Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

779 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Задания для решения в аудитории

1.Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси

Ох криволинейной трапеции, ограниченной параболой y 4x , прямыми

y 0, x 3, x 12.

2.Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой y x3, прямыми y 0, y 8.

3.Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси

Ох криволинейной трапеции, ограниченной прямыми y 2x , y 0,

x4, x 6.

4.Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми y 3x , y 2,

y 4, x 0.

5. Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды y sinx , x 0,

x .

6. Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси

Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми y x2 , y 1,

y 5.

6.4. Площадь поверхности тела вращения

Пусть требуется определить площадь поверхности, полученной вращением кривой y = f(x) вокруг оси Ох при a x b . Выберем разбиение τ отрезка [a,b] и рассмотрим, как и при определении длины кривой, ломаную, проходящую через точки кривой с абсциссами xi . Каждый отрезок такой ломаной при вращении опишет усеченный конус, площадь боковой поверхности

которого равна

yi 1 yi

x . По

формуле

конечных приращений Лагранжа

f (xi ) f (xi 1)

f ( i ), где xi 1

i xi .

yi 1

xi xi 1

Поэтому Si 2

1 f 2

( i ) xi .

Следовательно, площадь всей поверхности, описанной ломаной при

вращении, равна

n f (xi 1) f (xi ) 1 f 2 ( i ) xi . Назовем площадью

i 1

поверхности вращения предел этой суммы при maxΔli →0 .

Заметим, что эта сумма не является интегральной суммой для функции 2 f (x) 1 f (x)2 , так как в каждом ее слагаемом фигурирует несколько точек данного отрезка разбиения. Однако можно доказать, что предел такой суммы

равен пределу интегральной суммы для

2 f (x) 1 f

, откуда получаем

(x)

формулу для площади поверхности вращения: S 2 b

f (x)

1 f 2 (x)dx .

Пример1.Вычислим площадь поверхности, полученной вращением части

кривой y x от х = 0 до х=1.

Решение.

Используя

формулу

S 2 b

f (x)

1 f 2 (x)dx , получим:

1 2

(5 5

S 2

x 1

dx 2

2 x

Задания для решения в аудитории

Найти площади поверхностей, образованных вращением дуг кривых.

1. y x3

от x 0

до x 2 вокруг оси Ох.

2. y 3x от x 1

до x 3 вокруг оси Ох.

3. y

, отсеченной прямой y 1,5x вокруг оси Оу.

6.5. Вычисление длины дуги кривой

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением

y f (x),

a x b , где f (x) –

непрерывнаянаотрезке a, b функция.

Длиной дуги АВ называется предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда длина наибольшего звена стремится к нулю

L limP .
0		f (x) непрерывна вместе с f '(x)					на отрезке a; b , то длина
Если функция		f (x) непрерывна вместе с f '(x)					на отрезке a; b , то длина
дуги АВ выражается формулой L b					1 f '2 x dx .
				a					x x(t) и
Если	кривая	АВ задана параметрическими					уравнениями		x x(t) и
y y(t),		причем	функции x(t)			и y(t) имеют		непрерывные
производные x'(t)		и y'(t) в	, ,		то путем замены переменной				x x(t) в
b
L 1 f ' x dx получим L				x '2 y '2 dt .
a
Если же кривая АВ задана в полярных координатах уравнением r r( )
, , то, учитывая			связь		между	прямоугольными		и полярными
координатами, параметрические				уравнения		этой	кривой будут		x r cos ,

y r sin ,

. Поэтому

x ' r 'cos r sin ,

y ' r 'sin r cos

получим формулу для

дуги

кривой, заданной

полярных координатах:

r2 r '2 d .

Пример 1. Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической

параболы y x3/2 от x 0 до x 5.

Решение. Из уравнения

y x

3/2

находим y '

1/2

Следовательно,

по

формуле длины дуги имеем:

9x 3/2

335

1 y ' x dx

Пример 2. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

sint,

x e

от 0 t

y e

cost,

Решение. Дифференцируя по t

параметрические

уравнения кривой,

получим: x't et sint cost ,

y't et cost sint .

Пользуясь формулой длины

дуги в параметрическом виде, получим:

L 2

e2t (sint cost)2 (cost sint)2 dt 2

2et dt

2(e 2 1).

Пример 3. Найти длину замкнутой кривой r asin3 .

Решение. Так как должно быть r 0, то sin3 3 0. Отсюда 0 3 .

При изменении от 0 до 32 длина радиус

– вектора r возрастает от 0 до а, а конец радиус – вектора описывает дугу ОАМВ. Затем при

изменении от 32 до 3 величина r убывает от

а до 0; при этом описывается дуга ВСАО, симметричная дуге ОАМВ относительно прямой

Теперь вычислим длину кривой: r ' asin2 3cos 3 .

r2 r '2		asin6	a2 sin4	cos		asin2	sin2	cos2	asin2 .
		3		3	3	3	3	3	3

3	2	d	a	3	cos	2		a	3	sin	2	3	3a	.

L a sin	3		2	1		3	d	2	2		3		2
0				0								0

Задания для решения в аудитории

1.Вычислить длину дуги кривой.

1.y2 x3, 0 x 1, y 0.

2.y2 x3, отсеченной прямой x 43.

2.Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах

1.r 1 cos .

2.r 1 cosa , 2 2.

3.Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически.

1.x cos5 t, 0 t .y sin5 t, 2

2. x 8sint 6cost,	0 t	.
y 6sint 8cost,		2

7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Ранее рассматривались определенные интегралы, соответствующие с геометрической точки зрения площадям замкнутых ограниченных областей (криволинейных трапеций). Расширим понятие определенного интеграла на случай неограниченной области. Такую область можно получить, либо приняв какой-либо из пределов интегрирования равным бесконечности, либо рассматривая график функции с бесконечными разрывами (то есть неограниченной). Рассмотрим отдельно каждый из указанных случаев.

	7.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
	(несобственные интегралы 1-го рода)
b	Пусть функция f(x) определена и непрерывна при х ≥ а. Тогда интеграл
	f (x)dx имеет смысл при любом b > a и является непрерывной функцией
a
аргумента b.
	b	f (x)dx , то его называют
	Если существует конечный предел lim
	b
	a

несобственным интегралом 1-го рода от функции f(x) на интервале [a, ) и

обозначают f (x)dx .

		b
Таким образом, по определению		f (x)dx lim	f (x)dx .
		b
	a	a

При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если же не существует конечного предела, несобственный интеграл не существует или расходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл 1 x2 .

	dx			b	dx		1	1		1
Решение.	1		lim	1		lim		lim	1		1	1.
		x2			x2
			b			b x		b b

Интеграл сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

xdx lim.

		b		x	2		b	2
Решение. xdx lim		xdx lim		x		lim	b		0	.
Решение. xdx lim		xdx lim		2		lim	2		0	.
0	b	0	b	2		b	2

Интеграл расходиться.

Повторим, что геометрической интерпретацией несобственного интеграла 1-го рода является площадь неограниченной области, расположенной между графиком y=f(x) , прямой х = а и осью Ох.

Замечание. Аналогичным образом можно определить и несобственные интегралы 1-го рода для других бесконечных интервалов:

f (x)dx

f (x)dx,

f (x)dx

f (x)dx .

lim

В частности, последний интеграл существует только в том случае, если

сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

Часто достаточно бывает только установить сходимость или расходимость

несобственного интеграла и оценить его значение.

Признак сравнения. Пусть 0 (x) f (x) при x [a, ). Тогда:

если интеграл

f (x)dx сходится, то сходится и интеграл (x)dx ;

если интеграл

(x)dx расходится, то расходится и интеграл f (x)dx .

Следствие.

Пусть f (x) 0, (x) 0

на [a, ),

(x) 0 x [a, ) и

существует конечный или бесконечный предел lim

f (x)

k , то:

(x)

а) если интеграл (x)dx

сходится и

0 k ,

то сходится и интеграл

f (x)dx ;

б) если интеграл

(x)dx расходится и 0 k , то интеграл

f (x)dx тоже

расходится.

Вчастности,еслиk =1,тоестьфункцииf(x) иφ(х) эквивалентныпри x

, то интегралы

f (x)dx и (x)dx сходятся и расходятся одновременно.

Приприменениипризнакасравненияудобносравниватьподынтегральную

функцию с функцией

, α > 0,

dx сходится при α > 1 и расходится при α

≤ 1.

Пример 3. Исследовать на сходимость 1

dx .

x2 5x 12

Решение. При x подынтегральная функция эквивалентна

. Таким

образом, α = 2 > 1, и данный интеграл сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость интеграла

(1 e

)

Решение.

Применим теорему сравнения,

при

по

которой если

x>a

выполнено условие 0 f (x) (x)

и если

(x)dx сходится, то

f (x)dx также

сходится. В нашем случае при х ≥ 1 справедливо неравенство

x2(1 ex )

Рассмотрим

lim

b dx

lim

Так

как

1 x2

сходится,

то

на

основании

теоремы сравнения

несобственный

интеграл

сходится.

(1 e

)

7.2. Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода

Несобственный интеграл f (x)dx называют абсолютно сходящимся,

						a

если сходится			интеграл		\|	f (x)\| dx . Функция	f(x) называется		при этом
					a
абсолютно интегрируемой на [a, ).
	Признак		абсолютной			сходимости несобственного			интеграла
(критерий Коши).

	Для того чтобы			f (x)dx абсолютно сходился,				необходимо и достаточно,
				a				что при ' , "
чтобы для любого				0	существовало такое		,	что при ' , "


	\| f (x)\|dx	.

Теорема. Если интеграл f (x)dx абсолютно сходится, то он сходится и в

обычном смысле.

7.3. Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами (несобственные интегралы 2-го рода)

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при a ≤ x < b и имеет разрыв

при x = b. Тогда b	f (x)dx определяется следующим образом:
a			b
	b	0	b
		0		f (x)dx
		f (x)dx lim		f (x)dx
	a		a

и называется несобственным интегралом 2-го рода. Если предел, стоящий справа, существует и конечен, интеграл называется сходящимся, в противном

случае – расходящимся.
Аналогичным образом	определяются			несобственные				интегралы от
		b			0	b
функции, имеющей разрыв при x a :					0		f (x)dx	и от функции,
функции, имеющей разрыв при x a :			f (x)dx lim				f (x)dx	и от функции,
разрывной в точке с (a<c< b):		a				a
разрывной в точке с (a<c< b):
b	f (x)dx с	f (x)dx b			f (x)dx ,
a	a			с

если существуют оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

Для несобственных интегралов 2-го рода справедливы те же утверждения, что и для несобственных интегралов 1-го рода:

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и φ(х) непрерывны при a x b и имеют разрыв при x = b. Пусть, кроме того, 0 (x) f (x) при x [a,b).

Тогда:

1) если интеграл b f (x)dx сходится, то сходится и интеграл b (x)dx ;

	a	a
2)	если интеграл b (x)dx	расходится, то расходится и интеграл b	f (x)dx .
	a	a

Теорема. Если f(x) – знакопеременная функция, непрерывная на [a,b) и

имеющая разрыв при x =b, и если b | f (x)|dx сходится, то сходится и интеграл

f (x)dx .

Замечание 1. При выполнении условий теоремы несобственный интеграл

f (x)dx называется абсолютно сходящимся, а функция f(x) –

абсолютно

интегрируемой.

Следствие.

при x b ,топри 1 b

Если f (x)

f (x)dx сходится,апри 1

расходится.

(b x)

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

1 x

Решение.

lim

1 x

a a 1

1 x

lim arctgx

0 limarctg

lim arctg0 arctga lim arctga arctg0

0 arctga 1 arctg 0

Интеграл сходится.

Пример 2. Найти несобственный интеграл

1 x2

Решение. Рассматривается несобственный интеграл 2-го рода, так как подынтегральная функция терпит разрыв на правом конце промежутка

						b		b
интегрирования. На основании определения							f (x)dx lim		f (x)dx,	если этот
							0
предел конечен.						a		a
предел конечен.
1	dx	1	dx	lim arcsinx	10 lim(arcsin(1 ) arcsin0)
		lim

	1 x2		1 x2
0		0 0		0	0
0		0 0		0	0

arcsin1 2.

										Задания для решения в аудитории
										Найти несобственный интеграл и исследовать на сходимость.

1.	xcosxdx .
	1
	1		3x			2	2
2.			3x				2			dx .
2.										dx .
	1		3			x2
	2
3.	x 2 dx .
	1					x 1

4.	x2 cosxdx .
	0
					dx
5.					dx			.
5.				x	2			.
	0			x			1

6.	4	sinxdx							.
6.	4								.
	0			x			x

Расчётно-графическая работа №1 «Неопределенный интеграл» Вариант № 1

Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:

1.	sin2x		2.	5x 7
		dx.			dx.
	4cos2 x 3
				x 2

3. 1 3dx2 x .

5.xx2 31dx.

7.5 3cosdx x .

9.			dx				.
9.	x3 2 x3						.
	x3 2 x3
11.			2x2		dx.
11.					dx.
			x6 9
13.				x 2						dx.
13.			(x 2)(x			2		2x	4)	dx.
			(x 2)(x					2x	4)
15. x3 tgx4 dx.
17. 1 sin2x 2 dx.
19.		1 tgx		dx.
19.		1 tgx		dx.
		1 tgx

4.8ctg2x sindx2 2x .

6.xe 2x dx.

8.4 1 e2x e2x dx.

10. x2 cos2x dx.

12.				4x 5		dx.
		x	2	6x 7

14. arcsinxdx.
				2
16.				x 5x 1
							dx.
	(x 1)(x2				2x 4)

18. sin3xcos2x dx.

20. ln(3x 89)dx .

Вариант № 2

Найти интеграл, выбрав самостоятельно метод решения:

1.x 2x2 5 10 dx.

3.x3 ex dx.

5. x2 cos x dx.

cos5 x 7. sin3 x dx.

9. tg8xdx.

2. 3xx 15dx.

4.1 3dxx 1.

6.sin5x cosx dx.

x3 3x

8.x 2 2 x 5 dx.

10. x4 2x2 lnx dx.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]