Комбинаторика. Практикум по решению задач. Учебное пособие

41

Раздел 3. Число разбиений конечных множеств

Решение комбинаторных задач нередко удается свести к решению вопроса о числе решений уравнения (или неравенства). Наибольший интерес при этом представляет уравнение

комбинаторный смысл которого заключается в представлении натурального числа n в виде (упорядоченной) суммы k слагаемых (например, натуральных). Решения этого уравнения (на том или ином множестве) называются (упорядоченными) разбиениями числа n на k слагаемых (вопрос о неупорядоченных разбиениях является веьма сложным, и затрагивать его мы не будем).

Задача 1. Найти число натуральных решений уравнения

x1 + x2 + . . . + xk = n.

Решение. 1 способ.

При k > n не существует натуральных решений уравнения (1).

Запишем подряд n (n k) единиц и разобьем их на k групп. Для отделения одной группы от другой будем использовать какой-нибудь знак, например +. Будем интерпретировать число единиц в j-й группе (j = 1, . . . , k) как значение неизвестного xj. Очевидно, тем самым установлено биективное отображение множества натуральных решений уравнения (1) на множество построенных разбиений n единиц на k непустых групп. А поскольку все такие группы определяются расстановкой плюсов между единицами, то для подсчета числа всех интересующих нас разбиений (и, значит, искомого числа решений) выгодно в качестве основного множества взять множество промежутков между выписанными n единицами. Из этого множества объема n − 1 будем выбирать промежутки для помещения в них плюсов, и таким образом приходим к (k − 1)-сочетаниям без повторений. Действительно, для разбиения n

42 Число разбиений конечных множеств

единиц на k непустых групп надо поставить + в k − 1 из n − 1 промежутков, причем порядок помещения плюсов в промежутки не важен, а разрешение повторений означало бы появление двух или более плюсов в одном промежутке, т.е. появление пустых групп. Итак, приходим к формуле Cnk−−11, выражающей число натуральных решений уравнения (1).

Отметим, что Cnk−−11 отлично от нуля только при n k, что полностью согласуется с исходной задачей.

2 способ.

Рассмотрим числа a1 = x1, a2 = x1 + x2, a3 = x1 + x2 + x3, . . . , ak−1 = = x1 + x2 + . . . + xk−1, ak = x1 + . . . + xk = n. Поскольку x1, x2, . . . , xk – натуральные числа, последовательность a1 1, a2, . . . , ak−1, ak = n является возрастающей последовательностью натуральных чисел, при этом x1 = a1, x2 = = a2 − a1, x3 = a3 − a2, . . . , xk = ak − ak−1. Очевидно, биективное отображение множества натуральных решений заданного уравнения на множество возрастающих натуральных последовательностей a1, a2, . . . , ak с 1 a1 a2 . . .ak = n. Определить число таких последовательностей легко, выбирая первые k − 1 членов из первых n − 1 натуральных чисел (ak = n). Так как последовательности возрастающие, то в (k −1)-выборке повторения не допускаются и порядок элементов в выборке задается однозначно. Таким образом, любая нужная последовательность может рассматриваться как (k − 1)-сочетание без повторений из (n − 1)-множества, а число этих последовательностей и вместе

Задача 2. Найти число целых неотрицательных решений уравнения

x1 + x2 + . . . + xk = n.

Решение. 1 способ. Аналогично первому решению предыдущей задачи сведем вопрос о числе целых неотрицательных решений заданного уравнения к вопросу о числе расстановок плюсов между n единицами. Целым неотрицательным решением уравнения (1) отвечают (k−1)-сочетания с повторением из (n − 1)-множества (почему?), и, следовательно, таких решений насчитывается

Cnk−−11.

2 способ.

Аналогично второму решению предыдущей задачи сведем вопрос о числе целых неотрицательных решений заданного уравнения к вопросу о числе

43

неубывающих последовательностей целых неотрицательных чисел 0 a1a2 . . . ak−1 ak = n (каким образом?). Легко видеть, что таких последовательностей, а с ними целых нетрицательных решений уравнения (1) насчитывается Cnk−−11.

3 способ.

Применяя построение из первого решения, отметим, что n единиц и k − 1 плюсов могут образовывать любую последовательность (двоичную) и разным последовательностям из n единиц и k − 1 плюсов соответствуют разные целые неотрицательные решения уравнения (1). Стало быть, целые неотрицательные решения уравнения x1 +x2 +. . .+xk = n можно рассматривать как перестановки, в каждую из которых первый элемент входит с кратностью n и второй — с кратностью k − 1, и, следовательно, число таких решений равно P (n, k − 1).

4 способ.

Применяя построение из первого решения, отметим, для того чтобы разместить n единиц и k − 1 плюсов, потребуется n + k − 1 мест. Выберем из них n мест для размещения на них n единиц, а остальные места заполним плюсами. Каждой такой выборке здесь, а выборками будут n-сочетания без повторений из (n + k − 1)-множества (почему?), соответствует некоторое целое неотрицательное решение уравнения (1). В силу очевидной биекции число интересующих нас решений равно Cnn+k−1.

Примечание к способу 4.

Конечно, можно из n + k − 1 мест выбирать k − 1 для размещения на них плюсов, а остальные места заполнять единицами. В этом случае приходим к

ответу Cnk+−k1−1.

5 способ.

Всякое целое неотрицательное решение уравнения (1) можно записать как x1x1 . . . x1x2 . . . x2 . . . xk . . . xk — здесь выписано столько раз каждое неизвестное xi (i = 1, . . . , k), каково его значение. Очевидно, различным целым неотрицательным решениям (1) отвечают различные n-сочетания с повторениями из k-множества (объяснить!), и в силу установленной биекции искомое число равно Cnk.

6 способ.

Произведем замену переменных в уравнении (1), подставив yi − 1 вместо xi при i = 1, . . . , k. Получим уравнение

y1 − 1 + y2 − 1 + . . . + yk − 1 = n,

или

В силу произведенной замены все yi 1, так как xi 0, т.е. целым неотрицательным решением (1) соответствуют натуральные решения уравнения

(2). Ясно, что целых неотрицательных решений (1) будет столько же, сколько натуральных решений (2) (почему?), т.е. (см. задачу 1) Cnk+−k1−1.

Итоги: Число неотрицательных решений уравнения x1 + x2 + . . . xk = n можно определить по любой из следующих комбинаторных формул:

Примечание: Целые неотрицательные решения уравнения (1) существуют при любых натуральных n и k, что подтверждается и выведенными формулами (сравнить с задачей 1).

Задача 3. Доказать, что число упорядоченных разбиений натурального числа n на натуральные слагаемые равно 2n−1.

Задача 4. Сколькими способами можно m одинаковых подарков раздать x детям:

а) без ограничений; б) если каждый ребенок должен получить хотя бы один подарок?

Задача 5. Сколькими способами 10 одинаковых предметов можно раздать трём лицам, если:

а) все предметы должны быть розданы; б) необязательно раздавать все предметы?

45

Задача 6. На две бригады, из трёх человек каждая, отпущено 20 одинаковых инструментов. Сколькими способами можно разделить их между рабочими так, чтобы обе бригады получили поровну?

Задача 7. Найти число решений уравнения x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 44 в натуральных числах, сравнимых с 1 по модулю 3.

Задача 8. Найти число решений в натуральных числах, сравнимых с 1 по модулю 3:

а) уравнения x1 + x2 + x3 + x4 = 44; б) уравнения x1 + x2 + x3 + x4 = 43.

Задача 9. Сколько существует решений уравнения

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 45

в целых неотрицательных числах, кратных 3.

Задача 10. Факультету выделено 100 билетов в театр. Сколькими способами эти билеты можно распределить по всем курсам? Билеты считать равноценными.

Задача 11. Факультету выделено 100 билетов в театр. Сколькими способами эти (равноценные) билеты можно распределить по всем студенческим группам, если каждый курс должен получить равное количество билетов? Задачу решить в предположении, что каждая группа получает хотя бы один билет, и без такого предположения.

Задача 12. Сколько целых решений имеет уравнение

x1 + x2 + x3 + x4 = 39,

при x1 3, x2 4, x3 5, x4 6.

Задача 13. Сколько четных положительных решений имеет уравнение

x1 + x2 + . . . + xk = n?

Проверить ответ непосредственными вычислениями при k = 2, n = 4 и при k = 2, n = 5.

Задача 14. Сколько четных неотрицательных решений имеет уравнение

x1 + x2 + . . . + xk = n?

Задача 15. Сколько нечетных положительных решений имеет уравнение

x1 + x2 + . . . + xk = n?

Проверить ответ непосредственными вычислениями при значениях k и n, указанных в задаче 13.

Задача 16. Найти число целых решений уравнения

x1 + x2 + . . . + xk = n,

если все неизвестные удовлетворяют неравенствам

0 l xi n (i = 1, 2, . . . , k).

Задача 17. Найти число целых решений уравнения

x1 + x2 + . . . xk = n,

если все неизвестные удовлетворяют неравенствам

0 xi n (i = 1, . . . , k).

Сравнить с задачей 16.

Задача 18. Сколько решений имеет уравнение

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 75,

где x1, x2, x3 — натуральные, x4, x5, x6 — целые неотрицательные?

Задача 19. Сколько натуральных решений имеет уравнение

x1 + x2 + x3 + x4 = 40,

если x1 и x3 — четные, а x2 и x4 — нечетные?

Задача 20. Найти число r-сочетаний без повторений из множества S = {1, 2, 3, . . . , n}, не содержащих пар соседних чисел.

47

Задача 21. Сколькими способами можно раздать на занятиях счетные палочки из коробки с общим числом 100 шестерым детям, если двое из них учатся считать до 20, а четверо — в пределах первого десятка?

Задача 22. Сколько решений в целых неотрицательных числах имеет уравнение 2x + y = n?

Задача 23. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение

3x + 3y + z = 33?

Задача 24. Сколько решений в целых неотрицательных числах имеет уравнение 3x + y = n?

Задача 25. Сколько решений в целых неотрицательных числах имеет уравнение 3x + 2y = n?

Задача 26. Сколько решений имеет система уравнений

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 47, x1 + x2 + x3 = 16

а) в натуральных числах; б) в целых неотрицательных числах?

Задача 27. Сколько решений имеет система уравнений

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 38, x1 + x2 = 20

а) в натуральных числах; б) в целых неотрицательных числах?

Задача 28. Каково число натуральных решений неравенства

x1 + x2 + x3 < 6?

Число целых неотрицательных решений этого неравенства?

Задача 29. Найти число натуральных и число целых неотрицательных решений неравенства

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 100.

Задача 30. Найти число натуральных и число целых неотрицательных решений неравенства

3 < x1 + x2 + x3 < 10.

Задача 31. Найти число натуральных и число целых неотрицательных решений системы уравнений

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 20, x1 − x2 + x3 − x4 + x5 = 0.

Задача 32. Сколько решений в натуральных и в целых неотрицательных числах имеет система

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 35, x1 + x2 + x3 > 1?

Задача 33. Сколько целых неотрицательных решений имеет система

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 21, x1 + x2 + x3 3?

Задача 34. Найти число целых неотрицательных решений системы

x1 + x2 + x3 > 3,

x1 + x2 + x3 + x4 < 6.

Задача 35. Найти число целых неотрицательных решений системы

x1 + x2 > 4, x2 + x3 < 3,

x1 + x2 + x3 + x4 < 7.

Задача 36. Сколькими способами можно раздать 18 тетрадей пятерым ученикам так, чтобы каждый получил не менее двух тетрадей?

Задача 37. Сколькими способами можно распределить 16 экземпляров одной книги между тремя библиотеками так, чтобы одна из них получила не менее трёх экземпляров, а остальные — хотя бы по одному?

49

Задача 38. Сколькими способами можно распределить 16 экземпляров одной книги между тремя библиотеками так, чтобы каждая получила хотя бы по одному экземпляру и одной из них не давать более трёх экземпляров?

Задача 39. Сколькими способами можно распределить 40 одинаковых книг по двум городским и трем районным библиотекам так, чтобы каждая получила хотя бы по одному экземпляру и городские библиотеки получили по меньшей мере половину всех книг?

Задача 40. Сколькими способами можно наклеить ярлыки четырех разных цветов на 28 одинаковых пузырьков, если синих и красных ярлыков имеется в совокупности 20, а зеленого и желтого цвета — по 6 ярлыков?

Задача 41. Определить число натуральных решений неравенства

x1 + x2 + . . . + xk < n.

Задача 42. Определить число натуральных решений неравенства

x1 + x2 + . . . + xk n.

Задача 43. Определить число целых неотрицательных решений неравенства

x1 + x2 + . . . + xk < n.

Задача 44. Определить число целых неотрицательных решений неравенства

x1 + x2 + . . . + xk n.

Задача 45. Сколькими способами m новогодних подарков можно раздать r детям, если каждый ребёнок должен получить хотя бы один подарок и при этом не обязательно все подарки должны быть розданы?

Сравнить с задачей 4.

Задача 46. Сколько можно составить эскадр в 20 кораблей из пяти типов судов, если в эскадру должны входить корабли всех типов?

Раздел 4. Полиномиальная теорема

Рассмотрим n-ю степень суммы k слагаемых (a1 + a2 + . . . ak)n и запишем степень в виде произведения n скобок:

(a1 + a2 + . . . + ak)n = (a1 + a2 + . . . + ak)×

×(a1 + a2 + . . . + ak) · . . . · (a1 + a2 + . . . + ak).

Раскрывая скобки (по закону дистрибутивности)

получаем сумму слагаемых, каждая из которых является произведением вида a1, a2, . . . , ak, где каждое aij представляет собой одно из a1, a2, . . . , ak, выбранное из j-й скобки (так, ai1 — это a1, или a2, или . . . ak взято из первой скобки, ai2 — взято как одно из слагаемых из второй скобки и т.д.).

Запись степени в виде суммы

очевидно еще не является окончательной, так как в сумме, стоящей справа от знака равенства, вообще говоря, много подобных членов.

Задача 1. Определить чиcло слагаемых в записи правой части (3), или, что

Решение. Приводя подобные члены в правой части (3), можем продолжить равенство:

(3) = Fj1j2...jk aj11 aj22 . . . ajkk , (4)

где Fj1...jk — коэффициенты, возникающие после приведения подобных членов при произведениях aj11 aj22 . . . ajkk и зависящие от наборов показателей j1, j2, . . . , jk,