Комбинаторика. Практикум по решению задач. Учебное пособие

11

повторений из n-множества. Таким образом,

С каждым k-сочетанием с повторениями из n-множества сопоставим двоичную последовательность (т.е. последовательность, состоящую из нулей и единиц) по следующему закону: слева последовательность содержит столько единиц, сколько элементов первого типа входит в данное сочетание, эта группа единиц (быть может пустая) заканчивается нулем, далее точно так же кодируются элементы второго типа, входящие в данное сочетание, – столько единиц, каков объем элементов второго типа и затем нуль и т.д., нуль после единиц, изображающих элементы n-го типа, не ставится.

Например, 2-сочетания с повторениями из примера 5 кодируются последо-

Таким образом, с каждым k-сочетанием с повторением из n-множества сопоставляется по заданному правилу двоичная последовательность из k единиц и n − 1 нулей. При этом каждая такая последовательность определяется единственным образом исходным сочетанием и, обратно, по любой (k, n − 1)- последовательности можно восстановить (однозначно) соответствующее сочетание, используя указанные правила. Следовательно, имеется биективное соответствие множества k-сочетаний с повторениями из n-множества двоичных последовательностей из k единиц и n − 1 нулей, а, значит, объемы этих множеств равны. Объем первого равен Cnk, объем второго равен P (k, n−1). Таким образом,

12 Основные комбинаторные понятия

Примененный здесь прием подсчета числа выборок является стандартным в комбинаторике и в той или иной степени применяется при решении всех комбинаторных задач — устанавливается биекция двух конечных множеств и искомый объем одного из этих множеств ищется как объем другого, легче поддающийся вычислению.

Задача 9. Доказать формулу Cnk = Cnk+k−1, применяя комбинаторные рассуждения и не используя результат задачи 8.

Задача 10. Сколькими способами можно расположить в ряд на книжной полке 5 различных книг?

Задача 11. Сколькими способами можно выбрать 3 из 5 различных книг?

Задача 12. Сколькими способами можно выбрать и разместить в ряд на книжной полке 3 из 5 различных книг?

Задача 13. 6 студентов берут экзаменационные билеты, пронумерованные числами от 1 до 30. Сколько имеется возможностей?

Задача 14. Города A и B соединены тремя различными дорогами. Сколькими способами можно съездить из A в B и обратно? Сколькими способами можно съездить из A в B и обратно по круговому маршруту?

Задача 15. Стадион «Динамо» имеет 4 входа. Сколькими способами можно войти в один вход и выйти через другой?

Задача 16. На гору ведет семь путей. Сколькими способами человек может взойти на гору по одной дороге и спуститься по другой?

Задача 17. Даны n точек, никакие три из них не коллинеарны. Сколько прямых инцидентно более одной из этих точек?

Задача 18. Сколько диагоналей в выпуклом n угольнике?

Задача 19. Каково наибольшее число внутренних точек пересечения диагоналей в выпуклом n угольнике?

Задача 20. Сколько существует четырехзначных чисел, цифры которых идут в убывающем порядке? в возрастающем порядке? невозрастающем порядке?

13

Сколько существует таких шестизначных чисел? Сколько таких чисел в первом миллионе?

Задача 21. Сколькими способами можно переставить буквы слова МАТЕМАТИКА? слова КОМБИНАТОРИКА?

Задача 22. Сколько различных сигналов можно подать, меняя порядок четырех поднятых флагов: белого, синего, красного и зеленого? Если менять также и число поднятых флагов?

Задача 23. Сколько можно изобразить сигналов с помощью трех флагов различных цветов, если на флагштоке имеется пять мест? Сравнить с предыдущей задачей.

Задача 24. В тексте предыдущей задачи поменять местами слова «трех» и «флагов» и решить полученную задачу.

Задача 25. Сколькими способами можно выбрать три шара из ящика, в котором лежат 3 белых, 4 черных и 5 красных шаров? Как изменится ответ, если из ящика убрать один красный шар? Добавить сто красных шаров? Убрать один белый шар?

Задача 26. Сколькими способами можно выбрать 10 пирожных в кондитерской, где имеется 6 сортов?

Примечание: имеется, конечно, в виду, что пирожных каждого сорта в наличии достаточно много, иначе задача становится слишком неопределенной.

Задача 27. В селении 2000 жителей. Доказать, что среди них есть не менее трех человек с одинаковыми инициалами.

Задача 28. Сколькими способами можно рассадить на пяти стульях 3, 5 и 7 человек?

Примечание: конечно, на одном стуле сидит не более одного человека, и никто не сидит между стульями, а также нет свободных стульев и стоящих при этом людей — всё это очевидным образом подразумевается в условии; однако из условия задачи не ясно, важен ли порядок размещения людей по стульям. Так изменится ли «рассадка», если двое сидящих поменяются местами?

Задача 29. Сколько партий должно быть сыграно в однокруговом турнире с участием n шахматистов? Сколько партий должно быть сыграно в турнире,

если каждый участник должен сыграть со всеми соперниками и белыми и черными?

Задача 30. Сколько существует костей домино? Сколько должно существовать костей домино, если использовать числа от 1 до k?

Задача 31. Сколько слов (т.е. буквосочетаний) длины n можно составить, используя алфавит из k букв?

Задача 32. Сколькими способами можно переставить буквы в слове ДЕКАН? в слове ЛЕКЦИЯ? в слове СЕМИНАР? в слове МАМА?

Задача 33. Сколькими способами группу студентов в 25 человек можно разбить на две подгруппы по 15 и 10 человек?

Задача 34. Комбинаторными рассуждениями доказать, что

Задача 35. Сколькими способами 25 студентов можно разбить на три подгруппы в 10, 8 и 7 человек?

Задача 36. Доказать комбинаторными рассуждениями справедливость тождеств:

а) Cnk · Cnl −k = Cnl · Cnk−l = Cnk+l · Ckk+l, 0 k + l m;

б) Cnn+k+l · Ckk+l = Cn+k+l · Cnk+k.

Задача 37. Сколькими способами можно выбрать три книги из трех одинаковых романов и трёх одинаковых томиков стихов?

Задача 38. Сколько шестизначных чисел можно составить из девяти значащих цифр так, чтобы четные цифры стояли на четных местах, а нечетные — на нечетных?

Задача 39. Сколькими способами можно переставить буквы в каждом из слов ЛЕКЦИЯ, СЕМИНАР, АУДИТОРИЯ так, чтобы гласные шли в алфавитном порядке?

15

Задача 40. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем были 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами можно составить такой букет?

Задача 41. В подразделении 5 офицеров и 60 солдат. Сколькими способами можно выделить караул, состоящий из одного офицера и трех солдат?

Задача 42. Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами можно выбрать этих пятерых человек?

Задача 43. Девять параллельных между собой прямых пересечены двенадцатью параллельными между собой прямыми. Сколько параллелограммов при этом образовано?

Задача 44. Сколькими способами можно составить комиссию из трёх человек, выбирая их из четырёх супружеских пар так, чтобы в комиссию не входили муж и жена?

Задача 45. На третьем курсе объявлено 10 спецкурсов и 15 спецсеминаров. Сколько возможностей у студента выбрать для прослушивания один спецкурс и один спецсеминар? Сколько возможностей у студенческой группы?

Задача 46. Не зная заранее, что ему больше понравится, студент решил некоторое время посещать 2 спецкурса и 2 спецсеминара (см. предыдущую задачу), чтобы в дальнейшем выбрать то, что ему больше по душе. Сколько у него имеется возможностей?

Задача 47. Сколькими способами можно упорядочить последовательные десять целых чисел? Сколькими способами это можно сделать, если чётные числа должны иметь чётный номер? Ответить на те же вопросы для последовательных n чисел?

Задача 48. Сколько существует пятизначных чисел, в которых ровно два раза участвует 0 и ни одна из остальных цифр не повторяется дважды?

Задача 49. Сколькими способами можно составить букет, содержащий 5 цветов, выбранных среди роз, астр и георгинов?

Примечание: сравнить условие этой задачи с задачей № 40.

Задача 50. Студентам, работающим на уборке картофеля, на поле должны привезти полдник, для этого необходимо заполнить 5 термосов. В столовой есть молоко, чай и какао. Сколькими способами можно заполнить термосы?

Задача 51. В пожарный инвентарь входят топоры, багры и огнетушители. Сколько имеется вариантов снаряжения 5-х человек для тушения пожара?

Задача 52. Сколько может быть различных результатов сдачи пяти экзаменов на положительные оценки (с точки зрения стипендиальной комиссии)?

Задача 53. Сколькими способами можно выбрать пять монет из пятаков, гривенников и двугривенных?

Задача 54. Сколько натуральных чисел, имеющих в своем каноническом разложении 5 простых множителей, можно составить из множителей 2, 3 и 5?

Задача 55. Жильцы дома решили озеленить двор, посадив пять деревьев, но у них нет единого мнения, какие деревья лучше высадить: березу, липу или клён. Сколько имеется вариантов посадки деревьев?

Задача 56. Астрофизическая обсерватория изучает квазары, пульсары и Солнце. В данный момент проводятся пять наблюдений. Сколько возможно наборов наблюдений?

Задача 57. Сколькими способами можно составить квинтет, имея скрипки, валторны и гобои?

Задача 58. Сколькими способами можно выбрать учком в составе пяти человек на общем собрании 8, 9 и 10-х классов?

Задача 59. Сравнить между собой предыдущие десять задач. Чем они отличаются друг от друга, что у них общего? Придумать одиннадцатую задачу с такими же свойствами.

Задача 60. Сколькими способами 25 студентов одной группы можно разбить на «пятерки» для подготовки к экзаменам? Имеется ли принципиальное отличие этой задачи от задачи № 35?

17

Задача 61. Сколькими способами 4-множество можно разбить на два 2-под- множества?

Получив ответ, проверьте его экспериментально. Если проверка дала другой результат, найдите ошибку в решении. Правилен ли ответ, полученный Вами в предыдущей задаче?

Задача 62. Сколькоми способами 10 солдат можно разбить на пары для выполнения задания?

Задача 63. Сколькими способами 10-множество можно разбить на два 2- подмножества и на два 3-подмножества?

Задача 64. Сколькими способами 9 студентов можно расселить в 3 трехместных комнатах общежития:

а) если комнаты равноценны;

б) если комнаты не равноценны?

Задача 65. Сколькими способами можно 9 студентов расселить в 3 трехместных комнатах общежития, если двое студентов успели поссориться и не желают поселиться вместе?

Задача 66. Сколько четырёхзначных чисел, делящихся на 25, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы ни одна цифра не повторялась в числе?

Задача 67. Сколько пятизначных чисел, делящихся на 25, можо изобразить цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6?

Задача 68. Сколько пятизначных чисел, кратных 5, можно изобразить цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, беря их не более одного раза?

Задача 69. Сколько пятизначных чисел, кратных 5, можно изобразить цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Задача 70. Сколько нечётных пятизначных чисел можно составить из шести карточек, на каждой из которых изображена одна из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Задача 71. Сколько нечётных пятизначных чисел можно составить, пользуясь цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Сравнить эту задачу с предыдущей.

Задача 72. Сколькими способами семь человек могут образовать очередь? Сколькими способами можно поставить семь человек в кружок?

Задача 73. Шестеро друзей, купив билеты, пошли в кино. Сколькими способами они могут занять свои места? После сеанса друзья зашли в кафе. Сколькими способами они могут разместиться за круглым столом?

Задача 74. Четыре математика, два физика, три биолога и четыре историка собрались на конференцию, дабы обсудить проблемы взаимосвязи наук. Участники конференции вначале на церемонии открытия сидели рядом друг с другом на скамье из 13 мест, а позднее, на рабочих заседаниях, — за круглым 13-местным столом. Сколькими различными способами могут разместиться участники конференции рядом друг с другом в каждом из этих двух случаев, если представители каждой науки сидят рядом?

Задача 75. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске восемь ладей так, чтобы ни одна не находилась под ударом?

Задача 76. При решении некоторой задачи на ЭВМ вызываются в определенном порядке по два раза программы A, B, C. В списке указаны 88 последовательностей из шести программ: AABBCC, ABCABC, . . . Все ли такие последовательности вошли в список?

Задача 77. Палиндромом называется число, которое одинаково читается и слева направо, и справа налево (например, 11, 232, 7007). Сколько существует пятизначных палиндромов? шестизначных?

Задача 78. Каких чисел в первом миллионе больше — содержащих единицу в десятичной записи или не содержащих ее? Среди первых десяти миллионов? Какова доля тех и других чисел среди первых 10n чисел?

Задача 79. Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 10n, в записи которых нет стоящих рядом одинаковых цифр?

Задача 80. Сколько слов длины не более n можно составить, используя алфавит из k букв? (сравнить с задачей № 31).

19

Задача 81. Сколькими способами 5 учеников можно распределить по трем параллельным классам? (сравнить с задачами № 49 — 58).

Задача 82. Имеется неограниченное количество монет достоинством в 10, 15 и 20 копеек. Сколькими способами можно выбрать 20 монет?

Задача 83. Сколько составных чисел можно составить из простых делителей числа 3570, содержащих не более трех различных простых делителей?

Задача 84. Сколько существует перестановок из n элементов, в которых данные два элемента не стоят рядом?

Задача 85. Сколько разных ожерелей с застежкой можно составить из:

а) семи различных бусинок;

б) шести одинаковых и одной, от них отличной;

в) пяти одинаковых и двух более крупных?

Задача 86. Сколько разных ожерелий без застежки можно составить по правилам, указанным в предыдущей задаче?

Задача 87. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и 2-й тома:

а) не стояли рядом,

б) стояли рядом?

Задача 88. Сколькими способами можно наклеить ярлыки двух цветов на 100 пузырьков? Определена ли задача однозначно?

Задача 89. Сколько можно составить флагов из 13 горизонтальных полос одинаковой ширины трех цветов так, чтобы любые две соседние полосы были разного цвета?

Задача 90. Сколькими способами можно расположить в ряд m белых и n черных шаров? Сколькими способами это можно сделать, если рядом не должны лежать черные шары? и черные и белые?

Задача 91. Факультету выделено 20 билетов в театр. Сколькими способами эти (равноценные) билеты можно распределить по всем курсам? Задачу решить двумя способами, с использованием и без использования правила умножения.

Задача 92. В одном научно-фантастическом рассказе А. Кларка описывается попытка неких буддистских монахов приблизить конец света перечислением девяти миллиардов имен Бога. Для этого ЭВМ создавала в некотором алфавите слова определенной длительности, которые затем зачитывались вслух. Сколько времени потребуется на произнесение всех слов из десяти букв при использовании латинского алфавита, если каждую секунду произносится сто слов? Как изменится ответ, если произносятся слова длиной не более десяти букв?

Задача 93. Сколько существует натуральных чисел, меньших 10n, цифры которых расположены в неубывающем порядке?

Задача 94. Сколько автомобильных номеров можно составить используя 28 букв русского алфавита, если каждый номер должен содержать 3 или 2 буквы и 4 цифры?

Задача 95. При игре в «дурака» вчетвером 36 карт распределяются между участниками по 6 карт, а остальные остаются в колоде. Сколько возможно начальных ситуаций?

Задача 96. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть не более четырех и не менее двух пар занятий и занятия начинаются в определенное время? А если занятия в понедельник могут начинаться со звонка на любую пару?

Задача 97. Сколько различных целых делителей имеет число 35 ·54? Сколько натуральных делителей имеет число с каноническим разложением pα1 1 · pα2 2 ×

× . . . · pαs s ?

Задача 98. Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из букв слова ДЕКАНАТ?

Задача 99. Сколькими способами можно упорядочить n-множество так, чтобы между двумя выделенными элементами помещалось всегда k элементов?