Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

779 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Найти интеграл

1.		x	3		dx.

		x 1

2.			dx					.
		(3x				1)	2

3.			3xdx
										.
		x2	3x 7
4.				dx							.
	9x2 6x 1
5.		2x 1
									dx.
		x2	x 2

2x2 13x 18

6.x3 6x2 9x dx .

7.21 4dxx x2 .

8.x3 64 dx .

3.5.Интегрирование тригонометрических функций

1.Интегралы вида R(sin x,cos x)dx , где R – рациональная функция.

Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных

функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg

. В результате подстановки имеем:

sin x

cosx

1 t2

x 2arctgt ,

2dt

1 t2

Главным недостатком универсальной тригонометрической подстановки

является то, что её применение приводит к сложным вычислениям.

Пример 1. Найти интеграл

cosx dx

7 3cosx 5sin x

Решение. Подынтегральная функция является рациональной от функций

sinx

и cosx .

Тогда

применим

подстановку

t ,

где

sinx

1 t2

2dt

cosx

1 t2

1 t

cosx dx

2dt

(1 t2)dt

1 t

3cosx 5sin x

(1 t

)(7 7t

3 3t

10t)

2				(1 t2)dt					(1 t2)dt				1			(1 t2)dt			I .
	(1	t	2	)(4t	2	10t 10)	(1	t	2	)(2t	2	5t 5)	2	(1 t	2	)(t	2	2,5t 2,5)

Полученную рациональную дробь представим в виде суммы двух простейших

дробей

1 t2

At B

Ct D

. Тогда

(1 t2)(t2

2,5t 2,5)

1 t2

t2 2,5t

2,5

At3 2,5At2 2,5At Bt2 2,5Bt 2,5B Ct Ct3

D Dt2 1 t2 .

A C 0,

B 2,5C D 1,

2,5A B D 1,

2,5B 1,5C

2,5A 2,5B C 0,

2,5B

D 1,

2,5B D 1,

B 2,5C

D 1,

B 2,5C

4,75C 2,5D 2,5,

6,25C 1,5D 3,5,

6,25C 1,5D

3,5,

B 2,5C

4,75C 2,5D 2,5,

D 2

17C

10,

1 t2

Тогда

(1 t

2)(t2 2,5t 2,5)

1 t2

2 2,5t 2,5

Применим формулу интегрирования рациональной дроби:

Cx D

px q

2D Cp

2x p

C .

2 ln

arctg

x2 px q

4q p2

10t 7

5t 1

2t dt

1 t

2,5t 2,5

5t 1

arctgt

2,5t 2,5

2,5t

2,5

1,41715 arctg4t155 C .

Возвратимся к прежней переменной, полагая t tg 2x . Получим:

cosx dx				5					2	x	1	7						x			5				2		x	2,5tg		x	2,5
cosx dx				5					2	x		7						x			5				2		x			x
							ln	tg						arctg tg								ln	tg
7 3cosx 5sin x				34			ln	tg		2		17		arctg tg							34	ln	tg			2				2
7 3cosx 5sin x				34						2		17						2			34					2				2
1,4 15 arctg	4tg	x	5
	4tg	2	5		C или
		15			C или
17		15
cosx dx				5		ln		tg	2 x		1		7x		5	ln	tg		2 x		2,5tg			x		2,5
cosx dx				5					2 x				7x		5				2 x					x
7 3cosx 5sin x				34						2		34			34					2				2
1,4 15 arctg	4tg	x	5
	4tg	2	5		C .
		15			C .
17		15													R(sinx, cosx)dx
В некоторых				случаях						интеграл					R(sinx, cosx)dx										можно				привести к

рациональному виду с помощью других подстановок:

а) Если R(sin x, cosx) – нечётная функция относительно sinx, то есть R( sin x, cos x) R(sin x, cos x), то интеграл рационализируется подстановкой cosx t .

Пример 2. Найти интеграл sin x sin3 x dx . cos2x

Решение. Так как подынтегральная функция нечётна относительно синуса,

то полагаем						cos x t .						Отсюда									sin2	x 1 t2,								cos2x 2cos2							x 1 2t2 1,
dt sinxdx. Таким образом,
	sin x sin3						x	dx				(1 sin2 x)sin x dx													(2 t2)( dt)								(t2 2)dt
		cos2x						dx						cos2x												2t		2	1					2t	2	1
		cos2x												cos2x												2t			1					2t		1
	1			2t2 4					1						3							1			3			dt			1		3				1
							dt					1							dt				t									t
	2			2t	2	1	dt		2			1		2t	2				dt			2	t		4		2			1	2	t	4					1
	2			2t		1			2					2t		1						2			4	t	2			1	2		4	2				1
						1																				t				2				2			2
																														2							2
			t								1			3						t 2 1
ln			t			2	C					t					ln							C .
						2
			t			1				2			4		2					t 2 1
						1				2			4		2					t 2 1
						2
Возвратимся к прежней переменной, полагая t cosx :
	sin x sin3						x			1						3						2cosx 1
		cos2x						dx			2cosx										ln							C .
		cos2x						dx			2cosx					4		2			ln	2cosx 1						C .
б) Если						R(sin x, cosx)								–	нечётная функция относительно																					cosx , то есть

R(sin x, cosx) R(sin x, cosx), то интеграл рационализируется подстановкой

sinx t .

в)Если R(sin x, cos x) –чётнаяфункцияотносительно sin x, cos x ,тоесть R( sinx, cosx) R(sinx, cosx), то интеграл рационализируется подстановкой

tgx t , тогда sin x	t	, cosx	1	, x arctgt,	dx		dt	.
	1 t2		1 t2			1	t2

Пример 3. Найти интеграл 1 cosdx 2 x.

Решение. Так как подынтегральная функция чётная относительно cosx , то

воспользуемся подстановкой

tgx t , тогда cos2

tg x

arctg

1 cos2 x

2 t2

) 1

1 t

2. Интегралы вида sinm x cosn xdx , где m и n – целые числа.

а) Один из показателей (m или n ) – нечетный положительный, тогда от функции, показатель которой нечётный, отделяется множитель первой степени, который подводится под знак дифференциала, то есть cosx dx d(sinx) или

sin x dx d(cosx).

Пример 4. Найти интеграл I sin8 x cos3 xdx.

Решение. Так как подынтегральная функция нечётная относительно

косинуса, то I sin8		x cos3 x dx sin8 x cos2 x cosx dx
sin8	x (1 sin2 x)d (sin x) (sin8 x sin10 x)d (sin x)
sin9 x	sin11 x	C .
9	11

б) m и n – чётные неотрицательные числа. Тогда для преобразования подынтегральной функции используются формулы понижения степени:

sin2 x 12(1 cos2x), cos2 x 12(1 cos2x), sin x cosx 12sin2x .

Пример 5. Найти интеграл cos4 5x sin2 5xdx.

Решение. Так как подынтегральная функция чётная неотрицательная, то

cos			4	5xsin			2	1				2			1	(1	cos10x)dx					1	1 2cos10x
cos				5xsin				5x dx		(1 cos10x)					2	(1	cos10x)dx					8	1 2cos10x
								2							2							8
cos210x)(1 cos10x)dx											1	1 cos10x cos210x cos310x dx
	1				1						8							1		1
	1				1	sin10x cos			2	10x dx cos			3					1		1
		x												10x dx					x		sin10x
	8	x			10									10x dx				8	x	80	sin10x
	8				10													8		80

161 (1 cos20x)dx 18 cos210x cos10x dx 18 x 801 sin10x 161 x

3201 sin20x 801 (1 sin210x)d(sin10x) 161 x 801 sin10x 3201 sin20x

1	sin10x	1	sin310x	C		1	x	1	sin20x	1	sin310x C .
80		80			16			320		240
			3

в) m и n –числалибообачётные,либообанечётные,причемхотябыодно

из них отрицательное. В этом случае используется подстановка

tgx t (или

ctgx t ). Тогда dx

, cos2 x

1 t2

tg2 x

sin2 x sin2 x

cos2

x tg2 x cos2 x

cos2 x

Пример 6. Найти интеграл

sin

dx.

cos

tgx t,

sin2x

1 t2

Решение.

sin

1 t2

cos

1 t

cos2x

1 t2

t2dt t3

C 1tg3x C .

г) Если одно из чисел m или n равно нулю, то применяются

рекуррентные формулы:

sinm x dx m1 cosxsinm 1 x mm 1 sinm 2 x dx ,

cosn x dx 1n sin x cosn 1 x nn 1 cosn 2 x dx .

Пример 7. Найти интеграл cos3 6x dx .

Решение. cos3 6x dx 13sin6x cos2 6x 23 cos6x dx 13sin6x cos2 6x

23 16sin6x C 13sin6x cos2 6x 19sin6x C .

Остальные варианты требуют самостоятельного подхода в каждом случае.

3. Интегралы вида sinmxcosnxdx , cosmx cosnxdx , sinmxsinnxdx .

Для рационализации подобных интегралов используют следующие формулы тригонометрии:

sin cos 12(sin( ) sin( )), cos cos 12(cos( ) cos( )), sin sin 12(cos( ) cos( )).

Пример 8. Найти интеграл sin4x cos3xdx.

Решение. Воспользуемся формулой sin cos 12(sin( ) sin( )),

получим sin4x cos3x 12(sin(4x 3x) sin(4x 3x)), то естьsin4x cos3xdx 12 sin7x sin x dx cos714 x cos2 x C.

4. Интегралы вида R(tgx)dx .

Используется подстановка tgx t , тогда x arctgt ,

1 t2

tg32x dx

Пример 9. Найти интеграл

tg2x 8

tg2x t

Решение. tg

2x dx

x 1arctgt

1 t2

dt I .

t 8

8)(1 t

)

tg2x 8

dx 1

Представим подынтегральную

функцию

(t 8)(1 t2)

t3 8t2

t 8

виде суммы простейших дробей, предварительно выделив целую часть:

t3								t3 8t2 t 8
t3								t3 8t2 t 8
	t3 8t2 t 8						1
							1
	8t2 t 8
Тогда						t3							1		8t	2 t 8			,
Тогда		(t 8)(1 t2)											1		(t	8)(1 t2)			,
		(t 8)(1 t2)													(t	8)(1 t2)
	8t2 t 8								A				Bt C				A(t2 1) (Bt C)(t 8)										,
								t		8				1 t2				(t 8)(1 t2)									,
	(t 8)(1 t2)							t		8				1 t2				(t 8)(1 t2)
																							512
																				A						,
t 8			65A												512,					A			65			,
t 8			65A												512,								65
t 0												8C 8,											1
						A														C				,
						A														C			65	,
t 1						2A			7B 7C 15.														65
t 1						2A			7B 7C 15.														6
																							6
																				B				.
																				B			65	.
																							65
			512						6		t		1
																		512			3				2t dt			1	dt
					65				65				65


	I 1								1 t				2		dt	t		65	ln	t 8
				t 8												t						65			1 t2			65	1 t2
				t 8																		65			1 t2			65	1 t2

t 512ln	t 8	3	ln		1 t2			1	arctgt C .



65		65						65
65		65						65
Полагая t tg2x , получим:
tg32x dx		512							3								2				1	arctg tg2x C
tg32x dx		512							3								2				1
tg2x 8 tg2x		65		ln		tg2x 8						ln		1 tg				2x
				ln		tg2x 8				65		ln		1 tg				2x			65
										65											65
tg32x dx				512							3								2				2
tg32x dx				512							3								2				2
или tg2x 8 tg2x					65 ln		tg2x 8								ln	1 tg				2x				x C .
							tg2x 8						65		ln	1 tg				2x			65
													65										65

5. Интегралы вида tgm xdx, ctgm xdx , где m – целое положительное число.

Учитывается, что tg2x sec2 x 1 и sec2 x dx d(tgx) или ctg2x cosec2x 1 и cosec2x dx d (ctgx).

Пример 10. Найти интеграл ctg6(2x 7)dx .

Решение. ctg6(2x 7)dx ctg4(2x 7)ctg2(2x 7)dx ctg2(2x 7) cosec2(2x 7) 1

cosec2(2x 7)dx 12d(ctg(2x 7))

ctg4(2x 7)(cosec2(2x 7) 1)dx ctg4(2x 7)cosec2(2x 7)dx

ctg	4	(2x 7) dx ctg	4		1
ctg		(2x 7) dx ctg		(2x 7)	2	d(ctg(2x 7))
					2

ctg2(2x 7)ctg2(2x 7)dx 12 ctg4(2x 7)d(ctg(2x 7))

ctg2(2x 7)(cosec2(2x 7) 1)dx 1 ctg5(2x 7) 2 5

12 ctg2(2x 7)d(ctg(2x 7)) ctg2(2x 7)dx 101 ctg5(2x 7)

1 ctg3(2x 7) (cosec2(2x 7) 1)dx 1 ctg5(2x 7) 1ctg3(2x 7) 2 3 10 6

cosec2(2x 7)dx dx					1		ctg5(2x 7) 1ctg3(2x 7)
cosec2(2x 7)dx dx				10			ctg5(2x 7) 1ctg3(2x 7)
				10			6
	1 d(ctg(2x 7)) x x		1			ctg5(2x 7) 1ctg3		(2x 7) 1ctg(2x 7) C .
	1 d(ctg(2x 7)) x x					ctg5(2x 7) 1ctg3		(2x 7) 1ctg(2x 7) C .
	2	10					6	2
	6. Интегралы вида tgm x secn xdx или ctgm x cosecn xdx , где n – целое
положительное чётное число.							sec2 x 1 tg2x	и sec2 x dx d(tgx), или
	Тогда учитывается,	что					sec2 x 1 tg2x	и sec2 x dx d(tgx), или

cosec2x 1 ctg2x и cosec2x dx d (ctgx).

Пример 11. Найти интеграл tg135x sec2 5x dx .

Решение. tg135xsec2 5x dx

sec2 5x dx 1d(tg5x)

tg13

5x d(tg5x)

tg145x

tg 5x C .

7. Интегралы вида sec2n 1 xdx

или cosec2n 1xdx .

Используются рекуррентные формулы:

sec2n 1 xdx

sin x

) sec2n 1 xdx ,

cos

cosec2n 1xdx

cosx

) cosec2n 1xdx .

sin

Задания для решения в аудитории

Найти интеграл.

1. cosx sin x dx. sin2x

2. sin2 3xdx.

3. sin3 x dx. cos4 x

4.cos137 x cos23 x dx .

5.cos7 x dx .

6.tg5x sec6 x dx .

3.6.Интегрирование иррациональных выражений

1.Интегралы вида R(x,n ax b)dx .

Берутся подстановкой ax b t

, где x

b),

n 1

dt .

xdx

Пример 1. Найти интеграл

2x 1

Решение. Воспользуемся подстановкой

t 3

2x 1,

(t3

1),

dx= 32t2dt.

		x dx	1	(t3	1)	3	t2dt	3				3			5	t	2
			2			2
Получим									(t	4	t)dt		t					C
	3	2x 1			t			4				4		5		2

403 t2(2t3 5) C t 3 2x 1 403 3 (2x 1)2 (4x 3) C .

2. Интегралы вида	R(x, x ,			x , ..., x )dx ,		где	, , ..., –
рациональные дробные числа.
Интеграл находим с помощью подстановки x tn , где n							– наименьший
общий знаменатель дробей ,	, ...,		. Тогда dx ntn 1dt,			t n x.
Пример 2. Найти интеграл			3 x dx		.
Пример 2. Найти интеграл		3	x2	x	.

Решение. В данном интеграле перейдём к степенным функциям:

1 .

x dx

, где

3 x2

x3 x2

Наименьший общий знаменатель дробей

;

равен 6.

Полагаем n 6, тогда x t6,

dx 6t5dt, t 6

x .

t2 6t5dt

t4dt

4 1)

x dx

t 1

3 x2 x

3 x2

1)(t 1)(t

1)(t

t 1

dt 6ln

t 1

6 (t

t 1)dt 6ln

t 1

t 6ln

x 4 2 6

x 3

3 6

x 2

1,5t4 2t3 3t2

6t 6ln

t 1

t 6

1,5 6

x 6ln

x 1

C 1,53

x2 2

x 33

x 66

x 6ln

x 1

C .

3. Интегралы вида

ax2

bx c

Под корнем выделяется полный квадрат, тогда:

а)

при

значении

а 0

данный

интеграл

сводится

интегралу

d t

, где t

4ac b2

;

at 2 k

б) при значении а 0 данный интеграл сводится к интегралу

d t

arcsin

, где t

b2 4ac

t 2

Пример 3. Найти интеграл

x2 6x 5

Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

x2 6x 5 x2 2 3x 9 4 x 3 2 4.

x 3 t

dx dt

x2 6x 5

(x 3)2 4

t2 4

t x 3

x 3 x2 6x 5

C .

Пример 4. Найти интеграл

3 6x 9x2

Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

		3 6x 9x											2								2					2				x					1				9											2			2x			1					1			2						1 2			1
		3 6x 9x													9 x															x									9						x								2x
																										3									3																					3					3									3			3
																										3									3																					3					3									3			3
													1				2	4											2						2										1		2
													1					4											2																1								. Тогда
		9						x															9																x														. Тогда
													3					9											3																3
													3					9											3																3																					1
										dx																										dx																		1						x						1
																																																												x						3

																																																				3arcsin																	C
					3 6x 9x2																							2						2										1		2						3arcsin											2						C


																						9														x																											3
												3x 1																3																3
					1arcsin							3x 1						C .
					1arcsin													C .
					3									2																							Mx N
		4. Интегралы вида																																			Mx N																		dx .
		4. Интегралы вида																									(x p)																												dx .
																											(x p)													ax2 bx c
		Берутся подстановкой x p																																						1,				x				1				р, dx													1		dt , t					1				.
		Берутся подстановкой x p																																						1,				x					t			р, dx											t2				dt , t				x р					.
																																									t								t														t2								x р
		Пример 5. Найти интеграл																																																dx									.
		Пример 5. Найти интеграл																																				(x 2)												x2				4x 8					.
		Решение. Введем подстановку x 2 1																																																		, тогда,					x						1			2, dx								1		dt .
		Решение. Введем подстановку x 2 1																																																		, тогда,					x							t		2, dx							t2			dt .
																																					1														t													t									t2
						dx																															1			dt																														dt
																																								dt
																																					t2
(x 2) x2 4x 8																				1 1																2						1																			1							4			4
																								(								2)								4(				2) 8														t												4			8				8
																				t				(		t						2)								4(		t		2) 8														t			t2								t	4	t		8				8
							dt													t						t			dt													t													dt						t2								t		t		dt
							dt																						dt																										dt																		dt
	t			1					8	20												1 8t 20t2																												20t2 8t 1																				20 t	2			2	t				1
																			t																																																							2
					2
					2
	1		t						t									dt													t	2													1											dt																		5				20
	1																	dt																											1											dt
	20										2		2			t		1								1								1									2 5													1 2									1
								t																																														t
													5												25								20
																																																														100
																		25																																						5						100

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]