Интегральное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6. Интегралы вида R(x, a2 x2 )dx .

Берутся подстановкой x a tgt , тогда

t arctgx ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

779 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

		1						1					1	2					1				1						5t 1						2			2		1
		1						1					1	2					1				1						5t 1						2			2		1
					ln	t				t										C							ln						t						t		C
			5		ln	t		5		t			5				100			C				5			ln				5		t					5	t	20	C
2			5					5					5				100				2			5							5							5		20
				1					1				5			1			1			1			2				2			1			1
																1
															x		2
	t										ln				x		2																					C
	t		x	2					2 5		ln					5													5		x		2	20				C
			x	2					2 5							5						x 2							5		x		2	20
		1			ln		x 3					20 8(x 2) 20(x 2)2																C


			5				5(x 2)											20(x 2)2
2			5				5(x 2)											20(x 2)2
		1			ln		x 3				2		5x2 18x 21									C				1				ln		x 3				25x2 90x 105						C .
		1					x 3				2		5x2 18x 21													1						x 3				25x2 90x 105
			5			5(x 2)							2		5(x 2)										2			5									5(x 2)
2			5			5(x 2)							2		5(x 2)										2			5									5(x 2)

При интегрировании некоторых иррациональных выражений используются тригонометрические подстановки.

Интегралы вида R(x, a2 x2 )dx .

Берутся подстановкой

x a sint , тогда

t arcsin x ,

a2 x2 a cost ,

dx a costdt .

Пример 6. Найти интеграл

9 x2dx .

Решение.

x 3sint

9 x2 dx

9 (3sint)2

3cost dt 3

9 9sin2 t

dx 3costdt

cost dt 3

9cos2 t cost dt 9 cost cost dt 9 cos2 t dt

(1 cos2t)dt

sin2t C 4,5t 2,25sin2t C

arcsin

4,5arcsin

2,25sin 2arcsin x C .

dx cosadt2 t .

Пример 7. Найти интеграл	x dx
		.
	13 x2

x dx

x 13tgt,

13dt

Решение.

cos2 t

13 x2

13 x

13 (

13tgt)

1 tg

cost

13tgt

13dt

sint dt

cos2 t

13 cos 2 t d

(cost)

cost

cos

cost

13sect C

t arctg

13sec arctg

C .

Интегралы вида R(x,

x2 a2 )dx .

a cos t

Берутся подстановкой

, тогда

t arcsin a

x2 a2

sint

dx asincos2 ttdt .

Пример 8. Вычислить интеграл

x2 7

Решение.

Применяя подстановку x

, получим

7cost

sint

sin2 t

7cost

7ctg

sint

sin2 t

7cost

Тогда

sin

2 t

sint dt

cost C

x2 7

7cost

sint

t arcsin

cos arcsin

C .

8. Интегралы от дифференциального бинома xm (a bxn )p dx .

Берутся в трёх случаях:

1) если p целое число, тогда данный интеграл сводится к интегралу от

рациональной функции с помощью подстановки x t s , где s – наименьшее общее кратное знаменателей m и n;

2) если m 1 целое число, то интеграл решается заменой a bxn tS , где n

s – знаменатель дроби p ;

3)если

m 1

p целое число, тоинтегралрешается заменой ax n

b ts

, где s – знаменатель дроби p .

Пример 9. Найти интеграл

x 4 x 1

Решение. Подынтегральную функцию запишем в виде

, где

1 , n

1, p 10, a 1, b 1.

Так как

p 10 – целое число, то данный

интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью

подстановки x t4 , где s 4

– наименьшее общее кратное чисел m 2

и n 4.

Тогда dx 4t3dt

и искомый интеграл примет вид

1 x4

dx (t4)

1 (t4)4

4t3dt

x 1

1 t

4 t 2(1

t) 10t3dt 4

dt 4 (1 t) 101dt

(1 t)

4 (1 t) 9dt 4 (1 t) 10dt 4

(1 t) 8

(1 t) 9

4 x

C .

2(1 t)8

9(1 t)9

2(1 4

x)8

9(1 4

x)9

Пример 10. Найти интеграл

x3dx

(6 x2) 6 x2

Решение.

Подынтегральную

функцию

запишем

виде

x3 6 x2

, где m 3, n 2,

p 3

, a 6, b 1

(6 x2) 6 x2

(6 x2)3

m 1

Так как

p 3

не является целым числом, то вычислим величину

3 1

Получим

2 – целое число, тогда интеграл решается заменой

6 x2

t2 , где

p 3.

s 2 – знаменатель дроби

2xdx 2t dt ,

Дифференцируя

выражение 6 x2 t2 ,

получим

то есть

xdx t dt . Учитывая, что x2

6 t2 , имеем:

x3 6 x2

2 dx x2 6 x2

2 x dx (6 t2)(t2)

2t dt

(6 x2)

6 x2

(t2 6)t 2dt

(1 6t 2)dt

t 6 t 1 C

t 6 x2

6 x2

C .

Пример 11. Найти интеграл

1 x2

Решение.

Подынтегральную

функцию

запишем

виде

x 4(1 x2)

, где m 4, n 2,

1 , a 1, b 1. Так как

p 1

1 x2

m 1 4 1 3

не являются

целыми

числами, то найдём

значение

m 1

2. Оно является целым числом, поэтому интеграл решается

– знаменатель дроби p 1 .

заменой x 2

1 t2, где s 2

Дифференцируя выражение x 2

1 t2, получим

2x 3dx 2t dt ,

то есть

x 3dx t dt . Тогда:

x 4(1 x2)

dx x 4(x2

(x 2 1))

dx x 4x 1(x 2 1)

1 x2

x 5(x 2 1)

dx x 2(x 2 1)

x 3dx (t2 1)t 1t dt (1 t2)dt

x2 1

x 2

x32x3 1(3x2 x2 1) C (2x2 31x)3 x2 1 C .

Задания для решения в аудитории

Найти интеграл.

	1.					xdx			.
	1.								.
						5 2x
2.				1		6 x		dx.
2.		(1			3	x) x		dx.
		(1				x) x
3.				dx				.
3.	x2		10x 15					.
	x2		10x 15
5.	x2				4 x2 dx.
6.			x3dx				.
6.							.
			x2 2

		7.			x2 16									dx .
		7.												dx .
							x
					3.7. Интегрирование некоторых показательных функций
	R(ex )dx находится подстановкой ex t , тогда x lnt ,																																																dx dt .
																																																										dt				t
	R(ax )dx подстановкой																										ax			t , тогда x loga t																				, dx								dt			.
	R(ax )dx подстановкой																										ax			t , тогда x loga t																				, dx						t lna					.
																													3x	dx																										t lna
																													3x
Пример 1. Найти интеграл																												e							.
Пример 1. Найти интеграл																												x							.
																										3e				4							dx dt
Решение. Пусть ex t , тогда x lnt ,																																					dx dt						. Получим:
																																									t							16					16
										3		dt																																		2		16					16
	e3xdx								t											t2dt									1					t2							1				t
																																																	9					9
													t																									dt											9					9				dt
		x																				4															4	dt											4									dt
	3e 4								3t				4									4							3								4				3								4
																			3 t													t															t
																																					3														3
																						3															3														3
						4									4
	1		t					t												16		1												1						4							16								4					1		t2		4
			t			3		t							3
						3									3												dt
																																						t				dt								ln		t													t
	3										4									9					4									3				t		3		dt					27			ln		t			3					3		2		9	t
	3					t					4									9	t				4									3						3							27								3					3		2		9
						t					3										t			3
											3													3
	16 ln			t		4				C							t ex						1e2x									4ex							16 ln					ex 4						C .


	27					3																	6									9							27								3
	27					3																	6									9							27								3
Пример 2. Найти интеграл																											3x dx						.
Пример 2. Найти интеграл																															x		.
																										1 9
Решение. Пусть 3х																		t,тогда x												lnt						, dx							dt			.
																														ln3											t	ln3															1
3x dx					3x dx														tdt										1							dt					1			arctgt						C							1		arctg3				x	C.
1 9x				1 32x												t ln3(1 t2)												ln3						t2			1			ln3				arctgt						C					ln3				arctg3					C.

Заключительные замечания:

1.Нахождение неопределённых интегралов основывается на сведении интеграла к табличным интегралам. Чем больше таблица интегралов, тем проще нахождение интегралов.

2.Если интеграл найден разными методами, то ответы получаются в разных формах, но можно доказать, что они отличаются друг от друга только на постоянное слагаемое (см. теорему о двух первообразных).

3.Изложенные методы интегрирования не всегда позволяют найти интеграл. В ряде случаев интеграл не может быть найден в силу того, что подынтегральная функция не имеет первообразной, которая выражается через элементы функции с помощью действий сложения, вычитания и т. д. Такие

интегралы называются неберущимися, их можно находить приближённым методом (см. разделы «Ряды», «Численные методы»).

Кнеберущимся интегралам относятся:

Интеграл Пуассона: e x2dx .

Интегральный синус: sinx x dx .

Интегральный косинус: cosx x dx .

Интегральный логарифм: lndxx .

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. 1. Основные определения

Для избранного разбиения отрезка a, b на части обозначим через

max xi ,	максимальную из длин	отрезков xi 1, xi , где	i 1, 2, ..., n .
i
Величину	иногда называют параметром разбиения.
Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно
возрастает таким образом, что величина стремится к нулю.
	b
Определенным интегралом I f (x)dx от функции f (x)			по промежутку
	a
a, b называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом
процессе, если предел существует: I		lim σ.
	n ; 0

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка a,b и выбора точек ci .

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b верхним пределом интегрирования.

Кроме того, определение определенного интеграла дополняется следующими утверждениями:

1) a	f (x)dx 0;	2) a	f (x)dx b		f (x)dx.
a		b		a
Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция
интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем.
Замечание. Условие ограниченности функции является необходимым, но
не достаточным условием интегрируемости.
Рассмотрим		фигуру,		ограниченную		графиком	непрерывной,
неотрицательной на промежутке				a,b	функции	f (x), отрезком	a, b оси X и
прямыми	x a, x b . Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На
рисунке 1	криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой

трапеции определяется формулой S I f (x)dx .

y=f(x

Рис. 1

Если f (x) 0 во всех точках промежутка a, b и непрерывна на этом

промежутке (например, как изображено на рисунке 2), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком a, b горизонтальной оси

координат, прямыми	x a, x b и графиком функции			y f (x), определяется
b
формулой S f (x)dx .
a
		y
		а	b
			x
		y=f(x)
		Рис. 2
	1. 2. Свойства определенного интеграла
b	b	x dx (здесь k – произвольное число), т. е. постоянный
1) kf x dx k f		x dx (здесь k – произвольное число), т. е. постоянный
a	a

множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

b	b	b
2)	f x g x dx	f x dx g x dx , т. е. определенный интеграл от
a	a	a

суммы функции равен сумме определенных интегралов от слагаемых.

b	a	f x dx , т. е. при перестановке пределов интегрирования
3)	f x dx	f x dx , т. е. при перестановке пределов интегрирования
a	b

определенный интеграл сохраняет свою абсолютную величину, но меняет свой знак на противоположный.

	b	c	b
4) Если c a, b , то f		x dx	f x dx f x dx .
	a	a	c					b
Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда c a,								b
			b	c	c	c	b
. Пусть, например, с b . В этом случае верны равенства							.
Свойство монотонности			a	a	b	a	c
Свойство монотонности
1. Пусть функция	y f (x) неотрицательна на a, b и интегрируема на
b
нем, b a f (x)dx 0.
a	y f (x) 0		на a, b , исключая конечные точки,					и
2. Пусть функция	y f (x) 0		на a, b , исключая конечные точки,					и
интегрируема на a, b , тогда		b
интегрируема на a, b , тогда		f (x)dx 0.

Две функции y f (x) и y (x), заданные на a, b , значения которых различны на a, b лишь в конечном числе точек называются эквивалентными

на этом отрезке.

3. Интегралы от эквивалентных функций совпадают.

Пусть f (x) и (x) эквивалентны и интегрируемы на a,b , тогда

b f (x)dx b (x)dx (они не совпадают, а интегралы совпадают).

f (x) (x)

на a, b , f (x) и (x) интегрируемы на a, b ,

b a ,

4. Пусть

то b

f (x)dx b (x)dx .

y f (x)

интегрируема на a, b модуль

5. Пусть

функции

тоже

интегрируем на a, b и справедливо неравенство:

f (x)dx

f (x)

dx .

6. Если т и М – наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на

отрезке a, b ,

a b,, то M b a f (x)dx т (b a).

7. Теорема о среднем.

Пусть y f (x) непрерывна на отрезке a, b ,

b a , то существует такое

значение a, b , что b

f (x)dx f ( )(b a).

С геометрической точки зрения теорема о среднем означает, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника, основание

которого совпадает с основанием трапеции a, b ox , а высота равна значению функции f x в некоторой точке отрезка a, b .

Величина	1	b	f x dx называется средним значением функции

	b a a
f x на отрезке a, b .

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА

Пусть функция f (t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно

поставить в соответствие число	x	f t dt , определив тем самым на
поставить в соответствие число	I x	f t dt , определив тем самым на
	a

промежутке функцию I (x), которая называется определенным интегралом с

переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента x :

			x x	x
I I (x x) I (x)			f (t)dt f (t)dt
			a	a
x	x x		x	x x
f (t)dt		f (t)dt f (t)dt			f (t)dt.
a	x		a	x

Как показано на рисунке 3, величина последнего интеграла в формуле для приращения I (x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной

штриховкой. При малых величинах x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными), эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой.

y=f(x)

а x x+∆x x

Рис. 3

Площадь прямоугольника определяется формулой f (x) x . Отсюда

x x

получаем соотношение I (x) f (t)dt f (x) x .

				x
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше,
чем меньше величина x .
Из сказанного следует формула для производной функции I (x):
	I x	lim		f x x	f x .

I x lim	x			x
x 0			x 0			непрерывна на отрезке a, b , то
Теорема Барроу:			если функция f x

производная определенного интеграла как функции его верхнего предела равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования

x
x		f x .
	f t dt	f x .
a
	Изтеоремыследует,что x		f t являетсяпервообразнойдляфункции	f x

,причемтакойпервообразной,котораяпринимаетвточке x a значение,равное нулю.

3. ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА

Пусть функция y f (x) непрерывна на отрезке a, b и F(x) – любая первообразная для f (x) на a, b . Тогда определенный интеграл от функции

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]