Комбинаторика. Практикум по решению задач. Учебное пособие

31

неупорядоченные, так как комбинации i + j и j + i неотличимы друг от друга (особенно если мы не можем различить две бросаемые кости). Таким образом, полное поле событий насчитывает C61 = 21 выборок. Как выше указывалось, 12 очков появляются в единственной выборке, 7 очков возникают в 3 выбор-

Вычисленные в этом решении вероятности ближе к тем значениям, которые могут быть получены экспериментальным путем, но всё же заметно от них отличаются. Настоятельно советуем не читать дальше до внимательного критического изучения вышеприведенных «решений» — ошибки в них типичны для задач на вычисление вероятностей.

Решение. Ошибка в предыдущем решении заключалась в рассмотрении сочетаний вместо размещений. Даже если мы пользумся внешне не различимыми костями, физически кости различны, мы, к примеру, можем покрасить их в разные цвета. Можем вообще вместо двух костей бросать дважды одну и ту же кость, различая при этом результаты первого и второго бросания. Полное поле событий содержит A26 = 36 выборок (тот же итог можно получить с использованием правила умножения: C61 · C61 = 36 выборок). В предыдущем решении можно обнаружить попытку «укрепить участки», на которые разбито полное поле событий задачи, за счет объединения «парных» выборок (1 + 2 и 2 + 1, 2 + 5 и 5 + 2 и т.п.). Однако существуют «непарные» выборки (1 + 1, 2 + 2, 3 + 3, . . . — всего 6 выборок), которые и не позволяют прийти к верному результату на этом пути. Действительно, при таком подходе число выборок 21 получилось следующим образом: 21 = 262−6 , ибо объединяются только 36 − 6 = 30 выборок, а 6 «непарных» оказываются для них неравноценными.

Вероятность появления 12 очков равна 361 , 7 очков (6 выборок — 1 + 6,

2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1) появляются с вероятностью 366 = 16 , и, конечно, вероятность появления 1 очка в условиях данной задачи равна 0, так как ни

одна из общего числа выборок не доставляет 1 очка.

Не следует полагать, что полное поле строится для каждой задачи лишь единственным образом или что его надо разбивать на как можно более мелкие «участки» (хотя такой подход к решению бывает более безопасным). Приведем задачу, похожую на рассмотренную выше: на 6 листках бумаги написаны

32 Вычисление вероятностей

цифры от 1 до 6 (по одной цифре на листке), затем листки перемешиваются и один за другим выбираются два листка. Какова вероятность появления

Задача 3. Что вероятнее, оторвать трамвайный билет, который содержит 3 различные цифры, каждая из которых входит в номер билета дважды, или билет, содержащий ровно 3 единицы? Вычислить эти вероятности.

Решение. Вычислим обе вероятности. Как можно видеть, номер трамвайного билета является 6-размещением с повторениями из 10-множества десятичных цифр, и, таким образом, общее число выборок равно A610. (Видимо, не существует трамвайного билета, состоящего из 6 нулей; если это так, общее число выборок равно A610 − 1.) Билеты, содержащие 3 пары цифр, определяются выбором 3 цифр (из 10 возможных) и распределением каждой из выбранных цифр по двум местам из шести. Используя правило умножения, получаем, что таких билетов существует C103 · C62 · C42 (можно получить и такой ответ: C103 · P (2, 2, 2)). Билеты, содержащие ровно три единицы, получаются при выборе 3 мест для единицы (C63 способов) и заполнении оставшихся мест цифрами, отличными от 1 (A39 способов). Таких билетов C63 · A39.

Ответ на первый вопрос задачи достигается сравнением чисел C103 ·P (2, 2, 2) и C63 · A39 (так что знание общего числа выборок для ответа на первый вопрос необязательно). Вероятности равны: для билетов с тремя парами цифр

33

Задача 4. 6 студентов берут экзаменационные билеты, пронумерованные от 1 до 30. Какова вероятность, что взятые 6 билетов будут последовательно пронумерованы?

Задача 5. Какова вероятность того, что при произвольном упорядочении последовательных десяти целых чисел четные числа будут иметь четный номер (см. задачу № 1 — 46)? если упорядочиваются последовательные n чисел?

Задача 6. Из колоды в 36 карт вынимаются 6 карт. Какова вероятность того, что 3 карты окажутся красной масти и 3 — черной? 4 карты красной масти и 2 — черной? 5 — красной и 1 — черной? Все карты красной масти?

Какие варианты не рассмотрены? Чему равняется сумма вероятностей, вычисленных для всевозможных вариантов? Почему?

Задача 7. Какова вероятность того, что обе пары цифр номера образуют простые числа? Какова вероятность того, что первые или последние цифры номера образуют простое число?

Задача 8. Какова вероятность, что наугад взятое пятизначное число окажется палиндромом? а шестизначное?

Задача 9. На восьми одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наудачу берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из полученных двух чисел дробь несократима.

Задача 10. В партии из r изделий k бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки s изделий l окажутся бракованными. Сравнить эту задачу с задачей № 1 — 141. Подсчитать эту вероятность для конкретных значений (выбранных самостоятельно) параметров r, k, s, l.

Задача 11. В урне содержится 5 белых и 5 черных шаров. Затем из нее случайно вынимаются один за другим три шара. При этом поступают двумя способами: 1 — вынутый шар возвращают обратно в урну, 2 — шары не возвращают.

В каком из этих случаев больше шансов вытянуть один белый и два черных шара?

Задача 12. Назовем семью «удачной», если число сыновей в семье совпадает с числом дочерей. Верно ли, что половина всевозможных семей с дву-

мя детьми — «удачные»? Обстоит ли аналогично дело с семьей с четырьмя детьми? (Предполагаем, что рождение мальчика и девочки равновероятно.)

Задача 13. Трое мальчиков и две девочки уселись рядом на садовой скамейке, причем разместились случайно. Что более вероятно: что девочки окажутся разделенными друг от друга или что они будут сидеть рядом?

Задача 14. Рассматривается игра в «Спортлото — 6 из 45». Какова вероятность максимального выигрыша в «Спортлото»? Какова вероятность минимального выигрыша в «Спортлото»? Какова вероятность проигрыша в «Спортлото»? Какая доля вырученных средств уходит на оплату выигрышей в «Спортлото»?

На оплату каких выигрышей (максимальных, минимальных) расходуется больше средств?

Задача 15. Ответить на вопросы предыдущей задачи применительно к «Спортлото — 5 из 36».

Задача 16. Какова вероятность получить в точности 7 выпадений «орла» при 12 бросаниях «правильной» монеты?

Задача 17. Какова вероятность получить в точности k выпадений «орла» при n бросаниях «правильной» монеты?

Задача 18. Найти вероятность того, что при α бросаниях кости все выпавшие числа очков будут различны.

Задача 19. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. На экзамене студент должен ответить на два вопроса. Какова вероятность, что он ответит на оба вопроса? Больше ли эта вероятность 5060 ≈ ≈ 0, 83 или нет?

Сколько вопросов (из 60) можно не изучать с тем, чтобы риск плохого ответа на экзамене не превышал доли сэкономленного времени? А если в билеты входят по n вопросов?

35

Задача 20. Для обслуживания международного рейса воздушного лайнера требуется три стюардессы, которых выбирают по жребию из 20 девушек, претендующих на это место. Семь из них — блондинки, остальные — брюнетки. Какова вероятность того, что среди выбранных трех стюардесс будут по крайней мере одна блондинка и по крайней мере одна брюнетка?

Задача 21. Из урны, содержащей 5 шаров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, извлекаются два шара один за другим. Какова вероятность того, что номера извлеченных шаров идут в порядке возрастания? Какова вероятность того, что вынутые шары имеют соседние номера?

Задача 22. Из урны, в которой находится n пронумерованных шаров, вынимаются один за другим k шаров. Какова вероятность, что номера этих шаров появляются в порядке возрастания (т.е. номер следующего шара не меньше номера предыдущего)?

Будет ли уменьшаться или увеличиваться эта вероятность с ростом n? А как она зависит от роста k?

Задача 23. В предположении о равной возможности получения любой оценки на экзамене (что, конечно, неверно) вычислите вероятность того, что Вы будете отличником в ближайшую сессию?

Задача 24. В условиях предыдущей задачи вычислите вероятность того, что Вы будете неуспевающим в ближайшую сессию. Почему даже при сделанном предположении отличником быть труднее, чем неуспевающим?

Задача 25. Десять супружеских пар обедают вместе. Из них по жребию выбирают пять человек, которые должны накрывать на стол. Чему равна вероятность того, что среди пяти человек не будет ни одной супружеской пары?

Задача 26. Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов:

Пользуясь результатами вычислений, проверьте правильность полученных ответов.

Задача 27. Маша и Миша по очереди бросают игральную кость. Если сумма выпавших очков равна 7, то выигрывает Маша, а если сумма равняется 8, то выигрывает Миша. Кто из них выигрывает чаще?

Задача 28. Бросаются 4 игральные кости. Какова вероятность того, что не выпадет ни одной пятерки? выпадет не более одной пятерки? не менее трех пятерок?

Задача 29. Бросаются n игральных костей. Какова вероятность того, что не выпадет ни одной пятерки? выпадет не более одной пятерки? не менее l пятерок?

Задача 30. Ребенок составляет из карточек разрезной азбуки слова, выбирая буквы наугад. Какова вероятность того, что в построенном слове длиной 5 букв все буквы разные? Ответ дать для случаев:

Задача 31. Имеется 6 кубиков — два синих, два зеленых, белый и красный. Ребенок из них составляет «башню», ставя один кубик на другой. Какова вероятность того, что синие кубики не будут касаться друг друга?

Какова вероятность того, что красный кубик не будет касаться зеленого?

Задача 32. Ребенок из тех же шести кубиков (см. предыдущую задачу) строит «крепость», т.е. кладет один кубик на два горизонтально расположенные (в нижнем ряду 3 кубика, в среднем — 2, в верхнем — один).

Ответить на вопросы предыдущей задачи, если: а) соседние в ряду кубики не касаются друг друга; б) соседние в ряду кубики касаются друг друга.

Задача 33. Ребенок берет горсть счётных палочек из коробки с 50 палочками (из них 12 синих, 12 желтых, 11 коричневых и 15 красных). Определить вероятность того, что если взято 12 палочек, то всех цветов поровну.

Задача 34. 8 различных книг расставлены наугад на одной полке. Найти вероятность того, что две книги окажутся рядом? две определенные книги?

37

Задача 35. Какова вероятность того, что в трамвайном билете окажется три пары различных цифр? ни одной 1? ровно одна 1? не менее одной 1?

Задача 36. 16 шахматистов, участвующих в турнире, разбиты на две подгруппы:

а) шахматисты, занявшие первые места в подгруппах, в игре между собой определяют победителя турнира и второго призера. Какова вероятность того, что пара сильнейших будет определена неверно?

б) 4 шахматиста, занявшие первые два места в подгруппах, во встречах между собой разыгрывают первые три места. Какова вероятность того, что тройка призеров будет определена неверно?

Задача 37. Обобщить предыдущую задачу на 2n шахматистов; затем на k подгрупп. Решить составленные задачи.

Задача 38. На шахматную доску произвольным образом поставили две ладьи. Что вероятнее: стоят ли эти ладьи под ударом друг друга или нет?

Задача 39. Возьмите наугад какую-нибудь карту из колоды, а затем суньте ее обратно. Проделайте так трижды. У Вас есть 19 шансов из 27 вытянуть таким образом по крайней мере одну картинку (короля, даму или валета). Какова доля карт с картинками в данной колоде?

Задача 40. На аллее парка стоит шестиместная скамейка, на которой сидят шесть юношей, ожидающих свидания. Через некоторое время у троих из них свидание состоялось. Какова вероятность того, что между оставшимися сидеть тремя неудачниками не будет пустых мест?

Задача 41. Компания состоит из трех парней и трех девушек. Каждого из юношей любит одна из трех девушек, и каждую девушку любит один из трех парней, но одна девушка с грустью заметила, что в их компании никто не любим тем, кого любит сам.

Так ли уж невероятно это печальное обстоятельство, если считать, что и парни и девушки выбирают свою симпатию более или менее случайно, наугад?

Задача 42. Для проверки, является ли последовательность десятичных цифр случайной, можно использовать так называемый «покерный тест»: пять очередных десятичных цифр данной последовательности представляют одну из следующих комбинаций:

а) пять одинаковых; б) четыре одинаковых и одна цифра от них отличная;

в) тройка одних цифр и пара других; г) тройка; д) две пары; е) пара;

ж) все различные цифры.

Вычислите вероятности, соответствующие каждой из этих комбинаций. Выпишите последние пять цифр из каждого известного вам номера теле-

фона (взять не менее 10 номеров, можно использовать телефонный справочник), проверьте, хорошо ли согласуется выписанная последовательность цифр с данными «покерного» теста.

Задача 43. Известно, что в каждом из двух данных семизначных номеров телефонов все цифры различны. Какова вероятность того, что эти два номера начинаются с 0 и все номера телефонов равновозможны?

Задача 44. Определить вероятность ps появления суммы S для 2 S 12 при бросании двух костей, устроенных следующим образом: в одной из них 1, а в другой — 6 выпадают вдвое чаще, чем любое другое значение. Для каждого S от 2 до 12 выяснить, как изменилась вероятность ps по сравнению со стандартными костями?

Задача 45. Какова вероятность того, что произвольно выбранный понедельник окажется 13-м числом? Для простоты считать все месяцы по 30 дней и все года по 360 дней.

Задача 46. Какова вероятность того, что 13-е число произвольно выбранного месяца и года окажется понедельником? Вероятность выписать в упрощающих предположениях предыдущей задачи.

Совпадают ли ответы в этой и предыдущей задачах?

Задача 47. Решить задачи № 45–46 без упрощающих предположений.

Задача 48. Какова вероятность совпадения дней рождений у двоих из 25 произвольно указанных человек? Обязательно указать численное значение.

39

Имеется ли ответ, если взять конкретных 25 человек, например вашу студенческую группу?

Задача 49. Найти численный ответ в предыдущей задаче для произвольно выбранных 180 человек, 100 человек, 50 человек, 20 человек, 10 человек.

Задача 50. (Статистика Макcвелла — Больцмана). По пронумерованным n лункам случайным образом размещают k различных шаров, при этом в любой лунке могут поместиться все шары. Какова вероятность того, что в каждой из лунок с номерами от 1 до k окажется по одному шару?

Задача 51. (Статистика Бозе — Эйнштейна). По n пронумерованным лункам случайным образом размещают k неразличимых шаров, при этом в любой лунке могут поместиться все шары. Какова вероятность того, что в каждой из лунок с номерами от 1 до k окажется по одному шару?

Задача 52. (Статистика Ферми — Дирака). По n пронумерованным лункам случайным образом размещают k неразличимых шаров, при этом в любой лунке может поместиться не более одного шара. Какова вероятность того, что каждая из лунок с номерами от 1 до k окажется заполненной?

Задача 53. Вероятность чего больше: того, что пятизначное число окажется палиндромом, или того, что палиндромом окажется пятибуквенное слово в русском алфавите?

То же для шестизначных чисел и шестибуквенных слов. То же для n-значных чисел и n-буквенных слов.

Задача 54. Смешали два одинаковых набора детских кубиков с картинками (в наборе по 6 кубиков). Какова вероятность того, что, наудачу укладывая кубики в коробки из под наборов, мы получим хотя бы в одной коробке правильную картинку?

Задача 55. А и Б договорились о встрече дома у Б, но Б забыл сообщить номер корпуса и квартиры. Приехав, А увидел 2 дома с нужным номером. Один из них трехэтажный с 6 квартирами на этаже, второй — четырехэтажный с 8 квартирами на этаже.

1. Какова вероятность того, что А с первой попытки найдет квартиру Б?

2.Во сколько раз вероятность того, что следующий разговор произойдет в первом доме, больше или меньше вероятности того, что он произойдет во втором доме?

–Простите, здесь живет Б?

–Нет, Вы ошиблись дверью. Б живет на этом же этаже, но в другой квартире.

3.А в каком доме более вероятен такой ответ на тот же вопрос:

–Б живет на таком же этаже в соседнем доме?