из m-множества называется m-переста- новкой.

Перестановкой с кратностями n1, n2, . . . , nk называется (n1 + n2+ + . . . + nk) — размещение из k-множества, содержащее первый элемент n1 раз, второй — n2 раз, . . ., k-й — nk раз.

Пример 3. Список студентов вашей группы представляет собой n-перестанов- ку без повторений из n-множества фамилий и инициалов студентов группы (как правило, из всех возможных таких перестановок выбирают ту, фамилии и инициалы в которой расположены в алфавитном порядке).

Пример 4. МАТЕМАТИКА, АААЕИКММТТ, АКИТАМАТАМ – перестановки (не все!) с кратностями 2, 3, 2, 1, 1, 1 из основного множества

S = {М, А, Т, Е, И, К}.

Пусть S – конечное множество, card(S) — число элементов (объём) в S, N — множество натуральных чисел.

Неупорядоченной выборкой — сочетанием называется отображение ϕ : S → N {0} (каждому элементу из S в отображении ϕ ставится в соответствие его кратность в выборке).

7

Объём сочетания = ϕ(a) (= k — k-сочетание).

a S

Если Im(ϕ) {0, 1}, то говорим о сочетании без повторений, в противном случае имеем сочетание с повторениями.

Для любого натурального m m-размещением называем отображение f : {1, 2, . . . , m} → S. Если отображение f инъективно, то имеем размещение без повторений, в общем случае — размещение с повторениями. Если отображение f – биективно, то f называется перестановкой. f называется перестановкой с кратностями n1, n2, . . . , nk, если card(f−1(ai)) = ni, для i = = 1, 2, . . . , k.

Пример 5.

ab ac bc ba ca cb aa bb cc

Выше выписаны все 2-размещения с повторениями из соответствующего 3-множества. Первые две строчки содержат все 2-размещения без повторений из этого же основного множества. Все 2-сочетания без повторений содержатся в первой строчке, и они же повторяются во второй строчке. Наконец, третья строчка вместе с первой (или со второй) представляет все 2-сочетания с повторениями из S = {a, b, c}.

Пример 6.

aaa aab aba baa bbb bba bab abb

Здесь указаны все 3-размещения с повторения из S = {a, b}. Первый и второй столбцы содержат все 3-сочетания с повторениями из этого же множества. В третьем и четвёртом столбцах выписаны те же сочетания, которые содержатся во втором столбце 3-выборок без повторений из 2-множества не существует.

8Основные комбинаторные понятия

Введем обозначения:

Akn — число k-размещений без повторений из n-множества; Akn — число k-размещений с повторениями из n-множества; Cnk — число k-сочетаний из n-множества;

Cnk — число k-сочетаний с повторениями из n-множества, Pn — число n-перестановок без повторений;

P (n1, . . . , nk) — число перестановок с кратностями n1, . . . , nk.

Пример 7. Из определений ясно, что Akn = Cnk = 0 при k > n и что Ann =

= Pn = P (1, 1, . . . , 1).

n

Пример 8. Из примеров 5 и 6 легко сосчитать, что

A23 = 9, A23 = 6, C32 = 3, C32 = 6, A32 = 8, C23 = 4.

Решающую роль почти во всех комбинаторных задачах играют два правила: правило умножения и правило сложения.

Правило умножения: если существует n выборок из основного множества S1, обладающих свойством α, и m выборок из основного множества S2, обладающих свойством β, то существует nm выборок из множества S1 × S2, первая компонента которых обладает свойством α, а вторая — свойством β.

Правило умножения является комбинаторным приложением известного свойства конечных множеств — декартово произведение n-множества и m- множества является nm-множеством.

Вывод правила умножения.

Пусть A1, A2, . . . , An – все выборки со свойством α из S1; B1, B2, . . . , Bm — выборки со свойством β из S2. Составим таблицу

(A1, B1) (A1, B2) . . . (A1, Bm) (A2, B1) (A2, B2) . . . (A2, Bm) (An, B1) (An, B2) . . . (An, Bm),

в которой, очевидно, mn элементов.

Ясно, что, во-первых, все элементы этой таблицы подчиняются требованию правила умножения и при этом различны, во-вторых, каждая выборка из

9

S1 × S2, первая компонента которой удовлетворяет свойству α и вторая — свойству β, учтена в этой таблице. Тем самым правило умножения доказано.

Легко видеть, что правило умножения может быть распространено на большее число сомножителей декартова произведения.

Задача 3. Сформулировать и доказать правило умножения для множеств, где k — натуральное число.

Правило сложения: если существует n1 выборок из множества S, удовлетворяющих свойству α1, n2 выборок из S со свойством α2 и т.д., nk выборок со свойством αk, причем свойства α1, . . . , αk попарно исключают друг друга, то существует n1 + n2 + . . . + nk выборок из S, удовлетворяющих хотя бы одному из свойств α1, . . . , αk.

Задача 4. Доказать правило сложения.

Примечание: легко видеть, что каждая из n1 + . . . + nk выборок, о которых говорится в правиле сложения, удовлетворяет ровно одному из свойств

α1, . . . , αk.

Задача 5. Вывести формулы для вычисления величин Akn, Akn.

Решение. Рассмотрим произвольное n-множество S = {a1, a2, . . . , an} и для него будем рассматривать упорядоченные α-выборки с повторениями. Для этого укажем k мест, на которых будем размещать отобранные элементы из множества S. На первое место можно поставить любой из n элементов a1, a2, a3, . . . , an, т.е. существует n способов заполнения первого места. Применяя правило умножения к k экземплярам множества S (быть может, с неоднократным использованием любого элемента), т.е. существует nk упорядоченных выборок с повторениями из n-множества. Таким образом, Akn = nk.

Для получения k-размещения без повторений выбираем на первое, второе, . . ., k-е места различные элементы множества S (это можно сделать, если k n). При этом на первое место имеем n «кандидатов» (1-выборка совершается из n-множества S), на второе место 1-выборка производится из (n − 1)- множества S \ {ai}, где ai — выбранный на первое место элемент, и значит, второе место может быть заполнено n − 1 способом. На третье место «претендуют» n − 2 элемента из (n − 2)-множества S \ {ai, aj}, где ai и aj ранее отобраны, и т.д.

10 Основные комбинаторные понятия

На последнее k-е место имеется n − k + 1 «кандидатов» из множества S \ S , где множество S состоит из уже отобранных на предыдущие k − 1 мест элементов.

Применяя правило умножения к k множествам S, S \ {ai}, S \ {ai, aj}, . . ., S \ S и свойствам α1 = α2 = . . . = αk = {быть 1-выборкой} для выборки из

n!

этих множеств, получаем, что Akn = (n − 1) · n · . . . · (n − k + 1) = (n − k)!.

Задача 6. Вывести фомулу для вычисления Akn методом полной индукции.

Задача 7. Вывести формулы для вычисления величин Pn, P (n1, n2, . . . , nk).

n!

Решение. Из примера 7 и задачи 5 следует, что Pn = (n − n)! = n!. Рассмотрим перестановку из n1 + n2 + . . . + nk элементов множества

S = {a11, a21, . . . , an11 , a12, a22, . . . , an22 , . . . , a1k, . . . , ankk }.

Переставляя произвольным образом элементы данной перестановки будем получать новые перестановки общим числом Pn1+n2+...+nk . Однако такого результата можно добиться, меняя местами элементы различных групп (принадлежность элемента к той или иной группе определяется нижним индексом), при этом возникает P (n1, n2, . . . , nk) перестановок, а кроме того, меняя местами между собой элементы внутри каждой группы, Pn1 способами для элементов первой группы, Pn2 способами для элементов второй группы и т.д.

Используя правило умножения, получаем:

Pn1+n2+...+nk = P (n1, n2, . . . , nk) · Pn1 · Pn2 · . . . · Pnk ,

откуда

Задача 8. Вывести формулы для вычисления величин Cnk, Cnk.

Решение. Существует Cnk k-сочетаний без повторений из n-множества и Pk k-перестановок. Согласно правилу умножения, насчитывается Cnk · Pk упорядоченных k-выборок (без повторений) из n-множества, т.е. k-размещений без