3.ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Лабораторная работа

Цель работы: ознакомление с теорией затухающих колебаний; изучение закономерностей этих процессов и экспериментальное определение периода и характеристик затухания в электрическом колебательном контуре с помощью электронного осциллографа.

Приборы и принадлежности: кассета с электрическим колебательным контуром ФПЭ-10, генератор сигналов низкочастотный ГЗ-112/1, преобразователь импульсов ПИ (ФПЭ-09), электронный осциллограф С1-117/1, магазин сопротивлений МС, источник питания ИП, кабели и соединительные провода.

3.1. Электрический колебательный контур

Схема электрического колебательного контура представлена на рис. 16.

Б

C

K

L

Рис. 16. Электрический колебательный контур

Если зарядить конденсатор С от батареи Б до напряжения U, то в пространстве между пластинами конденсатора возникает электрическое поле с энергией

32

Для начала будем предполагать, что активное сопротивление контура R равно нулю. Если с помощью переключателя К замкнуть конденсатор в цепь с катушкой индуктивности, то он будет разряжаться и его электрическое поле будет уменьшаться. При этом в контуре возникает электрический ток разряда конденсатора и в катушке индуктивности L появляется магнитное поле. Через некоторое время, равное четверти периода колебания, конденсатор разрядится полностью, электрическое поле исчезнет. Магнитное поле катушки при этом достигнет максимума. Энергия электрического поля конденсатора превратится в энергию магнитного поля катушки индуктивности:

0– максимальное значение тока в контуре.

Вследующую четверть периода величина магнитного потока будет уменьшаться, так как нет поддерживающих его токов. Это исчезающее поле вызывает ток самоиндукции. Последний, в соответствии

справилом Ленца, будет стремиться поддерживать ток разряда конденсатора и будет, следовательно, направлен в том же направлении. Таким образом, конденсатор будет перезаряжаться, и между его обкладками появится электрическое поле противоположного направления. Через время, равное половине периода колебания, магнитное поле исчезнет, а электрическое поле достигнет максимума, энергия магнитного поля вновь превратится в энергию электрического поля.

Вдальнейшем конденсатор будет снова разряжаться, и в контуре возникнет ток, направленный противоположно току в первой стадии процесса. Через время, равное 3/4 периода колебания, конденсатор вновь окажется разряженным, а энергия электрического поля снова превратится в энергию магнитного поля, и т.д. Через промежуток времени, равный полному периоду колебаний Т, электрическое состояние контура будет таким же, как в начале колебания.

Вреальности проводники контура всегда обладают активным электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе колебания расходуется на нагревание проводников, превращаясь в тепловую энергию. Таким образом, амплитуда электромагнитных колебаний в контуре постепенно уменьшается, и в нем происходят затухающие колебания (рис. 17).

33

Рис. 17. График затухающих колебаний тока в электрическом контуре

При достаточно большом сопротивлении контура или малой индуктивности колебания в нем вообще не возникают, и происходит так называемый апериодический разряд конденсатора в режиме критического затухания (рис. 18).

U I

U

I

t

0

Рис. 18. Апериодические процессы в электрическом контуре

(режим критического затухания колебаний)

34

3.2.Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

вэлектрическом контуре

В электрических цепях колебания затухают из-за наличия омических сопротивлений в элементах цепи. Для анализа затухающих электрических колебаний рассмотрим эквивалентную схему контура

(рис. 19).

Рис. 19. Эквивалентная схема электрического колебательного контура

Электрический ток I в контуре существует благодаря кулоновским силам заряженного конденсатора С и сторонним силам, возникающим в катушке индуктивности L. В некоторый момент времени конденсатор имеет заряд q , а напряжение между его пластинами равно U. При разряде конденсатора в катушке возникает э.д.с. самоин-

дукции εL , пропорциональная скорости изменения тока:

Согласно закону Ома ток в цепи:

Преобразуем уравнение (3.4) к уравнению одной переменной, а именно, – напряжения U на обкладках конденсатора.

Ток в цепи равен убыли заряда q на конденсаторе:

35

Данное дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания напряжения на обкладках конденсатора в электрическом контуре.

Решение дифференциального уравнения (3.9) имеет вид

36

При значении коэффициента затухания β = ω0 возникает апери-

одический режим разряда конденсатора (режим критического затухания). Из формул (3.12–3.14) следует, что колебания возможны лишь при условии

Если R > 2CL , то частота и период становятся мнимыми, колебания

не возникают, разряд конденсатора становится апериодическим. Сопротивление контура, равное

называется критическим сопротивлением. Величина, равная CL ,

называется волновым сопротивлением контура.

По аналогии с механическими затухающими колебаниями введем понятие декремента затухания. Декрементом затухания называется отношение двух последующих (разделенных интервалом временем равным периоду) амплитуд колебаний:

Декремент затухания D характеризует быстроту затухания колебаний и показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное одному периоду. Натуральный логарифм отношения (3.18) называется логарифмическим декрементом затухания:

37

Логарифмический декремент λ затухания колебаний в электрическом контуре будет иметь следующее выражение:

Амплитуда колебаний в контуре убывает по экспоненциальному закону:

При t = 1β амплитуда затухающих колебаний уменьшается в

2,72 раза, (т.е., в е раз). Это время обозначается τ и называется временем релаксации колебательной системы. Время релаксации колебательной системы любой природы – это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,72 раза.

Из формул (3.11), (3.18) – (3.20) следует

Кроме коэффициента затухания, декремента, логарифмического декремента и времени релаксации для характеристики затухающих колебаний используется понятие добротности. Добротность Q электрического контура (как и любой колебательной системы) пропорциональна отношению полной энергии колебаний W(t) к потерям энергии W за один период Т:

Полная энергия колебательного контура равна максимальной энергии магнитного поля в катушке индуктивности:

потери энергии W равны тепловым потерям энергии на активном сопротивлении контура R за один период колебаний:

38