Естественный размерный эффект на поверхности полупроводников. Учебное пособие

Заменой zi на zi + di и изменением знака выражения аналогично можно записать и вклад в потенциальную энергию электронавполеспаренногосдоноромзаряженногоакцептора.Учитывая малость плеча формируемых диполей относительно ширины ОПЗ и ориентационное распределение их дипольных моментов, поверхностныйпотенциалионнойпарыможетбытьпредставленвыражением (9.15)

Процедура усреднения (9.15) по глубинам залегания диполей и по площадке на поверхности приводит к результату (9.16)

Для пуассоновского ансамбля частиц остаются справедливыми выражения (9.8) и (9.9). Используя ранее примененный алгоритм, получаем вклад подсистемы диполей в хаотический потенциал на проводящей поверхности с характерным размером R в виде (9.17)

Данная функциональная зависимость достигает своей максимальной величины при R →0. Вычисление соответствующего предела дает (9.18)

При этом для вклада в хаотический потенциал на поверхности подсистемы оставшихся в ОПЗ заряженных доноров имеем (9.19)

Выражение (9.19) получается при вычислении предельного выражения также для бесконечно малой площадки на проводящей

71

поверхности. Окончательно для амплитуды хаотического потенциала на проводящей поверхности компенсированного полупроводника получаем в виде (9.20)

Из полученных результатов прежде всего следует отметить мелкомасштабный характер неоднородностей поверхностного потенциала, формируемых ориентируемыми ионными парами в поле ОПЗ вне зависимости от вида поверхностных состояний. Но если в случае проводящей поверхности результирующие флуктуации потенциалаостаютсясуказаннымпространственнымраспределением, то на поверхности с локализованными поверхностными

Рис. 9.1. Амплитуда хаотического потенциала на поверхности донорного Si (ε = 12) с параметрами ND = 1017 cм–3, U0 = 0,3 эВ, D0 = 1013 cм–2 эВ–1, T = 300 K в условиях формирования ионных пар донор–акцептор в зависимости от степени компенсации:

1 – на диэлектрической поверхности; 2 – на проводящей поверхности

72

состояниямихаотическийпотенциалявляетсясуперпозициейвкладов двух существенно различных масштабов. Соответствующие величины амплитуды хаотического потенциала зависят от степени компенсации полупроводника K =N A/ND. Поскольку в большинстве случаев α <<1, то при наличии диэлектрической поверхности амплитуда хаотического потенциала пропорциональна (1 – K)1/4.

При реализации условий проводящей поверхности соответствующий параметр хаотического потенциала оказывается пропорциональным (1 –K)3/4. Представленные на рис. 9.1 зависимости указывают на существенное снижение амплитуды хаотического потенциала на поверхности легированного полупроводника в области сильной компенсации. Причиной такого характера зависимости являютсяослаблениеестественногоразмерногоэффектавОПЗполупроводникавсилуросташириныобедненнойприповерхностной областии,какследствие,статистическоеусреднениенеоднородных полей кулоновских центров и дипольных частиц у поверхности.

Г л а в а 10

ЕСТЕСТВЕННЫЙ РАЗМЕРНЫЙ ЭФФЕКТ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЫРОЖДЕННОГО ПОЛУПРОВОДНИКА

Синтез полупроводниковых приборов последнего поколения так или иначе связан с применением высоколегированных материалов и нанотехнологий [55]. Соответствующим уровнем концентрации примесей характеризуются резонансно-туннельные переходы, дельта-структуры, полупроводниковые лазеры. Кроме того, не теряют актуальности исследования омических контактов, в которых необходимо наличие вырожденных носителей заряда. Указаннаятехнологическаяособенностьданныхсистемнепосредственным образом отражается на процессах токопротекания, обусловленныхпреобладающимрассеяниемносителейнапримесных дефектахкаквобъемелегированногополупроводника,такнаграницах раздела контактов.

73

Известно, что случайно распределенная примесь в легированных полупроводниках создает хаотический потенциал в объеме указанныхсистем[56].Получитьконкретныепараметрыэтогопотенциала можно, например, в случае линейного экранирования, когда потенциальная энергия электрона в поле i-го заряженного центра, например, в случае однозарядного донора на расстоянии r от него, представляется в виде (10.1)

гдеɛ–диэлектрическаяпроницаемостьполупроводника;λ–пара- метр экранирования (величина, обратная длине экранирования). Усреднение (10.1) по объему шара радиуса R определяет средний вклад одного донора в потенциальную энергию носителя (10.2):

При некоррелированном распределении примеси в полупроводнике справедливо распределение Пуассона, определяющее вероятностьобнаруженияN примесныхатомовввыделенномобъеме(10.3):

Параметр распределения N = 4πN0 R3 3 дает среднее количество соответствующих силовых центров внутри рассматриваемой сферы, N0 – уровень легирования полупроводника. Из распределения (10.3) среднеквадратичное отклонение количества примесных атомов равно квадратному корню из <N> (10.4):

Далее, следуя алгоритму статистического анализа [26], можно представить амплитуду хаотического потенциала δU в форме произведения выражений (10.2) и (10.4), получим (10.5):

74

Поиск максимума функциональной зависимости (10.5) приводит к результатам для характерного масштаба соответствующих неоднородностей (10.6)

В данном случае опущен множитель порядка единицы, поскольку учет его в явном виде превышает точность вычислений.

Зависимость в выражении (10.7) от параметров системы и значение соответствующей величины практически совпадают с полученными ранее [43] в рамках приближения равномерно заряженногошара.Выявленныенеоднородностисохраняютсвойхарактер у диэлектрической поверхности полупроводника, где при высоких степенях легирования обостряется естественный размерный эффект [26] – сравнимость масштабов областей пространственного заряда со средним расстоянием между примесными атомами. Однако в условиях вырождения необходимо учитывать экранирование приповерхностного объемного заряда примеси трехмерным электронным (или дырочным) газом. При наличии делокализованныхдвумерныхносителейнаповерхностиполупроводниковых структур дополнительно возникает соответствующий диэлектрический отклик поверхностной подсистемы.

Будем рассматривать однородно легированный и вырожденныйполупроводникдонорноготипа.Впределенизкихтемператур свободный электронный газ в зоне проводимости такой системы при параболическом законе дисперсии характеризуется энергией Ферми EF (10.8):

гдеn–концентрациясвободныхэлектроноввзонепроводимости; m* –ихэффективнаямасса.Присильномвырождении,какправило,

75

EF >>δU,можнопренебречьизменениемплотностисостоянийна уровне Ферми. В рамках квазиклассического приближения параметрэкранированиявэтомслучаеопределенкаквеличина,обратная радиусу экранирования Томаса–Ферми (10.9):

В выражении (10.9) D(EF ) – величина плотности электронных состояний в зоне проводимости полупроводника на уровне Ферми. Далее возможно проведение статистического анализа хаотического потенциала на свободной поверхности полупроводника. Конечный результат анализа зависит от характера поверхностных состояний. При отсутствии делокализованного поверхностногозарядаопределениехаотическогопотенциалавозможно последовательным усреднением (10.1) по глубине залегания zi примесных центров и по произвольной площадке радиуса R в плоскости поверхности. Таким образом, после подстановки

r = ρ2 + zi2 (ρ – радиальная координата в полярной системе координат в плоскости поверхности) и учета скачка диэлектрической проницаемости на границе вакуум–полупроводник имеем

(10.10)

Асимптотическое значение (10.10) можно получить методом

При некоррелированном распределении легирующей примеси у поверхности остается справедливым закон (10.3). Параметр ука-

76

Следовательно,длясреднеквадратичногоотклонениячислачастиц имеем (10.13)

Таким образом, для оценки величин неоднородностей потенциала с характерным масштабом R достаточно перемножить вы-

ражения (10.11) и (10.13), получим (10.14):

Исследование на экстремум (10.14) приводит к результатам, аналогичным (10.6) и (10.7). Таким образом, в пренебрежении множителем порядка единицы амплитуда хаотического потенциала на поверхности полупроводника имеет вид (10.15)

Если на поверхности вырожденного полупроводника имеется делокализованный поверхностный заряд, то при высокой плотности поверхностных состояний D0 (порядка 1014 cм–2эВ–1 и более) для определения параметров хаотического потенциала имеется возможность воспользоваться методом электростатических изображений [18]. При расчете напряженности поверхностного поля

Fi (ρ, zi ), формируемого экранированным донором у проводящей границы, к градиенту потенциала в рамках приближения линейного экранирования (10.1) необходимо добавить соответствующее поле изображения. Элементарные преобразования приводят к результату (10.16)

77

Среднее значение (10.16) на площадке радиуса R определяется из выражения (10.17)

Учитывая распределение силовых центров (10.3) с параметром (10.12), можно представить также среднее значение флуктуаций их количества на соответствующем участке поверхности в виде (10.13). Произведением (10.17) на (10.13) оценивается характерная величина неоднородностей напряженности поверхностного поля

(10.18)

Вычисляя точную верхнюю грань полученного выражения (в пределе R →0), получаем амплитуду хаотического поля (10.19)

Определить величину амплитуды хаотического потенциала при высокой плотности поверхностных состояний можно, учитывая пропорциональность напряженности поля и плотности поверхностного заряда σ: F =4πσε. В этом случае флуктуациям поверхностного потенциала соответствуют флуктуации плотности поверхностного заряда δσ ≈ eD0δU, следовательно, (10.20):

При сравнении выражений (10.19) и (10.20) получим (10.21)

Аналогичным образом можно оценить величину неоднородности потенциала в контакте металл–полупроводник. Известно, что изменение эффективной высоты барьера в контакте связано

78

с величиной напряженности электрического поля у границы раз-

дела (10.22):

Учитывая тот факт, что напряженность приконтактного поля являетсявеличинойслучайнойсхарактернойамплитудойнеоднородностей (10.19), для значения величины неоднородностей высоты барьера можно записать, используя так называемый «метод переноса ошибок» [20] (10.23):

В данном случае величина F0 (по смыслу – средняя величина

напряженности поля в контакте) представлена произведением усредненногозначениянапряженностиполяодногодонораупроводящей поверхности (10.17) на их среднее количество (10.12). Произведя необходимые вычисления с использованием зависимости

(10.22) и соотношения (10.19), получим (10.24)

Таким образом, величина δUeff примерно равна кулоновской энергии в диэлектрической среде с проницаемостью ε однозарядного центра на расстоянии длины экранирования (10.6) от него.

Результаты показывают, что на поверхности сильно вырожденных полупроводников характер проявления естественного размерногоэффектамодифицируется.Преждевсегоследуетотметить растущиестепенныезависимостирассчитанныхвеличинδU и δUeff от уровня легирования. Типичные графики зависимостей приведены на рис. 10.1. При практически полной ионизации доноров выполняется условие n ≈ N0.

Следовательно, при отсутствии на свободной поверхности полупроводника делокализованого заряда δU (N0 )~N05/12 (соотно-

79

Рис. 10.1. Зависимости характерных неоднородностей потенциала на поверхности вырожденного полупроводника (GaAs, ε = 13, m* = 0,068m, D0 = 5 . 1014 см–2эВ–1) и контакта металл–полупроводник:

сплошная кривая линия (6.15), штриховая кривая линия (6.21), пунктирная кривая линия (6.24)

шение (10.15)). На проводящей поверхности согласно (10.21) зави-

симостьоказываетсянесколькоболеесильной:δU (N0 )~N07/12.Но более слабой функцией от N0 является величина характерных неоднородностей эффективного барьера в контактах металл–полу- проводник. Проведенный анализ показал, что δUeff пропорционально корню шестой степени из N0 (соотношение (10.24)). Другимисловами,вширокомдиапазоневырожденияполупроводникавеличиныфлуктуацийэффективногобарьераостаютсяпрактическинаодномитомжеуровне.ПритипичныхзначенияхэлектрофизическихпараметровполупроводниковыхсоединенийAIIIBV (ε ≈ 10,m*≈0,1.m [19],m –массапокояэлектрона)иуровнялеги- рованияпорядка1020см–3 указанныеестественныенеоднородности барьера характеризуются величиной около 50 мэВ. Имеются также

80