5.ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

ВСВЯЗАННЫХ КОНТУРАХ

Лабораторная работа

Цель работы: изучение теории колебаний в связанных колебательных системах, наблюдение колебаний в связанных электрических контурах, измерение частот нормальных колебаний и биений.

Принадлежности: источник постоянного напряжения, звуковой генератор ГЗ-111, электронный осциллограф, кассета ФПЭ-09/ПИ, кассета ФПЭ-13, магазин емкостей, кабели и соединительные провода.

Электрические колебания – колебания зарядов и токов, электрических и магнитных полей в колебательном контуре – имеют наглядную механическую аналогию в виде гармонических колебаний пружинного или математического маятников. Электрические колебания в связанных контурах также аналогичны колебаниям в системе из связанных механических маятников.

5.1. Колебания связанных механических маятников

Для лучшего понимания процессов, происходящих в связанных электрических контурах, рассмотрим механическую аналогию ‒ колебания физических маятников, упруго связанных пружиной друг с другом (рис. 32). Наличие пружины обеспечивает взаимодействие маятников друг с другом и перенос энергии от одного маятника к другому в процессе колебаний.

φ1 φ2

Рис. 32. Связанные физические маятники: два тела массами m подвешены на жестких недеформируемых стержнях и связаны между собой невесомой пружиной

61

Система из двух связанных маятников обладает двумя степенями свободы, для ее описания необходимо задать два угла отклонения маятников от положения равновесия. Количество степеней свободы системы, с другой стороны, равно числу независимых движений, которые может совершать система. Независимые колебания в колебательной системе называются собственными, нормальными колебаниями или нормальными модами (типами) колебаний. В случае нормальных колебаний все составные части системы колеблются по гармоническим законам с одинаковой частотой. Все остальные колебания, которые может совершать система связанных тел, не будут гармоническими.

Система из двух одинаковых связанных маятников, обладая двумя степенями свободы, имеет две нормальные моды колебаний.

Если маятники отклонить на одно и то же расстояние A+ в одну сто-

рону (рис. 33) и отпустить, то пружина, оставаясь не растянутой, не будет связывать маятники друг с другом – колебания будут гармоническими с частотой ω1. Если маятники отклонить на одинаковые рас-

стояния A− , но в противоположные стороны и отпустить, то в систе-

ме также установятся гармонические колебания с частотой ω2. В этом случае средняя точка пружины остается неподвижной и перенос энергии (взаимодействие маятников) отсутствует. Такие синфазные или противофазные колебания маятников происходящие с частотами ω1 и ω2 являются нормальными модами (типами) колебаний двух связанных маятников.

Рис. 33. Нормальные моды колебаний связанных маятников: а – синфазная; б – противофазная

62

Для синфазной (или симметричной) моды смещения маятников от положения равновесия равны друг другу по величине и по знаку:

для противофазной (или антисимметричной) моды – равны по величине, но противоположны по знаку:

Произвольное колебание системы связанных маятников можно представить в виде суперпозиции нормальных мод колебаний:

определяются начальными условиями. В общем случае в системе будут происходить негармонические колебания маятников с изменяющейся амплитудой.

Приведем маятники в движение из начального (t = 0) состояния

первый маятник находится в положении равновесия, второй отклонен от положения равновесия на расстояние 2А, начальные скорости маятников равны нулю и, соответственно, равны нулю начальные фазы

φ0+ , φ0- . Отпустим второй маятник без толчка. Тогда в системе установятся колебания вида:

В системе устанавливаются колебания маятников с частотой, равной средней частоте двух нормальных мод:

а их амплитуда изменяется со временем по закону косинуса или синуса с частотой, равной полуразности частот нормальных мод:

Медленное изменение с частотой, равной половине разности частот нормальных мод, называется «биениями».

63

Частота биений равна разности ω1-ω2 частот (а не половине этой разности) поскольку максимум амплитуды 2А достигается два-

жды за период, соответствующий частоте Ω= ω12-ω2 . Следовательно, период биений оказывается равным:

При биениях между маятниками происходит периодический обмен энергиями. Вначале (рис. 34) амплитуда колебаний второго маятника максимальна и максимальна его энергия, при этом амплитуда колебаний первого маятника и его энергия равны нулю. С течением времени убывает амплитуда колебаний второго маятника и возрастает амплитуда колебаний первого маятника. К моменту времени

амплитуда колебаний и энергия второго маятника уменьшаются до нуля, возрастают до максимума амплитуда и энергия колебаний первого маятника. Далее процесс идет в обратном порядке – уменьшается амплитуда и энергия колебаний первого маятника и возрастают у второго.

х2

t

Тб

х1

t

Тб

Рис. 34. Биения в системе связанных маятников

64