Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

779 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

f (x) на a, b равен приращению первообразной на этом отрезке, т. е.

f (x)dx F (b) F (a).

Для того чтобы вычислить определенный интеграл от функции f (x) по промежутку a, b , нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f (x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность

этих значений первообразной принято обозначать символом F x ba .

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона – Лейбница можноиспользоватьлюбуюпервообразную F(x) дляподынтегральнойфункции

f (x), например, имеющую более простой вид при С 0.

Пример 1. Найти определенный интеграл x2dx .

Решение. Произвольная первообразная для функции f (x) x2 имеет вид

F(x)	x3		C . Для нахождения интеграла по формуле Ньютона –																										Лейбница
F(x)			C . Для нахождения интеграла по формуле Ньютона –																										Лейбница
3																										1
																			1				x		3				3		0	3
																			1						3				3			3
возьмемтакуюпервообразную,укоторой С 0.Тогда x2dx																													1				1
возьмемтакуюпервообразную,укоторой С 0.Тогда x2dx																													1				1
																			0					3		0			3		3		3
													2						0					3		0
													2
Пример 2. Найти определенный интеграл 23x 4 dx .
													1
Решение. Первообразную подынтегральной функции найдем по формуле
ax dx		a		C,	a 0,			a 1.		Применяя			формулу							Ньютона							–		Лейбница
ax dx		lna		C,	a 0,			a 1.		Применяя			формулу							Ньютона							–		Лейбница
		lna									2
получаем: 2				23x 4 dx				1	23x 4			1	23x 4	2					1		4	1						7		.



1						3ln2					1	3ln2		1				3ln2				2						6ln2
														1

Пример 3. Найти определенный интеграл e																x 1				dx.
Пример 3. Найти определенный интеграл e																				dx.
													1				x
				e	x 1			e		1					e
				e	x 1			e		1					e
Решение.							dx 1				dx x ln \| x \|				1
Решение.					x		dx 1			x	dx x ln \| x \|
				1	x			1		x

(e lne) (1 ln1) e 1 1 0 e 2.

								1
Пример 4. Найти определенный интеграл								2		1		dx.
Пример 4. Найти определенный интеграл								0				dx.
1								0	1 x2
1													.
2	1		1			1
2			1
Решение.		dx arcsinx			arcsin		arcsin0				0
				2
	1 x2			2
0	1 x2		0			2				6			6

Задания для решения в аудитории

Найти определенный интеграл.

	2
1.	5x4dx .
	1
			sin2 x
2.	6		sin2 x					dx .
2.	6							dx .
	0		cosx
	4								x
3.									4
3.		3x e									dx .
	0
	e	ln			2	x
4.		ln				x	dx .
4.							dx .
	1			x
	1
	1			x		3
5.								dx .
5.			x	8				dx .
	0		x			1
	1				xdx
6.					xdx					.
6.										.
	0			4 x2
											4. Замена переменной в определенном интеграле
							Этот способ при отыскании неопределенного интеграла состоит в том, что
	заменой										x (t), где	(t) – дифференцируемая функция от t ,	f (x)dx

приводится к выражению через новую переменную интегрирования:

f [ (t)] '(t)dt Ф(t)dt ,

азатем для Ф(t) находится первообразная в виде F[ (t)] с последующим переходом к F(x).

Если же подстановка применяется при вычислении определенного интеграла, то обратное приведение первообразной к функции x не является обязательным, так как формула Ньютона – Лейбница может применятся ко всякой переменной интегрирования, но при этом возникает необходимость изменения пределов интегрирования.

Чтобы установить пределы при новой переменной интегрирования t , следует определить те значения и этой переменной, при которых старая переменная x (t) соответственно принимает значенияa ( ) и b ( ).

Тогда будем иметь

b
f (x)dx F (a) F(b) F[ ( )] F[ ( )] f [ (t)] '(t)dt .
a

Этим доказана формула перехода к новой переменной под знаком

определенного интеграла: f (x)dx f [ (t)] '(t)dt .

										3				dx
Пример 1. Вычислить 1														dx							.
Пример 1. Вычислить 1														7 2x							.		7 t																				1
Решение. Замена 7 2x t , или x																							7 t			, при которой													dx				1	dt требует
Решение. Замена 7 2x t , или x																										, при которой													dx					dt требует
																						2																					2
следующего изменения пределов: 7 2( 1) 9 и 7 2 3 1.
	3			dx					1		1		dt					1		9		dt					9 3 1 2.
Поэтому				dx					1				dt					1				dt			t
Поэтому			7 2x														2								t
		1	7 2x					2			9			t			2			1		t					1
										1
Пример 2. Вычислить x(2 x2)5 dx .
										0																																						dt
Решение. Положим t 2 x2 . Тогда dt 2xdx , следовательно																																												xdx				dt	.
Решение. Положим t 2 x2 . Тогда dt 2xdx , следовательно																																												xdx				2	.
Пределы интегрирования: если x 0, то t 2 02																														2, если x 1, то t														2 12				2
Пределы интегрирования: если x 0, то t 2 02																														2, если x 1, то t														2 12				1
. Следовательно																																						2
1					1			1									1		1					1		2						1				6				1		26	16 21.
1					1														1							2										6
x(2 x2)5dx				t5						dt									t5dt							t5dt								t
x(2 x2)5dx				t5						dt							2		t5dt					2		t5dt								t						12
0					2			2									2		2					2		1						2			6			1		12							4
0					2														2							1												1

Пример 3. Вычислить 3												cosx					dx .
Пример 3. Вычислить 3												3					dx .
										sin x
										6																									cosdx dz ,
Решение. Введем							подстановку															sinx z .							Тогда						cosdx dz ,									а	пределы
интегрирования изменятся так:														если								x		,		то					z sin								1	,	если				x		,	то
z sin																						6													6				2							3
	3	.
	2	.
3	2
								3							3														3								1
	3		cosx					2		dz				2												1			3					1			1			1				4		4
	3		cosx					2		dz				2												1				2				1			2			1				4		4
Поэтому				3		dx						3						z 3dz																							4						.
Поэтому				3		dx						3						z 3dz										2		1					2		3				4						.
		sin			x			1		z						1									2z					1			2z				3			2				3		3
		sin			x			1		z						1									2z				2				2z				2			2				3		3
	6							2						2															2								2
	6							2						2

Задания для решения в аудитории

Вычислить определенный интеграл.

1. x3 x2 1dx .

2. 3 cos3 x sin2xdx .

24 x2dx

3.x .

4. 3 5x 2dx .

4	1 tg x
5.		dx .
5.	cos2 x	dx .
4

4dx

6.1 1 2x 2 .

5.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

ВОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Интегрирование по

частям

при

вычислении определенного интеграла

b udv выполнимо, если u

и v – дифференцируемые функции на всем отрезке

интегрирования.

b udv uv

b vdu .

Эта формула и есть формула интегрирования по частям в определенном

интеграле.

Пример 1. Вычислить 1 ln(1 x)dx .

Решение. Пусть u ln(1 x),

dv dx . Тогда

du d(ln(1 x))

v x .

1 x

Применяя формулу интегрирования по частям в определенном интеграле,

получаем 1 ln(1 x)dx x ln(1 x)

10 1

x 1

Для нахождения полученного интеграла положим 1 x t . Тогда dx dt ,

x 1 t и пределы интегрирования: если x 0,

то t 1, если x 1, то

t 2.

Следовательно,

ln(1 x)dx x ln(1

10 x

x ln(1 x)

x 1

12 ln2 (2 1) ln2 ln1 ln4 1.

ln2 dt

ln2 t

1 t

Пример 2. Вычислить x ln xdx .

Решение. Принимаем u ln x и dv xdx , тогда du

и v

Здесь

u ln x , v

имеют конечные производные на отрезке e, e

поэтому применение интегрирования по частям возможно.

6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

6.1. Вычисление площадей плоских фигур

			2									e2				2										e2						e2
			2									e2				2										e2						e2
				e x ln xdx				x2	ln x						1		e xdx				x2			ln x						x2
				e x ln xdx					ln x								e xdx							ln x
				e			2					e			2 e					2						e		4				e
				e								e			2 e											e						e
	e	4			e	2				e	4		e	2				e	4			e	2		e		4		e		2		3		1			e	2	3e2 1 .
	e			lne2	e		lne			e			e					e		2		e			e				e				3	e4	1	e2		e
				lne2			lne													2													4	e4	4	e2
2			2						4 4							2				2 4 4													4		4		4
													Задания для решения в аудитории
			1																Вычислить интеграл.
			1
1.			xe x dx .
			0

2.			2 ex cosxdx .
			0

3. 1 arctgx dx .

0 e

4. xlnxdx .

5. 2x 3 e x dx .

6. 1 arcsinx dx .

0 x2

а) Пусть функция y f (x) неотрицательна и непрерывна на отрезке a, b

. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S под

кривой y f (x) на a, b численно равна определенному интегралу f (x)dx , т.

е. S f (x)dx .

y=f(x)

б) Пусть функция x f

. Тогда по геометрическому

(y) неотрицательна и непрерывна на отрезке [c, d] смыслу определенного интеграла площадь S под

кривой x f (y) на [c, d] численно равна определенному интегралу f (y)dy , т.

е. S d f (y)dy .

y d

x=f(y

в) Если y f (x) отрицательна и непрерывна на отрезке a, b , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком a, b горизонтальной оси

координат, прямыми x a, x b и графиком функции	y f (x), определяется
b
формулой S f (x)dx .
a
y

аb

	x
	y=f(x
г) Пусть на отрезке a, b заданы непрерывные		функции y f1(x) и
y f2(x) такие, что	f2(x) f1(x). Тогда площадь S	фигуры, заключенной

между кривыми y f1(x) и y f2(x), на отрезке a, b вычисляется по формуле

S f2(x) f1(x) dx .

Проиллюстрируем это графически. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке a, b .

1. f2 (x) f1(x) 0.

					B
					B	=f2(x)
						=f2(x)
	A
				B1		y=f1(x)
	A1

		a
		a			b		x
S SaABb SaA1B1b b	f2 (x)dx b
S SaABb SaA1B1b b	f2 (x)dx b		f1(x)dx .

2.0 f2 (x) f1(x).

		y

			a			b	x
					B
					B	y=f2(x)
		A
						y=f1(x)
					B1	y=f1(x)
		A1
	b			b			b	b
S SaA1B1b SaABb f1(x)dx				f1(x)dx			f2 (x)dx f1(x)dx .
	a			a			a	a
3. f2(x) f1(x),	f2(x) 0,	f1(x) 0
		y

A	y=f2(x)
	y=f2(x)
	B

		a			b x

				B1
				B1		y=f1(x)
						y=f1(x)
		A1
		A1
b		b
S SaABb SaA1B1b f2		f1
S SaABb SaA1B1b f2	(x)dx	f1	(x)dx
a		a

Если	линия задана	параметрическими	уравнениями x (t), , то,
			y (t).
совершая	подстановку	в интеграле по	формуле x (t), получим:
t2
S (t) '(t)dt , где t1 и t2		– значения, между которыми изменяется параметр t
t1

, когда точка пробегает слева направо всю линию, ограничивающую трапецию сверху.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y 6x x2 и осью Ох.

Решение. Пределы интегрирования определяются абсциссами точек пересечения кривой с осью Ох. Для нахождения точек пересечения решим уравнение 6x x2 0. Откуда, x1 0 и x2 6.

0 х

Поэтому искомая площадь S 6						(6x x2 )dx . Выполняем вычисление:
					0
S 6	(6x x2 )dx 3x2		x3	6	108 72 36 кв. ед.


0		3		0

Пример 2.		Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y x2					2,

y x .

Решение.

прямой y x ,

x2 2.

Найдем координаты точек пересечения параболы y x2 2

	2
решив систему этих уравнений y x		2,. Откуда,	x1 1

y x.

у=х2-2

у=х

-1

0		х
	2

		S 2	(x (x2 2))dx			x2	2	x3	2	2x	21
							2		2

						2		3
	1	1		1			1		1
		1					1		1
		(4 ( 1)2 )			(23 ( 1)3) 2(2 ( 1)) 4,5							кв.ед.
	2	(4 ( 1)2 )			(23 ( 1)3) 2(2 ( 1)) 4,5							кв.ед.
	2			3
		Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды
x a(t sint),				и осью Ох.
				и осью Ох.
y a(1 cost)

Решение. Арка циклоиды описывается при изменении t в пределах от 0 до 2 , так как y(0) y(2 ) 0, а в остальных точках указанного промежутка y 0

. Пределы интегрирования равны соответственно x(0) 0 и x(2 ) 2 a .

2 a

следовательно, искомая площадь равна: S ydx .

	0
Сделаем подстановку x a(t sint),	y a(1 cost), dx a(1 cost)dt .
Когда x пробегает отрезок 0, 2 a ,	t пробегает отрезок 0, 2 . Поэтому
2
S a(1 cost)a(1 cost)dt 3 a2 .
0

Так как площадь круга радиуса a равна a2 , то полученный результат показывает, что площадь арки циклоиды в три раза больше площади круга.

Задания для решения в аудитории

1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.

1. y 4 x2 , y 0.

2.	y2 x3, y 2 x2 .
3.	y 3 2x x2 , y 0.
4.	xy 4, x 1, y 0, x 4.
	2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в
			параметрическом виде.
1.		2cost, y 2,	y 2.
1.	x	2cost, y 2,	y 2.
	y 2	2sint,

2.	. x 4(t sint), y 4, 0 x 8π,			y 4.
	y 4(1 cost),

6.2. Вычисление площади фигуры, заданной в полярных координатах

Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением r r( ),, причем функция r( ) непрерывна и неотрицательна на отрезке ,

. Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , будем называть криволинейным

сектором. Его площадь равна S 2 r2 ( )d .

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда r a , где а – положительной число.

Решение.

При изменении от 0 до 2 полярный радиус опишет кривую, ограничивающую криволинейный

a2 2

сектор ОАВС. Поэтому по формуле площади имеем SOABC 2 0 2d

a2 3		2	a2 8 3		4	3	2
a2 3		2	a2 8 3		4	3	2
						a		.
2	3	0	2	3	3	a		.
		0

Заметим, что точка С отстоит от полюса на расстоянии r 2 a . Поэтому радиус ОС имеет площадь OC2 4 3a2 3 43 3a2 3SOABC , т. е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда,

составляет 1 площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных

радиусов витка.

Задания для решения в аудитории

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.

	r			4			,		,
1.								6		3 .
1.		cos				6		6		3 .
						6
2.	r sin		2		,	справа от луча						.
2.	r sin				,	справа от луча					2	.
				2							2

3. r 2cos , r 1, вне круга r 1.

6.3. Вычисление объемов тел вращения

Пусть на отрезке a, b задана непрерывная знакопостоянная функция y f (x). Необходимо найти объем Vx тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями y f (x), y 0,

x a , x b .

Вращение криволинейной трапеции вокруг оси Ох приводит к телу, объем

которого определяется формулой Vx b y2dx .

Аналогично вращение фигуры вокруг оси Оу приводит к телу, объем

которого определяется формулой Vy b x2dy .

Пример 1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры ограниченными линиями вокруг оси Ох y 2x x2 ; y 0.

Решение.

		2				2			2	4x2 4x3 x4 dx	4			x5
V		2	2x x				dx		2		4	x3 x4		x5
V			2x x				dx					x3 x4
					2						3		5
		0							0		3		5
	32							16
				16	32					(куб.).
		3		16	32			15		(куб.).
		3						15

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]