4.1. Гармонические колебания

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качание маятника, переменный электрический ток. При периодических колебаниях изменение наблюдаемой величины в точности повторяется через совершено определенное время – период. Они описываются периодической функцией времени:

где T – период функции, n – произвольное целое число.

Колебание будет полным, если за кратчайшее время система полностью повторит свое движение. Время Т, в течении которого совершается одно полное колебание, является периодом колебаний. Число полных колебаний в единицу времени называется частотойколебаний:

Среди разнообразных колебаний, встречающихся в природе, основную и очень важную роль играют гармонические колебания (рис.

23).

- А

T

Рис. 23. Гармонические колебания

Гармонические колебания представляют периодический процесс, в котором изменение наблюдаемой величины описывается функцией косинуса (или синуса):

47

здесь х – отклонение (смещение) изменяющейся в процессе колебаний физической величины от положения равновесия.

Наибольшее смещение A называется амплитудой колебаний. Аргумент синуса или косинуса (ωt +φ0 ) определяет смещение в любой момент времени и называется фазой колебаний; φ0 – начальная

фаза (в момент времени t = 0). Величина ω, равная числу колебаний за 2π единиц времени, называется циклической (или круговой) частотой. Она в 2π раз больше обычной частоты ν:

4.2. Вращающийся вектор амплитуды

Если одна и та же материальная точка участвует в нескольких колебательных процессах одновременно, то ее смещение в любой момент времени можно найти геометрически методом вращающегося вектора амплитуды (методом векторных диаграмм).

Изобразим на координатной плоскости ХОY вектор с началом в точке О (рис. 24).

Рис. 24. Проекции вектора на координатные оси совершают гармонические колебания с частотой ω

Длина вектора равна амплитуде колебаний. Угол, образуемый вектором с осью ОХ, равен начальной фазе колебания φ0 . Если при-

вести вектор во вращение вокруг начала координат О с частотой,

48

равной циклической частоте колебания ω, то его проекции на координатные осиOX и OY будут изменяться по гармоническому закону:

Рассмотрим некоторые частные случаи сложения гармонических колебаний методом векторных диаграмм.

4.3. Сложение гармонических колебаний одного направления

Пусть два гармонических колебания происходят в одном направлении ОХ, имеют одинаковые частоты ω1 = ω2 = ω, но различ-

ные начальные фазы φ1 ≠ φ2 . Запишем уравнения этих колебаний:

Амплитуду и начальную фазу (A, φ) результирующего колеба-

ния найдем методом векторных диаграмм (методом вращающегося вектора амплитуды). Изобразим на координатной плоскости два вра-

щающихся вектора амплитуд и (рис. 25).

Рис. 25. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты графическим методом

Углы, образуемые этими векторами с осью ОХ в начальный момент времени φ1 иφ2 равны начальным фазам колебаний. Так как вектора

и вращаются вокруг начала координат с одинаковой угловой

49

скоростью ω, равной круговой частоте колебаний, то угол между ними не меняется со временем и равен φ = φ1 -φ2 .

Как следует из рис. 3, амплитуда результирующего колебания (длина вектора ) равна

а начальная фаза определяется соотношением:

Если разность фаз колебаний равна четному числу полуоборотов, или другими словами четному числу π радиан, то есть:

то амплитуда результирующего колебания будет максимальной:

Если разность фаз колебаний равна нечетному числу полуоборотов, или другими словами нечетному числу π радиан, то есть:

то амплитуда результирующего колебания будет минимальной:

4.4. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты

Два гармонических колебания с одинаковыми частотами происходят во взаимно перпендикулярных направлениях (по осям ОХ и ОY):

В зависимости от соотношения амплитуд A1 , A2 и начальных фаз φ1 , ϕ2 складываемых колебаний точка будет двигаться или по эллипсу или по окружности или по прямым линиям (в 1,3 или 2,4 четвертях).

50

Возводим уравнения в квадрат и исключаем время:

Полученное уравнение или траектория движения точки является эллипсом с полуосями A1 и A2 . Если A1 = A2 , то эллипс превращает-

ся в окружность. Таким образом, результирующее движение точки – это движение с постоянной угловой скоростью ω по эллипсу с полу-

Рис. 26. Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты и с разностью фаз ∆φ = ± π/2:

а – амплитуды колебаний различны: А2 >А1; б – амплитуды колебаний одинаковы: А1 = А2 = А

51

Полученное уравнение является уравнением прямой линии, находящейся во 2, 4 четвертях координатной плоскости (рис. 27).

Рис. 27. Траектория движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, произвольной амплитуды

: а – разность фаз ∆φ = 0; б – разность фаз ∆φ = π

52