Естественный размерный эффект на поверхности полупроводников. Учебное пособие

различия в зависимости величинδU и δUeff от диэлектрического отклика полупроводника. С учетом условия ε >> 1 очевидно, что при локализованном поверхностном заряде δU(ε) ~ ε–3/4. На проводящей поверхности соответствующая зависимость существенно слабее (~ ε–3/4). В контакте металл–полупроводник зависимостьδUeff отдиэлектрическойпроницаемостиполупроводника оказалась наиболее сильно убывающей: δUeff (ε) ~ ε–3/2. Последний факт позволяет значительно нивелировать рассматриваемые неоднородностибарьеравконтактеприиспользованииполупроводниковых материалов с диэлектрической проницаемостью ε >> 10.

Г л а в а 11

ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКА

Определяющим параметром, характеризующим экранирующую способность делокализованного двумерного электронного газа, является плотность поверхностных состояний. С точки зрения диэлектрического отклика поверхности в области низких температур имеет значение величина плотности электронных состояний на уровне Ферми. Для наиболее типичного случая параболическойзависимостиэнергииносителейвповерхностнойзоне отимпульсаплотностьсостоянийотэнергиинезависитлокально, однако наличие конечного по величине хаотического потенциала на поверхности данная зависимость появляется для системы

вцелом: от характера распределения потенциала имеет место так называемый «хвост плотности состояний», энергетическая длина которого по большей части определяется величиной амплитуды хаотического потенциала, т. е. величиной δU). При закреплении уровняФерминаповерхностивхвостеплотностисостоянийэкранирующаяспособностьдвумерногоэлектронногогазаослабляется

всилу частичной локализации этих состояний. Данный факт приводит к увеличению амплитуды хаотического потенциала и соответствующему изменению плотности поверхностных состояний.

81

Таким образом, хаотический потенциал на поверхности полупроводника и плотность поверхностных состояний находятся во взаимосвязи и должны определяться совместно и самосогласованно.

Плотность поверхностных состояний для структурно идеальной двумерной электронной системы проще всего определить для квазинепрерывного спектра. Согласно общим представлениям число электронных состояний на единице поверхности, приходящихся на слой элементарной ширины в импульсном пространстве p÷ p+dp, равноотношениюплощадиэтогослоякразмеруячейки ∆Γ =(2π )2, содержащей два состояния, которые могут заполняться только двумяэлектронамисразличнымиориентациямиспина.Дляпараболического закона дисперсии (зависимости энергии электрона от его импульса) E (p)= p2 2m расчет приводит к известному результату: при отсутствии долинного вырождения для структурно идеальной поверхности плотность электронных состояний не зависит от энергиииполностьюопределяетсяэффективноймассойносителей в поверхностной зоне m*. Явное выражение для плотности поверхностных состояний в указанных условиях имеет вид (11.1)

Подстановка в (11.1) m* равной массы покоя электрона дает для плотности состояний 5 . 1014 cм–2эВ–1. И если энергетическая ширина разрешенной поверхностной зоны составляет порядка 1 эВ, то полное количество уровней в ней на единице площади поверхности действительно оказывается сравнимо с поверхностной концентрацией атомов на поверхности твердого тела.

Расчет плотности поверхностных состояний при наличии хаотическогопотенциаланаповерхностилегированногополупроводника проведем квазиклассически [43]. Согласно приведенному методу исходное выражение имеет вид (11.2)

−∞

где D0(E) – невозмущенная плотность электронных состояний; f(U) – функция плотности распределения потенциальной энергии

82

электрона U на поверхности; энергия поверхностных носителей E при этом отсчитывается от дна невозмущенной поверхностной зоны проводимости Esc. При параболическом законе дисперсии плотность поверхностных состояний при отсутствии хаотического потенциала является константой. Поэтому (11.2) можно переписать в виде (11.3)

−∞

Конкретный вид функциональной зависимости D = D(E), таким образом, определяется характером распределения хаотического потенциала. Некоррелированная локализация кулоновских центров – заряженной примеси в ОПЗ полупроводника – предполагает их пуассоновское распределение по количеству частиц. При условии линейности экранирования в двумерной электронной системе (линейной зависимости потенциала от напряженности поля) и учете принципа суперпозиции полей, т. е. величина напряженностивосновномпропорциональнаколичествузарядов, вполневозможнамодельгауссовараспределенияхаотическогопотенциала. В силу этого можно принять соответствующее распределение потенциальной энергии электрона в поверхностной зоне

(11.4):

Вычисление интеграла в (11.3) с указанным видом функции плотности распределения (11.4) приводит к известному из теории

δU, значение которой может определяется выражением в рамках линейного экранирования (4.13), но с переопределенными

83

величинами плотности поверхностных состояний на уровне Ферми и плотности поверхностного заряда. Учитывая связь поверхностной концентрации носителей NS с шириной ОПЗ L0 при равномерном распределении легирующей примеси, имеем (11.6)

EF

где NS = ∫ D(E)dE. Подстановка (11.5) и вычисление последнего

интеграла−∞сводит (11.6) к трансцендентному уравнению относительно δU (11.7)

Расчет по формуле (11.7) для системы с параметрамиD0 =5 . 1013 cм–2эВ–1, EF = 0,01 эВ и N0 = 1018 cм–3 дает значение δU = 0,02 эВ, что на 5 мэВ превышает результат, полученный для проводящей поверхностистемижепараметрами,нобезучетаизмененияплотности поверхностных состояний.

Приведенныеоценкипозволяютврамкахквазиклассического приближения предварительно получить критерий локализации в двумерной электронной системе и определить амплитуду хаотического потенциала на пороге подвижности носителей. Согласно классической теории перколяции [43, 44] протекание в континуальной двумерной электронной системе с гауссовым беспорядком возможно, если положение уровня Ферми превышает уровеньпротекания Esc,т.е.приусловии EF > 0.Поэтомудостижение нулевого значения величины EF может интерпретироваться как условие исчезновения (в пренебрежении эффектом подбарьерного просачивания носителей) безактивационной проводимости и, следовательно, невозможности дальнейшего перераспределения поверхностных электронов, экранирующих поле хаотически распределенных кулоновских центров. Поэтому минимальное значение амплитуды хаотического потенциала при локализации

84

носителей может быть получено при значении EF = 0 в выраже-

нии (11.7)

Подстановка в (11.8) тех же значений параметров системы (D0 = = 5 . 1013 cм–2эВ–1 иN0 =1018 cм–3) приводит к результатуδU =0,03 эВ. С учетом полученного результата можно сформулировать и критерий локализации в двумерной электронной системе в квазиклассическом приближении. Поскольку числовой коэффициент в (11.8) порядка единицы, то соответствующий критерий можно сформулировать в виде (11.9)

Полученный критерий не учитывает квантовые поправки, воз- никающиеиз-заволновыхсвойствносителейиихвзаимодействия между собой. Разделение двумерных электронных систем на проводящие и диэлектрические и существование соответствующих фаз в рамках скейлинговой гипотезы неоднозначно [42]. Исходно

вдвумерной системе невзаимодействующих электронов реализуется состояние, в котором уже сколь угодно малый беспорядок приводит к локализации носителей. Наличие в данной системе электрон-электронных взаимодействий и соответствующей поправки к проводимости может приводить к антилокализации. Другими словами, вопрос условий реализации металлического состояния в двумерном случае требует дополнительного исследования. Но это относится к определению характера проводимости у формально бесконечной системы под действием поля бесконечно малой напряженности. При исследовании процесса экранирования двумерным электронным газом на поверхности конечных полей кулоновских центров в силу его локальности требование строгой металлизации поверхностной электронной подсистемы

вцелом представляется сомнительным.

85

Г л а в а 12

КРИТЕРИЙ СИЛЬНОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКА

При анализе размерных отношений в приповерхностном слое легированного полупроводника отмечалось, что в большинстве случаев ширина ОПЗ сравнима со средним расстоянием между примесными атомами – существует естественный размерный эффект. Следовательно, плотность заряда у поверхности не является распределенной и формируется ансамблем дискретных ионизованных атомов. Сосредоточенное распределение примесного заряда создает на поверхности полупроводника хаотический потенциал, который рассеивает электроны в двумерной поверхностной зоне.

Проблемапроводимостидвумерныхэлектронныхсистемранее обсуждалась главным образом применительно к инверсным приповерхностным слоям контактов металл–диэлектрик–полупро- водник и квантовым ямам в гетероструктурах [55]. Значительное количество экспериментальных данных для этих низкоразмерных систем стимулировало развитие теории; задача становилась двумерной благодаря квантованию движения носителей заряда нормально к плоскости контакта или размерному квантованию в переходных слоях. Наличие электроактивных дефектов у границ раздела по большей части определяет свойства формируемого двумерного электронного газа и особенности токопереноса в указанных структурах. В частности, авторы [32–35] исследовали влияние статистических флуктуаций плотности встроенного заряда в диэлектрике на проводимость инверсных слоев, пренебрегая сильными неоднородностями потенциала на поверхности, вызваннымипроявлениеместественногоразмерногоэффектавОПЗ полупроводника.

Рассеяние электронов хаотическим потенциалом приводит к уменьшению длины свободного пробега l уже при температуре абсолютного нуля. В системе любой размерности понятие длины

86

свободного пробега теряет смысл, если ее величина становится меньше длины волны электрона. Тогда электронные состояния локализуются. Согласно правилу Иоффе–Регеля, локализованы состояния, для которых

где k – модуль волнового вектора (12.1).

Двумерные электронные системы с точки зрения характера их проводимости занимают особое положение в теории конденсированного состояния [42]. Наличие отрицательных и логарифмически расходящихся квантовых поправок к проводимости этих систем, обусловленных волновыми свойствами электрона, исходно приводит к состоянию слабой локализации. Поэтому вместо фазового перехода металл–изолятор с ростом беспорядка при выполнении критерия (8.1) следует говорить о переходе от слабой к сильной локализации [57]. Кроме того, специфические свойства двумерных систем с низкоэнергетичным электронным газом могут усиливать эффекты локализации. Сечение рассеяния медленных электронов [58], в отличие от трехмерных систем, растет при уменьшении энергии. Вследствие этого должна сокращаться длинасвободногопробеганосителя,возможносостояниесильной локализации при более низком уровне беспорядка. Поэтому учет естественного размерного эффекта в слоях пространственного заряда, определяющий исходное распределение поверхностного потенциала, является необходимым.

Как показали расчеты, дискретность распределения заряженныхпримесейвОПЗпримакроскопическиоднородномлегировании полупроводника проявляется в широком диапазоне концентраций примеси 1016÷1020 см–3, и неоднородности электрического поля на поверхности растут при увеличении уровня легирования. Наличие поверхностных состояний высокой плотности (порядка 1014 см–2эВ–1 и более) позволяет пренебречь пространственной дисперсией диэлектрического отклика двумерного электронного газа и определить экранированный поверхностный потенциал в приближении Томаса–Ферми. Однако возможна сильная

87

локализация поверхностного заряда вследствие рассеяния низкоэнергетичных носителей, если уровень Ферми закрепляется у дна поверхностной зоны. Такая ситуация может реализоваться, например, на поверхности GaP n-типа [59].

Для определенности рассмотрим донорный полупроводник при T = 0 K. Имеет смысл говорить о вырожденном полупроводнике, поскольку только в этом случае при нулевой температуре возможно образование обедненного слоя с неэкранированными зарядами примеси. При достаточно больших изгибах зон можно считать, что практически на всей протяженности ОПЗ примесь полностью ионизована.

В приближении Томаса–Ферми потенциальная энергия поверхностного электрона в поле заряженного донора следует за поверхностной плотностью заряда (12.2):

где ρ – радиальная координата в плоскости поверхности; edi – дипольный момент указанного диполя (di – удвоенное расстояние от донора в ОПЗ до плоскости поверхности полупроводника). Основное состояние в соответствующей одноэлектронной задаче реализуется из условия равенства нулю центробежной энергии. Таким образом, волновая функция поверхностного

электрона ψi (ρ) определяется из следующего уравнения Шредингера (12.3):

Конечное нормированное решение (12.3), удовлетворяющее условию σi = −e ψi 2 и имеющее вид (12.4):

88

определяет при нулевом собственном значении потенциальную энергию поверхностного электрона в самосогласованном поле

(12.5):

где D0 = m /π 2 – локальная плотность двумерных электронных состояний. Рассмотрим рассеяние исходно свободного носителя на указанном потенциале. Для этого прежде всего необходимо учесть наличие на поверхности хаотического потенциала с характерной амплитудой (4.13):

где N0 – уровень легирования полупроводника; NS = N0 L0 – поверхностная концентрация заряда; L0 – ширина области обеднения (1.7). Имея конкретный вид закона распределения потенциальной энергии поверхностного электрона, получаем соответствующую плотность состояний. При наличии гауссова распределения хаотического потенциала с параметром среднеквадратичного отклонения, равным (12.6), анализ оказывается достаточно простым. Используя ранее приведенный алгоритм (11.2)–(11.5), для плотности поверхностных состояний получаем

(12.7)

При известной поверхностной плотности заряда последнее выражение позволяет получить уравнение для энергии Ферми

(12.8)

−∞

89

Далеевпределенизкихэнергийповерхностныхносителейможно с приемлемой точностью заменить сложную функциональную зависимость (12.8) на линейную аппроксимацию (12.9):

разом, величина волнового вектора электрона на уровне Ферми определяется выражением (12.10)

Для медленных электронов сечение рассеяния не зависит от угла и ограничивает длину свободного пробега электрона в поверхностной зоне (12.11):

В данном случае s – среднее сечение рассеяния на флуктуациях потенциала. Сечение рассеяния медленных электронов в двумерном случае на некотором локальном потенциале можно записать в виде [58] (12.12)

где γ=exp(C),C=0,577...–постояннаяЭйлера;ri –величинасраз- мерностью длины. Определение ri производится в процессе сшив-

ки волновой функции электрона ψi в областях ρ ≤ ρi и ρi < ρ < 1 . kF

Во внутренней области уравнение Шредингера имеет вид (12.13)

90