Комбинаторика. Практикум по решению задач. Учебное пособие

21

Задача 100. Сколько слов, состоящих из 5 букв, можно образовать из букв А, Б, В так, чтобы буква А появлялась самое большое дважды, буква Б — самое большое один раз, а буква В — не более трех раз?

Задача 101. Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем трех букв Б?

Задача 102. В кошельке находятся металлический рубль и купюры достоинством 3, 5, 10, 25 рублей. Сколько различных денежных сумм можно из них составить?

Задача 103. Сколько номеров телефонов можно составить из заданного набора семи цифр, если:

а) все семь цифр различны;

б) среди этих цифр могут быть совпадающие?

Задача 104. На контрольной работе предложено 12 задач одинаковой сложности. Для получения отличной оценки необходимо решить не менее 10 задач. Сколькими способами можно выполнить работу на «отлично»? Сколько всего имеется вариантов выполнения этой контрольной работы?

Задача 105. Сколько четырехзначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если:

а) цифры в числе не повторяются,

б) без ограничений?

Задача 106. Сколько четырехзначных чисел, кратных 3, существует в шестиричной системе счисления?

Задача 107. Сколько существует автомобильных номеров в одной серии, не содержащих одинаковых цифр? не содержащих единицу? не содержащих нуль? содержащих ровно одну единицу? содержащих хоты бы одну единицу? содержащих хотя бы две единицы?

Задача 108. Сколько автомобильных номеров (одной серии) состоят из одной цифры? из двух? из трех? из четырех? из пяти? не более чем двух? не менее чем из двух? не более чем из трех?

Задача 109. Сколькими способами можно составить три пары из n шахматистов?

Задача 110. Сколько можно построить функций со значениями на m-мно- жестве, зависящих от n переменных x1, x2, . . . , xn, где xi (i = 1, . . . , n) может принимать одно из k значений?

Задача 111. Из колоды в 4n карт, которая содержит 4 различные масти, в каждой масти по n карт, n 5, занумерованных числами 1, 2, . . . , n, выбраны 5 карт. Расположить в порядке возрастания частоты появления следующие наборы:

а) 5 последовательных карт одной масти,

б) 4 карты из 5 с одним номером,

в) 3 карты с одним номером, 2 — с другим,

г) 5 карт одной масти,

д) 5 последовательно занумерованных карт,

е) 3 карты из 5 с одним и тем же номером,

ж) 2 карты с одним номером и 2 с другим,

з) 2 карты из 5 с одним номером.

Задача 112. Сколько пятизначных чисел, больших 54 000, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Задача 113. Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течение трех дней выбирать по 6 участников так, чтобы каждый день были различные составы хора?

Задача 114. Сколькими способами можно выбрать из чисел первой сотни три числа так, чтобы их сумма делилась на 3?

23

Задача 115. Сколькими способами можно переставить буквы слова ОБОРОНОСПОСОБНОСТЬ, чтобы две буквы О не стояли рядом?

Задача 116. Сколькими способами можно переставить буквы в слове КОМБИНАТОРИКА, чтобы:

а) М стояло между А,

б) Т стояло левее хотя бы одного К,

в) М стояло между А, а Т — левее К,

г) одно О стояло между А,

д) хотя бы одно О стояло между А,

е) рядом не стояли одинаковые буквы.

Задача 117. Сколько можно взять аккордов на рояле одной рукой в первой октаве?

Задача 118. Из чисел от 1 до n составлены всевозможные произведения, состоящие из k различных сомножителей (k фиксировано). Сколько полученных произведений делится на простое p n?

Задача 119. Сколько существует идентификаторов в алгоритмическом языке Фортран, т.е. «слов» длины не более 6 символов, состоящих из латинских букв и цифр и начинающихся с буквы?

Задача 120. Сколько сигналов можно составить, меняя порядок шести флагов: одного красного, двух синих, трех желтых? Сколько сигналов можно составить, меняя число и порядок этих флагов?

Задача 121. Сколько может быть вариантов сдачи вами экзаменов в предстоящую сессию?

Задача 122. Сколько может быть вариантов сдачи экзамена по теории чисел в вашей группе?

Задача 123. На каждую учебную группу в деканате во время сессии заводится сводная ведомость с данными по каждому студенту и каждому экзамену и зачету. Сколько имеется вариантов заполнения сводной ведомости на вашу группу в ближайшую сессию?

Задача 124. Сколько различных произведений, кратных 3, по три множителя в каждом произведении можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 7, 9?

Задача 125. На плоскости даны пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Точки попарно соединены прямыми. Чему равно число точек взаимного пересечения прямых (не считая исходных пяти точек), если никакие из проведенных прямых не параллельны между собой?

Задача 126. В приемной стоматологической поликлиники ожидают очереди две женщины и десять мужчин. К их услугам имеется восемь экземпляров последнего номера журнала и четыре экземпляра свежей газеты. Сколькими способами могут они распределить газеты и журналы между собой, если обе женщины непременно хотят читать одно и то же?

Задача 127. Сколько существует двоичных матриц (т.е. матриц, элементами которых являются 0 и 1) размера m n? Сколько существует двоичных матриц порядка 10?

Задача 128. Сколько существует двоичных симметрических квадратных матриц порядка n?

Задача 129. Определить число двоичных матриц порядка n, в каждом столбце которых стоит ровно по одной 1.

Задача 130. Сколько существует двоичных m × n матриц, в каждой из которых сумма всех элементов равна k?

Задача 131. Сколько существует двоичных матриц порядка n, сумма элементов в каждом столбце которых равна k?

Задача 132. Сколько существует двоичных матриц порядка n, у которых равны все элементы на главной диагонали?

Задача 133. Определить число двоичных симметрических матриц порядка n, в каждой из которых ровно k единиц и равны все элементы на главной диагонали.

25

Задача 134. Найти число двоичных матриц порядка n, главная диагональ которых занята нулями, под диагональю стоит k единиц, а над диагональю — l единиц. Вычислить это число при n = 4, k = 5, l = 2.

Задача 135. Найти число двоичных m × n-матриц, первые p столбцов которых содержат вместе ровно k единиц, а каждый из последующих — ровно l единиц. Вычислить это число при m = 5, n = 7, p = 2, k = 7, l = 2.

Задача 136. Найти число двоичных матриц порядка n, содержащих в каждой из первых m строк по r единиц, в каждой из остальных строк – q единиц, и все элементы главной диагонали равны нулю.

Задача 137. Пассажир забыл номер, открывающий автоматическую камеру хранения. Он только помнит, что среди цифр номера были 1, 3 и 7. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Какое наибольшее число номеров ему придется перепробовать?

Задача 138. Пассажир из предыдущей задачи вспомнил, что в номере были сочетания цифр 13 и 37. Насколько облегчились его поиски?

Задача 139. Решить задачу 137, если пассажир помнит, что, набирая номер, он использовал только цифры 1, 3 и 7.

Задача 140. Сколькими способами можно распределить 3n различных предметов между тремя людьми так, чтобы каждый человек получил по n предметов?

Задача 141. Пусть M — r-множество, X — его k-подмножество. Определить число S — подмножеств множества M, которые имеют в пересечении с X l элементов.

Задача 142. Сколько существует автобусных билетов в каждой серии, чьи номера остаются правильно записанными, если билет перевернуть «вверх ногами»? Сколько существует шестизначных чисел с тем же свойством?

Задача 143. Сколько существует шестизначных чисел (в десятичной системе счисления), не содержащих повторяющейся цифры 7? не содержащих рядом стоящих цифр 7?

Задача 144. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды, содержащей 36 карт, чтобы среди них были карты каждой масти?

Задача 145. Сколькими способами можно разместить n1 белых, n2 черных, n3 синих шаров по m различным урнам?

Задача 146. Психологический тест состоит из 20 вопросов, на каждый из которых следует ответить «да» или «нет». В зависимости от полученного числа утвердительных ответов делается одно из 21 возможного заключения. Сколько различных вариантов может быть получено в этом тесте? Какое заключение чаще всего придется указывать, если различные ответы на любой вопрос теста встречаются одинаково часто?

Задача 147. Сколько можно составить перестановок из n элементов, в которых данные два элемента не стоят рядом в любом порядке?

Задача 148. Сколько можно составить перестановок из n элементов, в которых данные m элементов не стоят рядом в любом порядке?

Задача 149. Сколькими способами можно разложить n различных предметов по k различным ящикам так, чтобы в первый ящик попало n1 предметов, во второй — n2 предметов, . . ., в k-й — nk предметов, если:

а) n1 + n2 + . . . + nk = n;

б) без предыдущего ограничения?

Задача 150. Сколько существует n-значных чисел, у которых сумма цифр равна k, где k 9? Решить ту же задачу для всех чисел от 0 до 10n.

Задача 151. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 75 226 522?

Задача 152. В учреждении 25 сотрудников. Доказать, что из них нельзя составить больше 30 комиссий по 5 человек в каждой так, чтобы никакие две комиссии не имели более одного общего члена.

Задача 153. Группа из 41 студента успешно сдала сессию из трех экзаменов. Возможные оценки: 5, 4, 3. Доказать, что по крайней мере пять студентов сдали сессию с одинаковыми оценками.

Задача 154. В классе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на «4» и «5». Никакие два из них не учатся одинаково, ни о каких двух из них нель-

27

зя сказать, что один учится лучше другого. Доказать, что число учеников в классе не превышает C2nn.

Задача 155. Доказать, что если шахматная партия продолжается бесконечное число ходов, то по крайней мере одна позиция будет повторена бесконечное число раз. Доказать, что найдется последовательность ходов сколь угодно большой длины, которая повторяется бесконечно много раз.

Задача 156. Доказать, что в каждой бесконечной десятичной дроби существует последовательность десятичных знаков произвольной длины, которая в разложении дроби встречается бесконечно много раз.

Задача 157. В ящике 8 белых, 9 зеленых, 10 красных, 12 синих шаров. Сколькими способами можно вынуть 8 шаров? 9 шаров? 10 шаров? 11 шаров?

Задача 158. В ящике 3 белых, 4 зеленых, 5 красных и 7 синих шаров. Сколькими способами можно вынуть 6 шаров? 8 шаров?

Задача 159. Сколькими способами можно разбить 23 человека на 5 бригад для выполнения однотипных заданий так, чтобы в четырех бригадах было по 5 человек, а в одной — три человека?

Задача 160. Сколькими способами можно распределить k · n предметов на k групп по n предметов в каждой группе, если:

а) все предметы одинаковы;

б) все предметы различны?

Задача 161. Сколькими способами можно распределить k(k+1) предметов на

2

k групп так, чтобы все группы отличались числом предметов в них, если:

а) все предметы однаковы;

б) все предметы различны?

Задача 162. Сколькими способами можно расставить на черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек?

Задача 163. Руководитель хора желает вывести на сцену 5 мальчиков и 4 девочки так, чтобы две девочки не шли друг за другом. Сколькими способами можно расставить детей?

Задача 164. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее двух женщин. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 165. В комнате студенческого общежития живут 3 студента. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 одинаковых чайных ложке (все чашки и блюдца отличаются друг от друга). Сколькими способами хозяева могут накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложку)?

Задача 166. Новогоднюю ёлку украсили десятью электрогирляндами. Каждую гирлянду можно либо не включать, либо включать в одном из двух режимов: постоянном или мигающем. Хватит ли года на перебор всех вариантов подключения, если каждый вечер решено осуществлять один вариант? Если менять варианты включения каждый час? Если на ёлке 6 гирлянд, а варианты меняются дважды за вечер?

29

Раздел 2. Вычисление вероятностей

Бросая монету на ровную поверхность много раз, мы ожидаем, что примерно в половине случаев монета упадет гербом и также в половине всех случаев цифрой. Если, скажем, при 100 бросаниях монеты герб выпадет 90 раз, мы, осознавая, что в принципе такая ситуация допустима, всё же заподозрим, что монета «неправильная». Действительно, при каждом бросании монеты реализуется одно из двух равноценных, равновозможных событий — выпадение гербом, цифрой, и при этом именно в силу равновозможности этих событий мы убеждены, что при многих бросаниях монеты герб должен выпасть примерно в половине случаев (конечно, относительно небольшие отклонения от половины всех случаев мы воспринимаем как вполне приемлемые и не противоречащие нашим представлениям).

Точно так же, если при многократном бросании игральной кости (т.е. кубика, грани которого пронумерованы цифрами от 1 до 6) цифра 6 выпадает в половине всех случаев, мы будем твердо убеждены, что столкнулись с какимто отклонением от нормы: либо кость «неправильная», например не является однородной, либо бросающий кость придает ей при каждом броске одинаковые начальное положение и траекторию полета, либо необычайно «везет». Но чем больше мы будем наблюдать такие слишком частые выпадения шестерки, тем больше будем склоняться к первому или второму и тем менее будем верить третьему, поскольку убеждены, что цифра 6 (как и всякая другая от 1 до 5) должна выпадать в среднем в шестой части всех бросаний игральной кости.

Другое дело, если бросаем спичечный коробок, пронумеровав его грани. Заранее можно сказать, что любая его грань не должна оказываться верхней в среднем столько же раз, сколько и другие. Действительно, здесь нарушено важнейшее условие, позволяющее ранее достаточно просто указывать частоту появления того или иного события в предыдущих экспериментах. Весь круг вопросов, возникающих в связи с вышеописанным, относится к предмету теории вероятностей, мы же для наших целей воспользуемся лишь интуитивным

определением вероятности: под вероятностью будем понимать отношение числа интересующих нас случаев к общему числу равноценных случаев.

Совокупность всех равноценных, равновозможных случаев будем называть полным полем событий.

Для того чтобы в задачах комбинаторного типа вычислить вероятность некоторого результата, следует посчитать общее число выборок, реализующих полное поле событий, затем число тех выборок (из общего числа), которые приводят к требуемому результату, и второе из полученных чисел разделить на первое.

Задача 1. Какова вероятность выбрасывания более 4 очков при бросании игральной кости?

Решение. Полное поле событий состоит из C61 = 6 выборок. Из условия следует, что благоприятных событий два — 5 очков и 6 очков. Значит, искомая

вероятность равна 2 = 1.

C61 3

Задача 2. Бросаются 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения 12 очков? 7 очков? 1 очка?

Неправильное решение. При бросании двух костей может выпасть любое количество очков от 2 до 12 (11 возможностей). Нас интересует единственный случай (12 очков в первом вопросе, 7 очков во втором). Итак, вероятность появления 12 очков равна вероятности появления 7 очков и равна 111 .

Можно провести эксперимент и, бросив несколько десятков раз пару игральных костей, установить, что появление 12 очков примерно втрое меньше рассчитанной вероятности, а 7 очков появляются примерно вдвое чаще.

Второе неправильное решение. В предыдущем решении не было учтено, что 12 очков может быть получено единственым образом (6 + 6), в то время как 7 очков получится при комбинации очков 1 + 6, 2 + 5, . . . Таким образом, разбив полное поле событий задачи на два указанных «участка», мы получили неравноценные «участки»: «участок», соответствующий выпадению 7 очков, гораздо больше «участка», где размещается 12 очков. (Пока рассуждения полностью справедливы.) Каждое событие из полного поля событий можно рассматривать как 2-выборку из 6-множества {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Выборки с повторениями, так как возможны комбинации типа 1+1, 2+2 и т.д. Выборки