Комбинаторика. Практикум по решению задач. Учебное пособие

51

а суммирование распространяется по различным наборам этих показателей, возникающих при раскрытии скобок в исходном выражении.

Найдем явный вид коэффициентов Fj1...jk . При заданном наборе j1, j2, . . . , jk для получения произведения aj11 aj22 . . . ajnn потребуется j1 элементов a1, j2 элементов a2, . . ., jk элементов ak, причем каждый из этих j1 + j2 + . . . + jk элементов может быть взят из одной и только одной среди исходных n скобок, и при этом из каждой скобки обязательно должен быть взят один из элементов a1, a2, . . . , ak. Таким образом, в сумме в правой части равенства (3) присутствуют те и только те слагаемые, которые представимы в виде aj11 aj22 . . . ajkk при j1 + j2 + . . . + jk = n с j1 0, j2 0, . . . , jk 0, т.е. суммирование в правой части равенства (4) (после приведения подобных членов!) производится по всем целым неотрицательным числам j1, j2, . . . , jk, в сумме составляющим число n. Далее, каждое слагаемое из правой части (3) может рассматриваться как перестановка с кратностями (j1, j2, . . . , jk) из множества {a1, a2, . . . , ak}, и каждая из таких перестановок отмечена в сумме (из первой скобки выбираем ai1 , из второй ai2 и т.д.).

Следовательно, Fj1...jk = P (j1, j2, . . . , jk) и j1 + j2 + . . . + jk = n. Используя формулу числа перестановок с кратностями и j1 + j2 + . . . + jk = n, получаем:

Задача 2. Найти сумму полиномиальных коэффициентов, т.е.

n!

.

j1+...+jk=n j1!j2! . . . jk! j1 0,

j2 0,...,jk 0

Указать связь этой задачи с задачей 1.

Задача 3. Найти число слагаемых в правой части формулы полиномиальной теоремы.

В биномиальном случае (при n = 2) полиномиальная теорема носит название бином Ньютона.

52 Полиномиальная теорема

Задача 4. Вывести формулу бинома Ньютона (для всякого натурального показателя):

Из условий суммирования вытекает, что α2 = m−α1 и α1 принимает все целые значения от 0 до m, поэтому, продолжая равенство, можем записать:

откуда, меняя обозначения индекса суммирования и используя формулу числа сочетаний, получаем окончательно:

m

(a + b)m = Cmi aibm−i.

i=0

Примечание: Числа Cnk называют биномиальными коэффициентами именно за их роль в биноме Ньютона. При этом k называется номером биномиального коэффициента.

Задача 5. Вывести формулу бинома Ньютона (для натурального показателя) методом полной индукции.

Задача 6. Найти сумму биномиальных коэффициентов. Указать число слагаемых в правой части бинома Ньютона. Сверить полученные результаты с задачами 2 и 3.

Задача 7. Доказать полиномиальную теорему методом полной индукции.

Указание:

Использовать формулу бинома Ньютона. После решения задачи 5 порочного круга не возникает.

53

Задача 8. Раскрыть скобки в выражении (a + b + c)4.

Решение. Прежде всего следует определить число слагаемых в сумме. Ясно, что, согласно условиям суммирования в полиномиальной теореме, это число равняется числу целых неотрицательных решений уравнения

x1 + x2 + x3 = 4,

т.е. 15 (смотрите задачу № 2 из главы 3).

Затем выписываем все 15 целых неотрицательных 3-наборов показателей, которые по полиномиальной теореме определяют требуемый результат. Чтобы еще надежнее контролировать перечисление всех слагаемых, выгодно выписывать нужные наборы, размещая их в лексикографическом порядке:

или в окончательном виде:

a4 + 4a3b + 4a3c + 6a2b2 + 12a2bc + 60a2c2 + 4ab3 + 12ab2c + 12abc2+ +4ac3 + b4 + 4b3c + 6b2c2 + 4bc3 + c4.

Задача 9. Возвести в степень: (x − y + z − u)3.

Задача 10. Найти коэффициент при x6y7z в многочлене (3x2 + 2y − 7z)11.

54 Полиномиальная теорема

Задача 11. Найти коэффициент при x15y6zu8 в многочлене

(2x3 − 3y2 − 7z + 4u2)13.

Задача 12. Найти коэффициенты при x17 и x18 в многочлене (1 + x5 + x7)n. Задача 13. Найти коэффициент при x8 в многочлене (1 + x2 − x3)9. Задача 14. Найти коэффициент при xkyr в многочлене (1 + x + y)n.

Задача 15. Чему равна сумма всех коэффициентов многочлена четырех переменных (x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4)3?

Задача 16. Чему равна сумма коэффициентов многочлена

(x1 + x2 + . . . + xk − xk−1 − . . . − xn)m?

Задача 17. Чему равна сумма коэффициентов многочлена

(x1 − x2 + x3 − x4 + . . . + x2n+1)m?

Задача 18. Чему равна сумма полиномиальных коэффициентов в выражении (x − y + z − u)n? Чему равна сумма коэффициентов этого многочлена?

известно, что биномиальные коэффициенты 5-го, 6-го, 7-го членов разложения образуют арифметическую прогрессию.

Задача 26. Найти n, если известно, что в многочлене (1+x)n коэффициенты при x5 и x12 равны.

Раздел 5. Комбинаторные тождества и суммы

Структура комбинаторных формул нередко позволяет громоздкие, довольно длинные выражения заменять краткими. Причем добиваться этого часто можно элементарными (по использованным средствам) способами.

Задача 1. Найти сумму полиномиальных коэффициентов порядка n, т.е.

Cn0 + Cn1 + Cn2 + . . . + Cnn, n N.

Решение. Заменяя в формуле бинома Ньютона (см. задачу 4, главы 4) a и b на 1, получаем

Установленное тождество (7) (сумма биномиальных коэффициентов порядка n равна 2n) играет большую роль при решении многих нижеследующих задач, и поэтому отнесем его к основным комбинаторным средствам.

Задача 2. Найти знакопеременную сумму биномиальных коэффициентов n-го порядка, т.е.

Cn0 − Cn1 + Cn2 − . . . + (−1)nCnn, n N.

Решение. Раскладывая по биному Ньютона 0 = (−1+1)n, получаем нужную сумму:

Основные комбинаторные тождества (7) и (8) можно использовать в решении целого ряда других подобных задач.

57

(сумма всех биномиальных коэффициентов порядка n с чётными номерами равна 2n−1).

Решение. Сложим почленно (7) и (8), а затем разделим на 2 полученное

Решение. Задумаемся над сложностью этой, одной из типичных, задачи. Если бы не было коэффициентов (= 1) при числах сочетаний в каждом слагаемом, то задача была бы тривиальной и имела ответ

(Cn0 + Cn1 + . . . + Cnn) − Cn0 = 2n − Cn0 = 2n − 1.

В случае если в каждом слагаемом при числе сочетаний оказался бы один и тот же постоянный коэффициент (например, k), то, вынося этот коэффициент за скобки, сразу же получили бы ответ, равный k(2n − 1).

Таким образом, хотелось бы преобразовать данную сумму в один из видов, только что отмеченных, и прежде всего преобразовывать каждое слагаемое так, чтобы в нем при числе сочетаний стоял один (для всех слагаемых) множитель.

Рассмотрим произвольное слагаемое в заданной сумме:

теперь можно сократить i, но выгодно ли?

полученное выражение не является каким-либо числом сочетаний Cml , так как

(i − 1) + (n − i) = n.

Попытаемся получить более подходящий вид слагаемого:

суммы более выгодным? Да, поскольку теперь множитель у числа сочетаний (n) один и тот же во всех слагаемых и может быть вынесен за скобку.

= 2n−1 · n.

Задача 8. Вычислить сумму

Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + . . . + (n + 1)Cnn.

Указание. Использовать предыдущую задачу.

Задача 9. Вычислить сумму

Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 − . . . + (−1)n−1nCnn.

Задача 10. Вычислить сумму

Cn0 + 12Cn1 + 13Cn2 + 14Cn3 + . . . + n +1 1Cnn.

Задача 11. Вычислить сумму

Cn0 − 12Cn1 + 13Cn2 − 14Cn3 + . . . + (−1)n n +1 1Cnn.

59

Задача 12. Доказать тождество

P (i1, i2, . . . , ik) = im

i1+i2+...+ik=m i1 0,i2 0,...,jk 0

Многие задачи этого раздела решаются непосредственно с помощью комбинаторных рассуждений.

Задача 13. Доказать тождество

2 способ. (Комбинаторный). Рассмотрим n-множество S = {a1, a2, . . . , an}. Будем строить k-сочетания без повторений из множества S, содержащие элемент a1. Для этого включим элемент a1 в каждое такое сочетанние и, добавив к нему k − 1 элементов, выбранных из S \ {a1}, получим Cnk−−11 искомых сочетаний. Теперь построим k-сочетания (без повторений) из S, не содержащие элемент a1. При этом придется выбирать k элементов из множества S \ {a1}, всего Cnk−1 способами.

Итак, существует Cnk−−11 k-сочетаний (без повторений) из множества S, содержащих выделенный элемент a1, и Cnk−1 k-сочетаний из S, не содержащих этого же элемента, т.е. всего (по правилу сложения) Cnk−−11 + Cnk−1, но при этом перечислены все k-сочетания без повторений из n-множества, и, значит,

+ Cnk−1 = Cnk.

Важное комбинаторное тождество (9) также будем называть основным

Задача 15. Доказать двумя способами (непосредственной проверкой и с помощью комбинаторных рассуждений) четвёртое основное комбинаторное множество

Задача 16. Доказать двумя способами (непосредственной проверкой и с помощью комбинаторных рассуждений) тождество:

P (i − 1, j, k) + P (i, j − 1, k) + P (i, j, k − 1) = P (i, j, k).

Задача 17. Как выглядит тождество из предыдущей задачи для основного 2-множества? Доказать справедливость найденного тождества и установить связь с тождеством (9).

Задача 18. Обобщить тождества из двух предыдущих задач на n-элементарное основное множество и доказать (комбинаторными рассуждениями) справедливость полученного тождества.

Эффективным (и эффектным!), хотя и непростым способом доказательства комбинаторных тождеств и нахождения комбинаторных сумм является следующий. По данной комбинаторной сумме придумывается (именно так!) задача, ответом к которой является это выражение; вместе с тем указывается иное, более короткое решение, и тем самым устанавливается нужный результат. Подобный подход уже можно обнаружить во втором указанном решении задачи № 13.

Задача 19. Вычислить сумму

Решение. Вдумаемся в структуру представленной суммы. Каждое слагаемое является произведением двух чисел сочетаний, из которых первое выбирается из n-множества, второе — из m-множества. Верхние индексы увеличиваются на 1 у первого сомножителя при переходе к следующему слагаемому и убывают на 1 у второго. Сумма верхних индексов (т.е. сумма объемов выборок) в каждом слагаемом постоянная и равна k.

Всё это напоминает ситуацию с выбором некоторого количества элементов из одного множества и добавления к ним недостающего числа (до k) элементов