Комбинаторика. Практикум по решению задач. Учебное пособие

81

Задача 28. Найти число S, такое, чтобы среди чисел первой тысячи имелось ровно десять чисел, у каждого из которых сумма цифр в десятичной записи равна S.

Задача 29. («Задача о смертной казни»). Пусть n чисел 1, 2, . . . , n расположены подряд по кругу. Двигаясь по кругу, вычеркиваем каждое второе число, начиная с 1. Доказать, что последнее невычеркнутое число N = 2n−2[log2 n]+1 +1.

Найти последнее невычеркнутое число, если вычеркивается каждое k-е число.

Задача 30. Пусть k1, k2, . . . , kn — целые неотрицательные числа, такие, что

k1 + 2k2 + 3k3 + . . . + nkn = n.

Доказать, что число разбиений n-множества, содержащих ki i-подмножеств (i = 1, 2, . . . , n), равно

n!

(1!)k1 (2!)k2 (3!)k3 · . . . · (n!)kn k1! · . . . · kn!.

Задача 31. n-м числом Белла Bn называется число различных разбиений (неупорядоченных) n-множества (при n 1). По определению, B0 = 1. Доказать, что число Белла удовлетворяет рекуррентному соотношению:

для любого n 1

n−1

Bn = CnkBk.

k=0

Задача 32. Пусть Snk — число разбиений (неупорядоченных) n-множества равно на k непустых классов (Snk называют числами Стирлинга 2-го рода). Вывести рекуррентные соотношения:

Snk+1 = Snk−1 + kSnk.

Задача 33. Доказать, что

k

Snk = k1! (−1)iCni (k − i)n (см. задачу № 32).

i=0

Задача 34. Доказать, что число способов размещения n различных предметов по m различным ящикам (при условии, что ровно k ящиков были заняты) равно Akm · Snk.

Задача 35. Дать комбинаторную интерпретацию тождества

m

Anm = Akm · Snk. i=1

Задача 36. Доказать, что число способов размещения n различных предметов по m одинаковым ящикам (если учитывать, что все ящики заняты) равняется Snm.

Задача 37. Доказать, что число способов размещения n различных предметов по n одинаковым ящикам (если не обязательно, чтобы все ящики были заняты) равняется числу Белла Bn.

Задача 38. Доказать, что число, равное произведению n различных простых множителей, можно представить в виде произведения m множителей Snm различными способами.

Задача 39. Пусть A — квадратичная матрица порядка n с нулями на главной диагонали и единицами на остальных местах. Определитель A равен (−1)n−1× ×(n−1) (доказать!). Сколько из n! членов в разложении определителя A будет равно +1, −1 и 0 соответственно?

Задача 40. Числа в последовательности u0, u1, u2, . . . , un, . . ., где u0 = 1,

u1 = 2 и un+2 = un+1 + un для n > 1, называются числами Фибоначчи. Доказать, что любое натуральное число N имеет (и притом единственное) представление в виде

∞

N = aiui,

i=1

где ai = 0 или 1 и aiai+1 = 0 при i 1.

Задача 41. Назовём

n

p(n) = Akn i=0

общее число размещений (без повторений) из n различных элементов. а) Доказать, что p(n) удовлетворяет рекуррентному соотношению

p(n) = np(n−1) + 1, n 1, p(0) = 1;

83

б) доказать, что

n

p(n) = n! 1

k=0 k!

и что для n 1 число p(n) есть ближайшее целое к n!e; в) доказать, что

Задача 42. Доказать, что в компании из шести человек всегда найдутся либо трое попарно знакомых друг с другом, либо трое друг с другом попарно не знакомых.

Задача 43. (Теорема Кенинга). Назовем линией строку или столбец в матрице. В двоичной матрице (т.е. матрице, состоящей из нулей и единиц) минимальное число линий, которые содержат все единицы матрицы, равно максимальному числу единиц, которые могут быть выбраны так, чтобы никакие две из них не лежали на одной и той же линии.

Задача 44. Из пяти точек в плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, четыре являются вершинами выпуклого четырехугольника.

Задача 45. (Теорема Эрдеша). Для данного натурального числа n существует натуральное число N = N(n), такое, что любые N точек в плоскости, из которых никакие три не лежат на одной прямой, содержат n точек, образующих выпуклый n-угольник.

Задача 46. Дано 6 точек, соединенных попарно либо голубой, либо красной линией. Назовем треугольник хроматическим, если три его линии одного и того же цвета. Доказать, что существует не менее двух хроматических треугольников.

Задача 47. Используя результат задачи 46, доказать, что если имеется 7 точек, соединенных попарно голубой или красной линией, то существует не менее трех хроматических треугольников.

Задача 48. * Доказать, что если в матрице n × n содержится нулевая подматрица размера s × t и s + t > n, то определитель матрицы равен 0.

Задача 49. В эксперименте исследуется некоторое количество белых мышей. Если имеется mn + 1 мышей, то доказать, что либо есть последовательность

m + 1 мышей, каждая из которых является потомком следующей, либо существует n + 1 мышей, ни одна из которых не является потомком другой.

Задача 50. Числом Каталана χ(n) называется число способов правильной расстановки одной пары скобок в цепочке из n символов. Доказать, что

χ(n + 1) = n +1 1C2nn

для любого натурального n.

Указание. Предварительно вывести следующее рекуррентное соотношение:

χ(1) = 1

n−1

χ(n) = χ(i)χ(n − i).

i=1

Задача 51. Показать, что для любого натурального n χ(n) 2n−2 (см. предыдущую задачу).

87

Список литературы

[1]Андерсон Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика /Перевод с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.

[2]Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. – М.: ФИМА, МЦНМО, 2006.

[3]Виленкин Н.С. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.

[4]Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. – М.: Наука, 1977.

[5]Жмулёва А.В., Зубова Н.М. Сборник задач по комбинаторике. – М.: МГПИ им. В.И. Ленина, 1966.

[6]Райзер И. Комбинаторная математика. – М.: Мир, 1965.

[7]Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. – М.: ИЛ, 1963.

[8]Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения /Под ред. К.А. Рыбникова. – М.: Наука, 1982.

[9]Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. – Новосибирск: Наука, 1975.

[10]Олимпиады. Алгебра. Комбинаторика /Под ред. Л.Я. Савельева. – Новосибирск: Наука, 1979.

[11]Холл М. Комбинаторика. – М.: Мир, 1970.

[12]Яглом А.М., Яглом И.М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. – М.: Гостехиздат, 1954.

Учебное пособие

Топунов Владимир Леонидович

КОМБИНАТОРИКА. ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

3-е издание, стереотипное электронное

Редакторы д.ф.-м.н. Нечаев В. И., д.ф.-м.н. Чирский В. Г.

Оригинал-макет Крупицын Е. С. Редактор-корректор Дубовец В. В. Оформление обложки Удовенко В. Г. Подготовка к печати Дорожкина О. Н.

Управление издательской деятельности и инновационного проектирования МПГУ

119571, Москва, Вернадского пр-т, д. 88, оф. 446.

Тел.: (499) 730-38-61 E-mail: izdat@mpgu.edu

Формат 60х90/16.

Бум. офсетная. Печать цифровая. Объем 5,5 п. л. Тираж 500 экз. Заказ № 502.