Естественный размерный эффект на поверхности полупроводников. Учебное пособие

электростатических изображений. При этом рассматриваемая система аналогична совокупности диполей с линейно распределенным зарядом в своих плечах. Поле произвольно выбранной дислокации будем определять в полярной системе координат, в которой ρ – радиальная координата, определяющая расстояние от дислокации в плоскости контакта. Интегрирование вдоль заряженной дислокации в пределах области пространственного заряда ширинойL0 дает величину напряженности поля в плоскости контакта (8.2):

где ɛ – диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится i-я дислокация. При изгибах зон в гетероконтакте, во много раз превышающих характерную тепловую энергию носителей, вполне применимо приближение полностью обедненного слоя, в рамках которого ширина области пространственного заряда имеет вид

где U0 – величина изгиба зон. Статистический анализ возникающих неоднородностей электрического поля [26] приводит к соответствующей амплитуде (8.4):

При указанных значениях плотности поверхностных состояний возможна непосредственная оценка величины амплитуды хаотического потенциала в плоскости локализации двумерного электронного газа. В этих условиях величина неоднородностей потенциала может быть определена в форме, известной как приближение Томаса–Ферми, в рамках которого флуктуации плотности заряда должны следовать за изменениями потенциала (8.5)

61

В данном случае предполагается малость возмущения потенциала по сравнению с энергией Ферми электрона в поверхностной зоне и пренебрегается изменением плотности состояний. Учитываялинейнуюзависимостьнапряженностиполяотповерхностного заряда F =4πσε, выражения (8.4) и (8.5), можно связать величину δU с параметрами системы (8.6)

При широком диапазоне значений плотности электронных состояний в гетероконтакте следует провести более детальный анализ возникающих флуктуаций потенциала с использованием функции диэлектрического отклика поверхностной подсистемы [40]. С учетом преобразования по Фурье–Бесселю для потенциальной энергии электрона в поле заряженной дислокации в про-

Экранированный потенциал, созданныйi-й дислокацией в плоскости контакта, определяется стандартным методом (8.8):

где J0 (s) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Ui (q)=Vi (q)/ε(q) – образ Фурье–Бесселя экранированного по-

тенциала; ε(q) – функция диэлектрического отклика среды. Согласно теории экранирования в сильно вырожденных двумерных электронных системах соответствующая диэлектрическая проницаемость имеет вид (8.9)

где ε1 и ε2 – диэлектрические проницаемости контактирующих полупроводников (для AlGaN/GaN и других гетероконтактов

62

III-нитридов ε1 ≈ε2 ~10[19]), qs = 4πe2 D0 /(ε1 +ε2 ) – параметр экранированиявдвумернойэлектроннойсистеме.Усреднениеполучаемого потенциала по площадке радиуса R в плоскости поверхности контакта приводит к значению величины вклада одной заряженной дислокации Ui (R). После изменения порядка интегрирования в выражении для Ui (R)и учета среднеквадратичного отклонения в распределении (8.1) можно определить величины флуктуации потенциальной энергии электрона с характерным масштабом R (8.10):

где J1 (s) – функция Бесселя первого рода первого порядка. Исследование интеграла, входящего в (8.10), показывает, что при типичном условии qsL0 >>1 максимальное значение δU (R) достигается при некотором размере площадки R = R0 (8.11):

По смыслу радиус R0 задает порядок величины размера области неоднородности потенциала в гетероконтакте. Вычисление δU можнопроизвестиспомощьюнепосредственнойподстановкивыражения (8.11) в интеграл, входящий в (8.10), получил (8.12):

где введенная функция Φ(y) имеет вид (8.13)

Из определения данной функции [42] следует, что Φ(0)=1, ее

асимптотическоеповедение Φ(y)~1y приусловии y >>1.Типичная зависимость величины δU от концентрации заряженных дис-

63

Рис. 8.1. Зависимость амплитуды хаотического потенциала заряженныхдислокаций(λ=0,01СГСЭ)вгетероконтактеAlGaN/GaN от их концентрации при двух значениях плотности поверхностных состояний D0 : 1 – 1014 см–2эВ–1, 2 – 1013 см–2эВ–1. Результат расчета в приближении Томаса–Ферми (формула (6))

при D0 = 1014 см–2эВ–1 (пунктирная линия)

локаций Ndisl при двух значениях плотности поверхностных состояний приведена на рис. 8.1.

Расчет показывает, что при практически максимальном заполнении акцепторных дислокационных состояний (λ = 0,01 СГСЭ соответствует плотности около одного электрона на постоянную решетки) наличие исходно в рассматриваемой системе сильно вырожденногоделокализованногодвумерногоэлектронногогазавысокой плотности (порядка 1014 см–2эВ–1 и более) приводит лишь к незначительным средним флуктуациям потенциальной энергии электрона, не превышающим тепловой энергии при комнатной температуре. При этом характерный масштаб данных флуктуаций

64

в приведенном диапазоне концентраций линейных дефектов согласно формуле (8.11) составляет от сотен до десятков ангстрем, чтоменьшесреднегорасстояниямеждуближайшимидислокациями. Но при уменьшении плотности поверхностных состояний на порядок увеличиваются в несколько раз как величины δU, так и

значения R0. В частности, при Ndisl = 2 . 1010 см–2 величина δU уже порядка100мэВиR0 сравнимасвеличиной Ndisl−1/2.Другимислова-

ми, в этих условиях хаотический потенциал перестает быть мелкомасштабным. В этих условиях необходимо учитывать частичную локализациюсостояний[43,44].Следуеттакжеотметить,чтоприближение Томаса–Ферми дает для амплитуды хаотического потенциала несколько завышенный результат.

Г л а в а 9

ХАОТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ НА ПОВЕРХНОСТИ КОМПЕНСИРОВАННОГО

ПОЛУПРОВОДНИКА В УСЛОВИЯХ САМООРГАНИЗАЦИИ ЭЛЕКТРОАКТИВНЫХ ДЕФЕКТОВ

Определение параметров хаотического потенциала на поверхности полупроводника имеет значение при теоретическом обсуждении фазовых переходов и явлений переноса [42], а также с точкизрениясовершенствованиятехнологииполупроводниковых структур [45–48]. В ряде случаев указанные неоднородности связаныснеэкранированнымиионамипримесныхатомовнаповерхности и в ОПЗ полупроводника. Приведенные ранее оценки (6.4), однако, показывают, что при определенных условиях необходимо учитывать взаимодействие между этими частицами. Вследствие электростатического взаимодействия и миграции поверхностных ионов имеет место корреляция в локализации этих точечных зарядовссоответствующимизменениемлокальногоисреднегополя [49,50].Всилуданныхявленийвозникаютусловиядляассоциации ионов [27]. Появление такого частичного порядка в системе может быть сведено к образованию новой подсистемы поверхностных

65

комплексов, обладающих дипольным моментом или мультипольным моментом более высокого порядка. В работе [51] рассмотрена самоорганизация ионов на поверхности полупроводника и определены в рамках простых моделей характеристики хаотического потенциала в условиях ассоциации поверхностных зарядов.

Комплексообразование в результате взаимодействия дефектов в полупроводниках является важным процессом, определяющим электронные свойства и электрофизические параметры указанных твердотельных систем [27, 52]. Одним из возможных видов формируемых ассоциатов за счет дальнодействующих электростатических взаимодействий являются ионные пары, состоящие из электроактивных разноименно заряженных примесных атомов ‒ доноров и акцепторов. Очевидным итогом такой самоорганизации является изменение хаотического потенциала в компенсированном полупроводнике [53].

Любой легированный полупроводник является частично или почти полностью компенсированной системой. Наличие взаимодействующих заряженных доноров и акцепторов в полупроводникепозволяетврядеслучаеврассматриватьподсистемуионныхпар. Формирование донорно-акцепторных пар вполне вероятно, если хотябыоднаизкомпоненттакихкомплексовоказываетсяподвижной [52]. При доминировании процесса спаривания ионов разных знаков количество образованных таким образом диполей определяетсястепеньюкомпенсации.Вусловияхтакойсамоорганизации объемногозарядаформируютсядвеподсистемычастиц:диполейи оставшихсякулоновскихцентров.Крометого,вобедненныхслоях у поверхности полупроводника возможна ориентация дипольных частиц в среднем, макроскопическом поле ОПЗ. Ассоциация дефектов и ориентация дипольных комплексов должна приводить к изменению хаотического электростатического потенциала как в объеме полупроводника, так и на его поверхности. На поверхностиполупроводникавсилуналичияестественногоразмерногоэффекта в обедненных слоях пространственного заряда и отсутствия существенного экранирования свободными носителями указанные изменения потенциала могут оказаться значительными.

66

Прежде всего следует рассматривать случай диэлектрической поверхности частично компенсированного донорного полупроводника, который реализуется при локализованных собственных или примесных поверхностных состояниях. При реализации этих вариантов возможно непосредственно получить неоднородность поверхностного потенциала, поскольку в рамках метода электростатических изображений известен аналитический вид потенциала точечного заряда у поверхности. При наличии на поверхности неизменного непрерывного однородного заряда нарушение регулярности потенциала может быть связано с дискретностью заряда примеси и образованных диполей, расположенных в ОПЗ. Статистический анализ поверхностных параметров может быть проведен аналогично [26]. В рамках указанного метода необходимо учесть наличие в обедненном приповерхностном слое полупроводника двух обозначенных подсистем частиц.

Потенциальная энергия диполя в приповерхностном поле определяется соответствующим скалярным произведением (9.1):

где μ – величина дипольного момента диполя; E – напряженность приповерхностного поля. Если объемный заряд формируется однозарядными донорами и акцепторами, то (9.2)

гдеd –длинаплечасоответствующегодиполя.Вслучаеполностью обедненного слоя у поверхности полупроводника напряженность электрического поля в ОПЗ имеет вид (9.3)

В зависимости (9.3) z – координата, направленная нормально к

ширина ОПЗ; U0 >> kT– величина изгиба зон у поверхности; ε – диэлектрическая проницаемость полупроводника; ND и NA –

67

концентрациизаряженныхдоноровиакцепторов.Всилуэлектростатического взаимодействия характерные размеры образованных ионных пар порядка межатомного расстояния [52]. Таким образом, в широком диапазоне уровней легирования полупроводника истепениегокомпенсации,какправило, d << L0,иможносчитать неизменнойвеличинуd длядиполейвполе.Привыполненииданного условия в рамках модели жестких диполей [54] возможно определение среднего значения дипольного момента, ориентируемого в поле ОПЗ диполя. В состоянии теплового равновесия реализуется соответствующее больцмановское распределение диполей в потенциальном поле. Учитывая данное распределение и малость энергии диполя в поле (9.1) по сравнению с характерной тепловой энергией, средняя величина проекции плеча диполя на ось z пропорциональна величине напряженности поля и равна

(9.4)

где α = 2U0d2 3kTL20, zi – глубина залегания i-го диполя. Изменение величины zi находится в диапазоне от 0 до L0.

В соответствии с работой [54] потенциальная энергия электрона в поле одного диполя на большей части диэлектрической поверхности имеет асимптотический вид (9.5)

В данном выражении ρ – радиальная координата в плоскости поверхности полупроводника. Усреднение (9.5) по возможным zi и по площадке на поверхности с произвольным радиусом R определяет средний вклад одного диполя Ui в суммарную потенциальную энергию электрона. Последовательное интегрирование приводит к результату

68

Поскольку среднее расстояние между ближайшими диполями во много раз превышает их характерный размер, то в большинстве случаев подсистему данных комплексов можно считать совокупностью невзаимодействующих частиц, для нее справедливо распределение Пуассона. Применительно к ОПЗ вероятность p(N) обнаружить N диполей в выделенном объеме имеет вид (9.7)

Учитывая, что при доминировании процесса образования до- норно-акцепторных пар концентрация сформированных диполей для частично компенсированного донорного полупроводника практически равна концентрации заряженных акцепторов, среднее количество частиц в выбранном объеме (9.8)

а среднеквадратичное отклонение (9.9)

Общий вклад в потенциальную энергию избыточных диполей δU±(R),количествокоторыхзадановыражением(9.9),естьпроизведение (9.6) и (9.9), с учетом введенных обозначений можно записать в форме (9.10)

69

Функциональная зависимость в (9.10) f(ξ)ξ монотонна и достигает своей точной верхней грани при ξ→∞ , т. е. при R →0. Вычисляя этот предел, для вклада подсистемы диполей в дисперсию потенциальной энергии электрона на поверхности полупроводника имеем (9.11)

Аналогичный анализ для подсистемы оставшихся некоррелированнораспределенныхкулоновскихцентровприводиткрезуль-

Однако это значение получается при R →∞ , т. е. для подсисте-

мы независимо распределенных в ОПЗ точечных зарядов вклад в хаотический потенциал вносят в том числе и удаленные формально на бесконечность частицы. Окончательно для системы статистически независимых подсистем частиц имеем (9.13)

Если на поверхности полупроводника имеется делокализованный заряд, то за счет перераспределения двумерной электронной плотности производится соответствующее экранирование полей кулоновских центров и диполей. В случае высокой плотности поверхностных состояний D0 (более 1012 см–2эВ–1) оценка амплитуды хаотического потенциала возможна, если полагать экранирование точечных зарядов на поверхности полупроводника в рамках приближения Томаса–Ферми [29]. В соответствии с данным приближением потенциальная энергия электрона в поле заряженного донора в плоскости поверхности имеет вид (9.14)

70