Естественный размерный эффект на поверхности полупроводников. Учебное пособие

выражением (4.5), с учетом введенных переменных можно записать в форме (4.16)

Функциональная зависимость в (4.18) f(ξ)ξ монотонна и достигает своей точной верхней грани при ξ→0, т. е. при R →∞. Вычисляя предел, для дисперсии потенциала на поверхности име-

ем (4.17):

где δU = limδU (ξ).Результат (4.18) определяет средниенеоднород-

ξ→0

ностипотенциаланаповерхностивслучаесобственныхлокализованных состояний и может быть использован для получения второго момента распределения потенциала по поверхности с примесными дискретными состояниями.

Потенциалнаходящегосянаповерхностиотрицательногоиона, считая его точечным, получаем, если в (4.14) положить zi =0. Явный вид потенциала записывается в форме (4.18)

При пренебрежении взаимодействием дискретные заряды на поверхности тоже подчиняются распределению Пуассона, возможно определение среднего вклада поверхностного заряда в неоднородность потенциала на границе раздела аналогично тому, как это было сделано ранее. Усредняя (4.18) по произвольной площадке и учитывая количество избыточных зарядов, для вклада потенциала поверхностных зарядов в неоднородность суммарного потенциала имеем (4.19)

31

Выражение (4.19) эквивалентно в данном изложении (4.17), ко-

торое определяет δU +, составляющую средней флуктуации потенциальной энергии электрона, обусловленной зарядами в ОПЗ.

Для некоррелированного случая, когда распределение положительных и отрицательных дискретных зарядов независимы, результат (4.20)

согласуется с данными, полученными в ходе численного моделирования (рис. 4.3). В частности, для системы с параметрами N0 = 1017 см–3, U0 = 0,3 эВ и ε = 12 по формуле (4.20) имеем

δU = 90 мэВ.

Параметрический характер естественного размерного эффекта следует из выражений для ширины ОПЗ L0 и среднего количества

атомовпримеси<N> вобъеме L03 .Используясвойствараспределения

Рис. 4.3. ЭлектростатическийпотенциалU(x,y)надиэлектрической поверхности кремния (ε = 12) с заполненными дискретными поверхностными состояниями при N0 = 1017 см–3 и U0 = 0,3 эВ

32

Пуассона и явные зависимости от параметров системы, для среднеквадратичного отклонения величины N имеем (4.21)

3 4

N −12 = 2επe2 N014. (4.21)

U0

Такимобразом,неоднородностьнапряженностиэлектрическогополяуповерхностиполупроводникарастетприуменьшениивеличиныизгибазон,диэлектрическойпроницаемостииприувеличении уровня легирования.

Выражение (4.21) с точностью до несущественного множителя порядка единицы аналогично ранее полученному размерному отношению в ОПЗ (4.10). Следовательно, зависимости в (4.21) от параметров системы сохраняются. Однако (4.21) правильно описывает зависимости неоднородностей электрического поля и потенциала на поверхности с собственными делокализованными состояниями. В случае диэлектрической поверхности имеются некоторые отличия. Но вначале рассмотрим зависимость от плотности поверхностных состояний – важного поверхностного параметра, которым характеризуется атомарно чистая поверхность с собственными состояниями.

Характерный вид зависимости δU от D0 при выбранных параметрах (N0 = 1017 см–3, U0 = 0,3 эВ и ε = 12) в диапазоне изменения плотности поверхностных состояний от 1012 до 1015 см–2 эВ–1 представлен на рис. 4.4.

Уровень легирования – наиболее важный параметр полупроводниковой системы с практической точки зрения. Увеличение количества свободных носителей, изменение типа проводимости, получение контактных структур невозможно без изменения концентрации примеси. Следовательно, возможные изменения поверхностных свойств, в частности изменения неоднородностей поверхностного потенциала при варьировании уровня легирования, должны быть приняты во внимание.

Общий для различных по структуре поверхностных состояний характер зависимости естественных неоднородностей потенциала

33

Рис. 4.4. Зависимость естественных неоднородностей потенциала на проводящей поверхности от плотности электронных состояний

наблюдается при изменении концентрации электроактивной примеси.Каквидноизвыражений(4.13),(4.17),(4.20),роствеличины δU на проводящей и диэлектрической поверхностях при увеличении N0 происходитпоодномуитомужезакону–пропор-

ционально N014. Как уже отмечалось, данная зависимость определяет естественное размерное отношение в ОПЗ. Слабость концентрационного закона делает значительным (особенно в случае дискретных поверхностных состояний) неоднородности потенциала на поверхности в широком диапазоне уровней легирова-

ния (рис. 4.5).

От величины изгиба зон U0, как одного из возможных граничныхусловийдлякраевойзадачиприрешенииуравненияПуассона (1.2), зависит длина ОПЗ L0. Рост ширины обедненного слоя предопределяет увеличение количества дискретных зарядов

34

в характерном объеме L30. Следовательно, увеличение U0 приводит к лучшему усреднению дискретного распределения примеси в приповерхностной области полупроводника, что фактически должно уменьшить неоднородности. Такие формальные соображения позволяют с бóльшей точностью применить для описания ОПЗ одномерную модель. Однако при общем спаде относительной неоднородности потенциала имеется качественно разный характер изменения абсолютных флуктуаций потенциала в зависимостиотреализуемоговидаповерхностныхсостояний.Есливслучае собственных делокализованных состояний с увеличением из-

гиба зон происходит достаточно быстрое ( U0−3/4) падение δU, то на диэлектрической поверхности неоднородность потенциала

медленно ( U01/4 ) растет.

Рис. 4.5. Зависимость естественных неоднородностей потенциала на поверхности от уровня легирования.

Показаныслучаиделокализованных(сплошная кривая линия), локализованных непрерывных (штриховая кривая линия)

и дискретных (пунктирная кривая линия) состояний

35

Г л а в а 5

ВЛИЯНИЕ ДИСПЕРСИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ПРИ ЭКРАНИРОВАНИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКА

Проведенный ранее анализ неоднородностей электрического потенциала у поверхности примесного полупроводника [23, 26], обусловленныхдискретнымхарактеромраспределенияобъемного заряда, показал, что в случае наличия на поверхности делокализованных электронных состояний высокой плотности средняя величина хаотического потенциала составляет порядка нескольких миллиэлектрон-вольт. Для большинства процессов, происходящих на поверхности при комнатной и повышенных температурах, данные изменения потенциальной энергии электрона малы по сравнению с тепловой и, как правило, несущественны. Однако сделанная оценка может оказаться несправедливой, по крайней мере для сильно легированных структур (порядка 1018 см–3 и более), для которых возрастает вероятность локализации заряженного дефекта непосредственно вблизи поверхности.

Преждевсеговэтихсистемахнеобходимоучитыватьнелинейность экранирования двумерным электронным газом возмущений, связанных с потенциалами точечных зарядов [28] – электроактивных дефектов в обедненных приповерхностных слоях. Очевидно, что учет зависимости диэлектрического отклика поверхностиотстепенинеоднородностиисходногопотенциаладолжен привести к изменению средней величины хаотического потенциала. Следует также отметить, что полученная зависимость данной величины от плотности поверхностных состояний (3.13) приводит к ошибочным оценкам с величин плотности порядка 1012 см–2 эВ–1. В этом случае получается, что неоднородности потенциала на поверхности сильно легированного полупроводника оказываются выше при наличии делокализованного электронного газа. Причина столь неудовлетворительного результата заключается в ограниченности использования стандартного метода

37

изображений при расчете электрического поля и потенциала у поверхности при конечной плотности электронных состояний. Для получения лучшего приближения необходимо использовать при вычислениях диэлектрическую проницаемость среды в более широком диапазоне величин волновых векторов исходного возмущения, т. е. необходимо учесть наличие пространственной дисперсии диэлектрической проницаемости.

Для оценки влияния пространственной дисперсии на естественные неоднородности потенциала рассмотрим случай сильно вырожденного двумерного электронного газа [29]. При этом величина энергии Ферми поверхностного электрона EF намного превышает значение тепловой энергии kT. Потенциальную энергию электрона в поле i-го кулоновского центра (однозарядного донора) в плоскости поверхности вне диэлектрической среды запишем в виде (5.1)

где ρ – радиальная координата в плоскости локализации электрона; di – удвоенное расстояние i-го кулоновского центра до этой плоскости. Хорошо известен Фурье-образ (5.1):

где q – величина волнового вектора в плоскости поверхности (5.2). Экранированный потенциал, созданный i-м кулоновским центром на поверхности, определяется стандартным методом

(5.3):

где J0(s) – функция Бесселя нулевого порядка; Ui(q) = Ui(q)/k(q) – Фурье-образ экранированного потенциала; k(q) – функция диэлектрического отклика среды. В данном случае при наличии

38

свободной поверхности полупроводника k(q) имеет вид [28]:

где ε – статическая диэлектрическая проницаемость полупровод-

ника; kF – величина волнового вектора поверхностного электрона

на уровне Ферми, qs =4πe2 D0 (ε+1); D0 – плотность поверхностных состояний. В условиях сильного вырождения двумерного электронного газа следует выбрать k(q) при q ≤ 2kF . При малой неоднородности возмущения, т. е. при выполнении неравенства q <<qs, функция диэлектрического отклика имеет вид (5.5)

Используя преобразование (5.3) и выражение (5.5), получаем

который также можно получить в приближении Томаса–Ферми, используя вид напряженности поля на проводящей поверхности в методе электростатических изображений (4.2). При усреднении потенциал (5.6) и полагании независимого распределения заряженной примеси у поверхности непосредственно установлена зависимостьестественныхнеоднородностейпотенциалаδU отпараметров системы [38] (5.7):

В выражении (5.7), как и прежде, L0 – ширина области обеднения,U0 –величинаизгибазон,N0 –уровеньлегирования,NS =N0L0 –

39

поверхностная концентрация заряда. Результат (5.7) справедлив при наличии на поверхности делокализованного электронного газа высокой плотности. При полной локализации поверхностного заряда расчет потенциала i-го центра на поверхности также можно произвести, используя формализм функции диэлектрического отклика. Этому случаю соответствует другой предельный случай для величин волновых векторов возмущения q >>qs. Из выражения (5.4) следует, что данному диапазону величинq соответствует диэлектрическаяпроницаемость,равнаясреднемуарифметическомупроницаемостей граничащих сред. Поскольку при этом k(q) является константой,экранированныйпотенциалполучаемсразуввиде(5.8)

Для пуассоновского ансамбля дискретных зарядов примеси в слое обеднения в [26] было получено выражение для величины характерных неоднородностей потенциала на поверхности с локализованными состояниями. Усреднение выражения (5.8) с последующим поиском максимума функционала приводит к результату

(5.9), совпадающему с (4.19):

В общем случае при анализе естественных неоднородностей на поверхности полупроводника необходимо записать экранированный потенциал, вычисленный с учетом соответствующей зависимости функции диэлектрического отклика (5.4). Будем полагать, что на поверхности полупроводника имеется сильно вырожденный электронный газ. С учетом преобразования (5.3) после изменения порядка интегрирования в выражении для средней величины неоднородности поверхностного потенциала δU(R) на площадке с радиусом R получаем (5.10)

40