Интегральное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Интегральное исчисление – раздел математического анализа, в котором изучаются интеграл, его свойства, способы вычисления и приложения.

В разделе «Дифференциальное исчисление» была введена операция нахождения производной или дифференциала функции. В интегральном исчислении рассматривается обратная задача: нахождение функции по ее дифференциалу.

Функция F(x) называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции f (x) на интервале (a,b), если в любой точке x интервала (a,b) функция F (x) дифференцируема и имеет производную F (x), равную f (x):

F (x) f (x).

Например,дляфункции x2 первообразнойбудетфункция x3 ;дляфункции

3

интервале a, b , то F x C , где C – число, тоже первообразная для функции

3

Множество всех первообразных для функции f x на промежутке a, b

называется неопределённым интегралом и обозначается f (x)dx .

f x dx – подынтегральное выражение;

C – произвольное число.

Из определения неопределённого интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F ' x f x соответствует формула

f x dx F x C интегрального исчисления.

Операция нахождения первообразной или неопределённого интеграла называется интегрированием.

Пример 1. Найти первообразную функции f x 3x2 , зная, что её график проходит через точку A 1, 6 .

Решение. Для функции f x 3x2 первообразной будет являться функция

F (x) x3 C .

Действительно, x3 C 3x2 .

Определим значение величины C , зная что x 1, y 6. Тогда 6 13 C , отсюда C 5.

Искомой первообразной является функция F (x) x3 5. Пример 2. Найти интеграл x9dx .

Геометрический смысл неопределённого интеграла

С геометрический точки зрения, неопределённый интеграл в системе xOy

представляет собой семейство интегральных кривых вида y F(x) C ,

смещённых друг относительно друга в направлении, параллельном оси Oy .

Интегральные кривые не пересекаются и не касаются друг друга (кроме особых точек).

Для выбора конкретной интегральной кривой семейства y F(x) C необходимо задать начальные условия. Чтобы, например, кривая проходила через некоторую точку M x0;y0 , задаются начальные условия x x0 , y y0 . С

помощью этих условий можно найти значение постоянной величины C : y0 F (x0) C , С y0 F (x0).

4

Пример 3. Выделить из семейства интегральных кривых F (x) x3 C линию, проходящую через точку А 1, 3 .

Отсюда F (x) x3 4.

Искомая линия задаётся уравнением y x3 4.

2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Основные свойства неопределённого интеграла:

1) Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: d f (x)dx f (x)dx , то есть знаки дифференциала и интеграла,

поставленные рядом, взаимно уничтожаются.

Следствием данного свойства является то, что производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

f (x)dx f (x).

2) Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной постоянной: dF(x) F(x) C .

Как частный случай можно рассматривать равенство dx x C .

3) Неопределённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций:

f1(x) f2(x) fn (x) dx f1(x)dx f2(x)dx fn (x)dx.

4)Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла:

[Af (x)]dx A f (x)dx , где A const 0.

5)Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид и смысл при подстановке вместо аргумента x любой дифференцируемой функции от этого аргумента:

f (u)du F(u) C , где u u(x).

6)Если F(x) – первообразная функции f (x), то справедливо выражение:

f (ax b)dx a1 F(ax b) C .

5

6

Все формулы таблицы приведены без доказательств, так как легко проверяются дифференцированием.

3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 3.1. Непосредственное интегрирование

Заключается в непосредственном использовании таблицы основных интегралов с учётом свойств неопределённого интеграла.

В некоторых случаях сначала необходимо представить произведение или частное функций в виде алгебраической суммы функций.

Свойство 5 неопределённого интеграла f (u)du F(u) C позволяет

расширитьтаблицуинтеграловспомощьюприёмаподведенияфункцииподзнак дифференциала.

При этом учитывается, что:

1)f (ax b)dx 1a f (ax b)d аx b ;

2)d f (x) f (x)dx .

Замечание. Для интегрирования некоторых иррациональных и рациональных функций можно представить их в виде степенных функций с помощью формул:

Решение. Применим свойства неопределённого интеграла:

1

(3x3 5sinx 7 x)dx 3x3dx 5sin x dx 7x2dx

7