Интегральное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

Задания для решения в аудитории

Найти интегралы методом подстановки.

1.149x 2dx .

2.e xx dx.

2x 8

6.x2 8x 9 dx .

11

3.3. Интегрирование по частям

Универсальной формулы для интегрирования произведения (частного) функций не существует, но в ряде случаев уместно использование формулы, основанной на нахождении дифференциала произведения.

Пусть каждая из функций u(x) и v(x) дифференцируема на множестве X

, и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции v(x)u (x). Тогда на множестве X существует первообразная и для функции

u(x)v (x), причем справедлива формула u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx , или в другой форме

udv uv vdu .

Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда последний интеграл проще исходного (или подобен ему). В качестве функции u необходимо выбирать ту функцию, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве dv – ту часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Интегралы, «берущиеся» по частям, условно делят на три типа.

Основные типы интегралов, «берущихся» по частям

Замечание 1. Под знаком интеграла первого типа могут находиться функции: arcsinx , arccosx , arctgx , arcctgx , lnx , от которых интеграл не

существует.

Замечание 2. Интегралы второго типа берутся n -кратным интегрированием, если Pn (x) – многочлен n -й степени.

12

Замечание 3. Интегралы третьего типа берутся по частям дважды, в результате чего получают исходный интеграл. Интегрирование прекращается, и из полученного равенства выражают искомый интеграл через все остальные слагаемые.

Пример 2. Найти интеграл I x2 cosxdx.

Решение. Данный интеграл относится ко второму типу.

u ex , dv sinxdx . Тогда du ex dx, v cosx .

Следовательно: I ex cosx ex cosxdx .

В результате получили интеграл, подобный данному интегралу, поэтому применим интегрирование по частям второй раз.

Пусть u ex , dv cosxdx , тогда du ex dx, v sin x . Применив формулу,

получим: e x sin xdx ex cosx (ex sin x ex sin xdx).

Перенесём слагаемые, содержащие исходный интеграл в левую часть равенства: 2 ex sin x dx ex cosx ex sin x C1 .

Окончательно, ex sin x dx 12ex (sinx cosx) C .

13

Задания для решения в аудитории

Найти интегралы.

1.x2 ln xdx.

2.(7x 11)e5x dx .

3.e13x sin9x dx .

4.(5x2 14x 7)cos6x dx .

5.(6x 17) 23x dx .

6.ln xdx.

7.sin x ln cosx dx.

3.4. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной функцией называется функция, равная отношению многочленов R x QP xx .

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя ниже степени знаменателя.

Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя больше степени знаменателя или равна степени знаменателя.

рациональные дроби.

Если дробь неправильная, то ее необходимо представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби.

QP xx M x QR xx ,

где M (x) – многочлен, QR((xx)) – правильная рациональная дробь.

Правильнуюрациональную дробьдалееследует представитьв видесуммы простейших дробей.

не имеет действительных корней, то есть p2 4q 0.

14

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

1)Если знаменатель содержит различные линейные множители, то дробь представляется в виде

2)Если знаменатель содержит повторяющиеся линейные множители, то дробь представляется в виде

3)Если знаменатель правильной рациональной дроби содержит квадратные трёхчлены, не разлагаемые на линейные множители, то дробь представляется в виде

После представления рациональной дроби в виде суммы простейших дробей необходимо найти неизвестные коэффициенты в числителях этих дробей методом неопределённых коэффициентов или методом частных значений.

Суть метода неопределённых коэффициентов заключается в том, что разложение дроби на простейшие не должно менять исходную дробь, а так как знаменатель исходной дробиравен общему знаменателю разложения, то должны быть равны и числители. Следовательно, для равенства многочленов в числителях дробей коэффициенты при одинаковых степенях аргумента должны совпадать. Такой подход позволяет составить систему линейных уравнений относительно коэффициентов разложения и, решив ее, найти значения этих коэффициентов.

Метод неопределённых коэффициентов

1.Простейшие дроби привести к общему знаменателю.

2.Приравнять числители полученной и данной дробей.

3.Получить систему n уравнений с n неизвестными, составляя равенство коэффициентов при одинаковых степенях неизвестных.

Эта система имеет единственное решение, так как разложение правильной дроби на простейшие возможно и единственно.

4.Решить систему и подставить найденные значения коэффициентов в числители простейших дробей.

Далее простейшие дроби необходимо проинтегрировать.

15

Замечание 1. Если знаменатель рациональной дроби разлагается только на линейные множители вида (x a), то целесообразно применять метод частных

значений. В этом случае величине x даются произвольные числовые значения (столько, сколько имеется неизвестных коэффициентов). Но удобнее полагать x a и т. д., то есть давать величине x те значения, при которых линейные множители обращаются в ноль.

Замечание 2. Во многих примерах удобно одновременно использовать метод частных значений и метод неопределённых коэффициентов.

Интегралы от простейших дробей

числителя строго меньше степени знаменателя). Если это условие не выполняется (дробь неправильная), ее необходимо представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

2) Правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей.

16

3)Определить значения коэффициентов в простейших дробях с помощью метода неопределённых коэффициентов (или метода частных значений).

4)Найти интегралы от простейших дробей.