5.2. Колебания в системе связанных электрических контуров

Колебания напряжения, токов, электрических и магнитных полей в электрическом контуре подробно рассмотрены выше в работе 242. Возникающие колебания являются гармоническими и период свободных колебаний в электрическом контуре определяется формулой Томсона:

Колебательный контур может быть связан с другими цепями, например, с другим колебательным контуром. Связь между контурами может быть обеспечена разными способами. На рис. 35 изображены электрические контура, связанные: а) индуктивной связью; б) емкостной связью.

Рис. 35. Связанные электрические контуры: а – индуктивная связь;

б– емкостная связь

Впервом случае (рис. 35а) используется явление взаимной индукции – переменный магнитный поток катушки индуктивности первого контура, пронизывая витки катушки второго контура, наводит в ней переменную э.д.с., и, наоборот, изменяющийся магнитный поток катушки второго контура наводит э.д.с. в первом контуре. Во втором случае (рис. 35б) напряжение, которое создается на конденсаторе свя-

зи Ссв при прохождении через него тока первого контура, действует на цепь второго контура, приводя к появлению в нем тока, и наоборот. Такая схема называется схемой с внутренней емкостной связью.

Рассмотрим колебания, происходящие в двух одинаковых электрических контурах (L1 = L2 = L, C1 = C2 = C), связанных емкостной связью (конденсатор Ссв) – рис. 36. В системе из двух связанных контуров, также как и в системе двух связанных маятников, возможны две нормальные моды колебаний.

65

На рис. 36 изображены направления токов в контурах в некоторый момент времени (с течением времени направления и величины токов будут изменяться в соответствии с гармоническим законом).

Рис. 36. Нормальные колебания в системе двух одинаковых связанных электрических контуров (L1=L2=L, C1=C2=C): а – синфазная

(или симметричная) мода; б – противофазная (или антисимметричная) мода

Синфазная мода возникает, если токи I1, I2 в обоих контурах текут по часовой стрелке. При этом ток через конденсатор связи (с учетом направления токов I1, I2) равен нулю I1 +(-I2) =0. Конденсатор остается незаряженным, что является аналогом нерастянутой пружины в колебаниях связанных маятников (рис. 33а). Противофазная мода возникает, если ток I1 в левом контуре течет по часовой стрелке, а в правом I2 – против часовой стрелки. Через конденсатор связи токи I1, I2 текут в одном направлении. Конденсатор заряжается – это является аналогом растянутой пружины в колебаниях маятников (рис. 33б).

5.3. Частоты нормальных колебаний в системе связанных электрических контуров

Рассчитаем частоты нормальных колебаний. Запишем уравнения по II правилу Кирхгофа для левого и правого контура (рис. 36а), учитывая, что в синфазной моде колебаний конденсатор связи Ссв остается незаряженным:

66

После сложения уравнений друг с другом получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Из уравнения (5.15) следует, что частота синфазной моды равна

Далее запишем уравнения по II правилу Кирхгофа для левого и правого контура (рис. 36б):

Преобразуем полученные уравнения, используя соотношения:

67

Из уравнения (5.22) следует, что частота противофазной моды равна

Также как в системе связанных механических маятников любое колебание в связанных электрических контурах можно представить как суперпозицию двух нормальных колебаний с частотами (5.16) и (5.23).

Для возбуждения нормальных колебаний необходимо выполнение определенных начальных условий. В системе механических связанных маятников эти условия легко выполняются – легко можно отклонить маятники в одну сторону или в разные стороны. В связанных электрических контурах такие начальные условия трудно выполнить. Поэтому, в общем случае, в системе возникают биения, а не нормальные колебания.

Измерить нормальные частоты можно, наблюдая явление резонанса при подключении к контурам внешней переменной ЭДС. Если частота внешней ЭДС будет близка к нормальной частоте системы, то амплитуда вынужденных колебаний резко увеличиться, что можно будет легко увидеть с помощью осциллографа. Поскольку система из двух связанных электрических контуров имеет две нормальные частоты, соответствующие двум нормальным модам (типам) колебаний, то мы должны зафиксировать два различных значения резонансной частоты.

68