Комбинаторика. Практикум по решению задач. Учебное пособие

71

Решение. Вспомним, что число натуральных чисел k, k n, с условием k . l

Пусть pi(k) — свойство для натурального k, k n, быть кратным числа ai. Тогда задача сводится к нахождению числа N(0) натуральных чисел, расположенных в отрезке от 1 до n и не удовлетворяющих ни одному из свойств

p1, p2, . . . , pm.

По формуле включений и исключений искомое число равно:

Задача 9. Доказать методом включений и исключений формулу для вычисления значений функции Эйлера

при n = pα1 1 pα2 2 · . . . · pαs s . (Напомним, что ϕ(n) определяет число натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n.)

получаем точно такой же результат, что доказывает справедливость требуемой формулы.

Задача 12. Пусть n — натуральное число, q1, q2, . . . , qm — все простые числа, не превосходящие √n, π(x) — функция Чебышева, представляющая число простых, не превосходящих x. Доказать, что

Задача 14. (Задача о беспорядках). Перестановка a1a2 . . . an множества

S = {1, 2, 3, . . . , n} называется беспорядком, если для любого i S ai = 1. Обозначим Dn — число n-беспорядков.

Требуется вычислить D4, D5, D6. Определить общую формулу для вычисления Dn.

Решение. Легко видеть, что D1 = 0, D2 = 1, D3 = 2, D4 = 9. Действительно, не существует 1-перестановки, в которой единственный элемент не стоял бы на первом, единственном месте. Существует лишь один 2-беспорядок (21), два 3-беспорядка (231 и 312). Из всех 24 4-перестановок девять являются беспорядками: 2143, 2341, 2413, 3142, 3412, 3412, 3421, 4123, 4312 и, наконец, 4321.

Сложнее подсчитать D5. Непосредственные выкладки приведут к D5 = 44, но проще будет вывести общую формулу для Dn, а затем по ней найти искомое число.

Рассмотрим множество всех n-перестановок из S (его объем Pn = n!). Определим свойство pi (i = 1, 2, . . . , n) для элементов этого множества выполнением равенства ai = i.

Тогда Ni1i2...ik при 1 i1 < i2 < . . . < ik n определяет число перестановок, оставляющих на месте k чисел – i1, i2, . . . , ik, при этом каждое из

73

остальных n − k чисел может занять любое из соответствующих n − k мест,

т.е. Ni1i2...ik = Pn−k = (n − k)!. Далее набор i1, i2, . . . , ik из S = {1, 2, 3, . . . , n}

осуществляется Cnk способами.

Применяя формулу включений и исключений имеем

Dn = N(0) = Pn − Cn1 · Pn−1 + Cn2 · Pn−2 − . . . (−1)nCnn · P0 =

= 360 − 120 + 30 − 6 + 1 = 265.

Из полученной для Dn формулы легко получается реккурентное соотношение

Dn = n · Dn−1 + (−1)n,

которое также можно использовать для получения численных выражений Dn. Из второго соотношения

D5 = 5 · D4 − 1 = 5 · 9 − 1 = 44;

D6 = 6 · D5 + 1 = 265; D7 = 7 · D6 − 1 = 1854.

Обратим внимание на выражение в скобках в равенстве (14). Это выражение представляет собой начальный отрезок ряда, являющегося разложением числа e−1. Поскольку ряд этот знакопеременный, то разность между e−1 и выражением в (14), заключенным в скобках, по модулю меньше первого отбрасываемого слагаемого, т.е. (n+1)!1 , и поэтому

Таким образом, ne! приближает Dn с точностью n+11 , и при больших n удобней пользоваться вычислением Dn как числа ne! .

Так, например,

а поскольку Dn — целое число, то Dn = 1 334 961.

Задача 15. Пятеро гостей пришли в шляпах. Какова вероятность того, что, наудачу надевая при расставании шляпу, каждый из них надел чужую шляпу? Увеличится или уменьшится ответ, если гостей было сто? тысяча? десять тысяч? Указать ответ для общего случая n гостей.

Замечание к ответу. Интересно, что ответ почти не зависит от количества гостей, приближаясь с ростом гостей к некоторому числу (какому?).

Задача 16. Найти число m-перестановок, оставляющих на месте ровно r элементов?

Задача 17. В группе 25 студентов. Из них 12 посещают спецкурсы по теории чисел, 8 — спецсеминар по этой дисциплине, 10 студентов предпочитают не иметь дела с этим предметом. Сколько студентов посещают и спецкурсы и спецсеминары по теории чисел? Сколько студентов посещают только спецкурсы?

Задача 18. Ребенок из двух синих, двух зеленых, белого и красного кубиков строит башню. Какова вероятность того, что не окажутся рядом кубики одного цвета?

Задача 19. Каков будет ответ в предыдущей задаче, если использованы два синих, два зеленых и два красных кубика?

Задача 20. В одном городе 28% жителей читают «Правду», 25% — «Известия» и 20% — «Труд». Кроме того, 11%, проживающих в городе, читают как «Правду», так и «Известия», 3% — «Правду» и «Труд», тогда как 42% горожан не читают ни одной из газет («Правда», «Известия», «Труд»).Чему равен процент жителей, которые читают одновременно «Правду», «Известия», «Труд»?

Задача 21. На вступительном экамене по математике были предложены три задачи: по одной по алгебре, геометрии и тригонометрии. Из 1000 абитуриен-

75

тов задачу по алгебре решили 800, по геометрии — 700, по тригонометрии — 600. При этом задачи по алгебре и геометрии решили 600 человек, по алгебре и тригонометрии — 500, по тригонометрии и геометрии — 400. Сделавших все задачи оказалось втрое больше, чем не сделавших ни одной. Сколько абитуриентов не решили ни одной задачи?

Задача 22. Из 100 студентов к 31 декабря 37 сдали зачет по теории чисел, математическому анализу и геометрии. 37 студентов не сдали зачет по теории чисел, 14 — по теории чисел и математическому анализу, 48 — по геометрии, 23 — по геометрии и теории чисел, 29 — по математическому анализу, 41 — по математическому анализу. Сколько студентов не сдали ни одного из зачетов?

Задача 23. (Л. Кэрролл). В ожесточённой битве более 70% сражавшихся потеряли глаз, 65% — ухо, 90% — руку, 85% — ногу. Каково наименьшее количество потерявших глаз, ухо, руку и ногу?

Задача 24. Вычислить 21k , где суммирование производится по всем натуральным k, не кратным 2, 3 и 5.

Задача 25. Пользуясь методом включений и исключений, определить, сколькими способами можно переставить буквы в слове НОСОРОГ так, чтобы рядом не стояли одинаковые буквы.

Задача 26. Сколькими способами можно переставить буквы в слове КРОКОДИЛ так, чтобы рядом не стояли одинаковые буквы?

Задача 27. Сколькими способами можно переставить буквы в слове КОМБИНАТОРИКА так, чтобы рядом не стояли одинаковые буквы?

Задача 28. Сколькими способами можно переставить буквы слова ГИППОПОТАМ так, чтобы рядом не стояли одинаковые буквы?

Задача 29. Наборщик рассыпал готовые наборы слов НОСОРОГ, КРОКОДИЛ, КОМБИНАТОРИКА, ГИППОПОТАМ, а затем собрал рассыпанные литеры каждого их слов произвольным образом. Каковы вероятности того, что в каждом из этих вновь собранных слов рядом не будут стоять одинаковые буквы?

Задача 30. Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых рядом не стоят цифры 7 и рядом не стоят цифры 9?

Задача 31. Сколькими способами можно усадить рядом трёх французов, трёх англичан и трёх турок так, чтобы три соотечественника не сидели рядом?

Задача 32. Сколькими способами можно разложить n предметов по m ящикам так, чтобы r ящиков остались пустыми?

Задача 33. Найти число способов, которыми могут быть размещены на шахматной доске восемь ладей так, чтобы ни одна ладья не атаковала другую, а главная диагональ была бы свободна от ладей.

Задача 34. 6 студентов берут экзаменационные билеты, пронумерованные от 1 до 30. Какова вероятность того, что двое вытянут билеты с соседними номерами?

Задача 35. Какова вероятность, что при раздаче колоды в 36 карт на шестерых по 6 карт каждому у кого-либо из игроков окажутся на руках карты одного цвета? карты одной масти? все карты — картинки?

Задача 36. Сколько существует шестизначных чисел, не содержащих повторяющихся цифр 7 и 9? не содержащих рядом стоящих цифр 7 и 9?

77

Раздел 7. Разные задачи

В этот раздел включены задачи различной сложности. Наряду со сравнительно простыми задачами на материал предыдущих разделов представлены трудные задачи, для некоторых из них неизвестны общие решения. Частично в задачах отражено содержание некоторых комбинаторных проблем, примыкающих к ранее изученному материалу. Гораздо более полное представление о комбинаторной теории чисел можно составить по книгам [6, 7, 8].

Наиболее трудные задачи отмечены звездочкой, а задачи, для которых неизвестно общее решение — двумя звездочками.

Задача 1. Автохозяйство обслуживает несколько пунктов, установив прямые рейсы между каждой парой этих пунктов. В следующем году планируется увеличение числа маршрутов на 76, что позволит обслуживать на тех же условиях еще некоторое число пунктов.

Сколько пунктов обслуживает это автохозяйство в настоящее время, и сколько их оно собирается обслуживать в следующем году?

Задача 2. Некий древневековый властитель, чисто из военных соображений желая, чтобы среди его подданных было больше мужчин, чем женщин, повелел, чтобы ни в одной семье не было более одной девочки. В результате у каждой женщины этой страны среди детей последней (и только последней) была девочка, ибо ни одна женщина, родив девочку, не решалась больше иметь детей. Какую же долю составляли мальчики в общей массе детей этой страны?

Задача 3. Сколько существует шестизначных чисел (в десятичной системе счисления), не содержащих повторяющихся цифр 0, 5, 9?

Задача 4. Найти число всех перестановок первых n натуральных чисел, в которых k чисел стоят на своих местах.

Задача 5. (Задача о супружеских парах). Хозяйка желает рассадить n супружеских пар, пришедших в гости, за круглым столом так, чтобы мужчины и женщины чередовались и чтобы при этом ни один муж не сидел рядом со своей женой. Сколькими способами это можно осуществить?

Задача 6. Существует аттракцион: в пяти окошечках независимо друг от друга появляются цифры от 0 до 9. Приз выдается, если при остановке (нажатием кнопки) сумма цифр в окошках кратна 5. Какую часть из всех 105 возможных результатов доставляют нужные суммы? Можно ли по указанным данным вычислить вероятность выигрыша?

Задача 7. Доказать тождество

Задача 9. Доказать тождество

n−1

(−1)kCnkAnn−k = n!

k=0

Задача 10. * Доказать, что число беспорядков Dn (см. задачу № 12 главы 6) может быть определено по формуле

n−1

Dn = (−1)kCnk(n − k)n(n − k − 1)n−k.

k=0

Сравните с условием предыдущей задачи.

Задача 11. Вера, Надя, Люба, Таня и Лена каждый день собираются вместе пить чай и каждый раз ведут разные беседы. В ходе каждого разговора Вера 7 раз говорит: «Ну и что», Надя 5 раз говорит: «Почему бы и нет?», Люба 8 раз говорит: «Может быть...», Таня 4 раза говорит: «Надо, так надо», Лена 6 раз говорит: «Нет, а вы?»

79

Через сколько дней они исчерпают все возможные беседы?

(**) Сколько дней уйдёт на все возможные беседы, если никто никогда не высказывается 2 раза подряд?

Задача 12. Какова вероятность того, что два номера, взятых наугад в телефонном справочнике, различаются лишь на 5 цифр?

Задача 13. Ребёнок собирает башню из 10 кубиков — по 2 белого, жёлтого, красного, зелёного и синего цветов, беря очередной кубик наугад.

А. Какова вероятность того, что красные кубики окажутся рядом?

Б.Какова вероятность того, что рядом окажутся все одинаково окрашенные кубики?

В. Какова вероятность, что кубики одного цвета рядом не окажутся?

*Г. Какова вероятность, что красный кубик не окажется рядом с зелёным?

Д.В пунктах А — Г указать избыточные условия задачи, если таковые имеются.

Задача 14. * Обобщить задачу № 12 на случай: а) 2n кубиков n цветов,

б) kn кубиков n цветов

и решить полученные задачи.

Задача 15. ** Решить задачи № 12, 13, если высота башни а) не превосходит 6 кубиков;

б) не превосходит l кубиков.

Задача 16. В выпуклом n-угольнике проведены все диагонали. Известно, что никакие три из них не пересекаются в одной точке. На сколько частей разделится при этом многоугольник?

Задача 17. На сколько частей можно разделить поверхность шара плоскостями, проходящими через его центр, при условии, что никакие три плоскости не проходят через один и тот же диаметр?

Задача 18. На сколько частей делят плоскость n пересекающихся прямых, если никакие три из них не пересекаются в одной точке?

Задача 19. На сколько частей делят пространство n плоскостей, из которых никакие четыре не проходят через одну и ту же точку, никакие три не проходят через одну и ту же прямую и никакие две не параллельны, и любые три плоскости имеют общую точку?

Задача 20. Через точку в пространстве проходят n плоскостей, и никакие три из них не проходят через одну прямую. На сколько частей они делят пространство?

Задача 21. На окружности дано n точек и проведены всевозможные хорды, соединяющие эти точки. Известно, что никакие три из приведенных хорд не пересекаются в одной внутренней точке окружности. На сколько частей разбивается круг?

Задача 22. На окружности отмечены 2n точек. Сколькими способами можно соединить попарно эти точки n непересекающимися хордами?

Задача 23. В кошельке лежат монеты в 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 и 50 копеек по одной монете каждого достоинства.

Сколькими способами можно уплатить этими монетами за покупку стоимостью 73 копейки?

Задача 24. За пересылку бандероли надо уплатить 18 копеек. Сколькими способами можно оплатить ее марками стоимостью в 4, 6 и 10 копеек? Сколько имеется способов оплаты этими марками, если считаются различные варианты с различным порядком марок?

Задача 25. Поступающий на математический факультет полагает, что для поступления будет достаточно набрать на четырех экзаменах 17 очков. Сколькими способами он может сдать экзамены, набрав не менее 17 очков и не получив ни одной двойки?

Задача 26. Какова доля среди всех последовательностей длины из чисел 0, 1, 2, . . . , k, тех, которые содержат чётное число нулей?

Задача 27. Сколько последовательностей длины n + m можно составить из n нулей и m единиц, в записи которых общее число пар 01 и 10 было бы равно:

а) 2k − 1; б) 2k?