Естественный размерный эффект на поверхности полупроводников. Учебное пособие

приводящийкхорошоизвестнойкартинеизгибазон(см.рис.1.1). Дискретностьзарядапримесисчитаетсяневлияющейнапотенциальный рельеф ОПЗ и лишь иногда учитывается введением соответствующего канала рассеяния при описании процессов переноса. Подобное макроскопическое описание ОПЗ в пренебрежении внутренней структурой может быть оправдано, если характерная макроскопическая длина L0 (протяженность ОПЗ) многократно превосходит масштаб <lij>, характеризующий микроскопическую структуру(среднеерасстояниемеждупримеснымиатомами).Если произвести оценку для концентрации легирующей примеси N0 = 1018 см при изгибе зон U0 = 0,2 эВ по известной формуле (1.7), то получится, что глубина обеднения практически равна среднему расстоянию между атомами примеси. Другими словами, в объеме

L30 в ОПЗ находится в среднем один-два атома примеси, поэтому усреднение по большому количеству атомов не происходит.

Отношение величин L0 и <lij> = N0−1/3 пропорционально корню шестойстепениизконцентрациилегирующейпримеси.Такимобразом,изменениеконцентрациипримесинадвапорядкаприведет лишь к двукратному изменению отношения L0/<lij>. Столь слабая зависимость от концентрации позволяет усомниться в адекватности одномерной модели изгиба зон во всем практически важном

диапазоне степеней легирования 1016 ÷1020 см. Проведенные оценкиподтверждаютналичиевОПЗполупроводникаразмерного соотношения, не зависящее существенным образом от параметров системы, которое и определяет естественный размерный эффект [23]. Таким образом, произведенные оценки показывают, что ОПЗ полупроводника не является одномерной структурой и формируется дискретными зарядами примеси.

Поле и потенциал на поверхности формируются всем ансамблем зарядов, но заряженная примесь, находящаяся за пределами ОПЗ эффективно экранируется свободными подвижными носителями (электронами или дырками). В общем случае делокализованного заряда на поверхности задача определения электрического поля и потенциала является самосогласованной,

21

имеет определенные математические сложности с последующими трудностями анализа результатов. Однако проведенные вычисления показали возможность при высоких значениях плотности поверхностных состояний (≥ 1012 см–2эВ–1) использовать метод изображений для определения поверхностного поля, в котором учитывается перераспределение наведенного поверхностного заряда в первом приближении. В случае полностью заполненных непрерывных собственных и примесных поверхностных состояний электростатическими изображениями также можно описать вклад наведенного заряда в поле на поверхности полупроводника. Однако при этом изображения будут диэлектрическими. Перечисленные обстоятельства дают основание для следующих модельных построений, в рамках которых может производиться расчет неоднородностей электрического поля и потенциала на поверхности полупроводника.

1.Поверхностные состояния. Очевидно, что проявление естественного размерного эффекта и величина неоднородностей электрическогополяипотенциалауповерхностиполупроводника зависятотэлектронныхсвойствповерхности.Теилииныеповерхностные состояния могут обеспечить накопление на поверхности соответствующий объемному поверхностный заряд, но разный по эффективности экранирования дискретного заряда примеси. Поскольку поле в области изгиба зон формируется, с одной стороны, заряженной примесью, с другой – зарядом, накопленным на поверхностных состояниях, то степень неоднородностей полей и потенциаловможетзависетьотструктурыихарактераповерхностных состояний. Будем полагать, что на поверхности примесного полупроводника реализуются два предельных случая электронных состояний: собственных (непрерывных) и дискретных примесных поверхностных состояний.

2.Поверхностный заряд. Структура поверхностных состояний определяет распределение поверхностного заряда. Для определенности будем считать, что на поверхности осуществляется пиннинг уровня Ферми, т. е. его положение в поверхностной зоне (например, в случае собственных делокализованных состояний)

22

определяет среднюю величину поверхностного заряда. В случае диэлектрической поверхности величина ее заряда определяется также балансом заряженных частиц в ОПЗ, но распределение зарядов по поверхности может быть существенно различным. Здесь могутреализоватьсядвесущественноразныеситуации:равномернозаряженнойповерхностиидискретныхзарядовнаповерхности. Первая соответствует поверхности с полностью заполненными непрерывными поверхностными состояниями малой плотности (как правило, менее 1012 см–2 эВ–1). Вторая ситуация возникает в случае заряженных дискретных поверхностных состояний, индуцируемых точечными дефектами (собственными и примесными).

3.Объемный заряд. При заполнении поверхностных состояний поверхность заряжается и, как уже отмечалось, формируется обедненный свободными носителями слой и объемный заряд.

При больших изгибах зон (U0 >> kT) можно считать, что приповерхностный слой толщиной L0 полностью обеднен свободными электронами или дырками. Наиболее типичным является случай мелкойпримеси,когдаужеприкомнатнойтемпературе(нередкои

ниже)всяпримесьионизована,иввыражениидляL0 можнозаписатьуровеньлегированияN0.Остальнаячастькристалланевлияет на распределение поверхностного поля и потенциала, так как заряженная примесь за пределами ОПЗ эффективно экранируется. Размерные отношения, приведенные ранее, определяют дискретный характер распределения примеси.

4.Система поверхность–ОПЗ. Как отмечалось ранее, на поверхности объемным зарядом индуцируется наведенный заряд, полекоторогоможноописатькаксовокупностьполейэлектростатических изображений. Вследствие этого у проводящей поверхности система может быть представлена как погруженный в диэлектрическую среду ансамбль диполей с различными дипольными

моментами и плотностью NS = N0 L0. Аналогично будет рассмотрена система с диэлектрической границей, только в этом случае наведенный заряд не образует диполь [24]. Поскольку для свободной поверхности заряды примеси находятся в диэлектрически более плотной среде, то изображения будут того же знака.

23

Г л а в а 4

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НЕОДНОРОДНОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ И ПОТЕНЦИАЛА НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКА

Приведенные оценки размерных отношений в ОПЗ полупроводника и вывод о необходимости учета дискретности структуры рассматриваемой системы фактически были постулированы. Хотя интуитивно выбранное сравнение длины ОПЗ и среднего расстояния между примесными атомами не вызывает сомнений, для дальнейшего анализа требуется получение более обоснованных отношенийсучетомвозможныхпроцессови,чтонаиболееважно, зависимостей от параметров поверхности и объема.

Вероятность обнаружить в подсистеме с некоторым характерным размером данное количество случайно распределенных дискретных элементов (частиц) подчиняется распределению Бернулли [25]. В сильно разбавленном растворе замещения или внедрения, а именно таковым является легированный полупроводник, биноминальное распределение переходит в распределение Пуассона. Применительно к ОПЗ для распределения примеси по количеству частиц p <N> можно записать (4.1)

полупроводника аддитивно зависит от локального количества заряженной примеси, то приведенная оценка дает представление о неоднородности поля в приповерхностной области. Для получения аналитических выражений естественных неоднородностей

24

поля и потенциала необходим учет структуры поверхностных состояний.

Изложение статистического анализа [26] начнем с рассмотрения поверхности с собственными делокализованными состояниями(проводящейповерхности).Выберемнаповерхностиполупроводника площадку с произвольным радиусом R и опирающийся на этот участок поверхности объем в ОПЗ. Среднее количество примесных атомов, которые попадают в образованный цилиндр, можно рассчитать, перемножив величины концентрации примеси N0 (будем для определенности полагать, что примесь – полностью и однократно ионизованные доноры) и выбранного объема V = π R2L0. Статистические параметры данной подсистемы зависят от ее размеров, т. е. от величины R (рис. 4.1). Полагая, что электрическое поле и потенциал в пределах цилиндра в среднем

R

L0

~N0–1/3

Рис. 4.1. Распределение заряда (донор-изображение) у поверхности полупроводника в принятой модели ОПЗ

25

кратны полю точечного заряда и его изображения на фоне суммарного поля окружения, найдем неоднородность поля на поверхности полупроводника. В данном случае собственных делокализованных поверхностных состояний элемент системы примесь–изображение представляет собой диполь.

Для дальнейшего анализа требуется найти вклад в суммарное

электрическое поле на поверхности площадью S = πR2 пробного диполя. Для этого усредним поле диполя по возможным дипольным моментам и по поверхности. Поле диполя в плоскости z = 0 имеет только аксиальную компоненту и в цилиндрической системе координат имеет вид (4.2)

где ρ= x2 + y2 – радиальная координата в плоскости поверхности; edi – дипольный момент. Последовательное усреднение (4.2) приводит к результату (4.3)

Учитывая, что N0L0 = NS, среднее количество частиц в выбранном объеме (4.4)

а среднеквадратичное отклонение (4.5)

Вклад зарядов, находящихся внутри V, определяет среднее поле на поверхности S (4.6)

где суммирование производится по примесным атомам. Отметим, что вклад в поверхностное поле системы диполей примесь–

26

изображение окружения в среднем есть поле плоского конденсатора с плотностью заряда на обкладкахeNS за вычетом (4.6). Поскольку под знаком суммы в (4.6) стоит величина, уже не зависящая от индекса суммирования, то (4.6) есть произведение (4.3) и (4.4). Используя (4.5), аналогично можно записать величину дисперсии поля на выбранной поверхности δF (R). В пределе R →∞ значение F (R) стремится к величине поля в одномерной модели (4.7)

а величина δF (R) стремится к нулю, что справедливо для макроскопической системы в целом.

Распределение Пуассона допускает произвольную малость среднего количества частиц в выбранном объеме, и выделяемая подсистема может не удовлетворять условию макроскопичности. Рассматривая различные по размерам подсистемы, получаем последовательность величины неоднородностей поля на поверхности, которые обусловлены избыточными зарядами. Выбор конкретного значения дисперсии зависит от параметров задачи, характерных масштабов (например, длины волны электрона, длины свободного пробега носителя и т. п.). Однако для ряда случаев (адсорбция, фазовые переходы, пороговые процессы и др.) будут важны средние неоднородности поля, вычисленные формально в бесконечно малой подсистеме. При выборе поточечного перебора наповерхностиполупроводника,дисперсияполядолжнабытьвычислена как максимально возможная на промежутке изменения R от0до∞.Следовательно,необходимоопределитьмаксимумфункции δF (R) навсейобластиизмененияаргумента.Простыеоперациипоотысканиюэкстремумаприводяткрезультату– R =0.Возникающиенеопределенностипривычислении δF (0) устраняются припереходекпределу R →0.Вэтомслучаедисперсияэлектрического поля может быть определена из выражения (4.8)

27

Введено обозначение δF =δF (0). Явный вид δF следует из (4.3) и (4.5). После подстановки данных выражений в (4.8) и вычисления предела имеем (4.9)

Сравним полученную дисперсию электрического поля с полем изгиба зон (4.7). Для этого достаточно вычислить отношение этих величин. В результате имеем (4.10)

(πNS )−12 не что иное, как радиус основания пробного цилиндра, в котором содержится в среднем один примесный атом.

Таким образом, оценку естественного размерного эффекта в ОПЗ полупроводника можно провести с учетом выражения (4.10). В качестве критерия дискретности структуры можно выбрать порядковое равенство δ0 ~1. По сравнению с отношением среднего расстояния между примесными атомами к длине ОПЗ в полученном критерии несколько более сильная (чем представленная ранее) зависимость от концентрации примеси. Легко показать, что

праваячастьв(4.10)растеткак N01/4 сувеличениемуровнялегирования. Следовательно, изменение N0 на два порядка приводит лишь к трехкратному изменению δ0.

Для определения характерных неоднородностей потенциала на проводящей поверхности полупроводника необходимо учесть соответствующее флуктуациям напряженности электрического поля перераспределение поверхностного заряда. Из линейной зависимости F = F(σ) непосредственно следует пропорциональность изменения поверхностной плотности заряда δσ величине δF:

28

Однако для формирования локального избытка (или недостатка)электроннойплотностинаповерхностинеобходимозаполнение (опустошение) части поверхностных состояний. Другими словами, уровень Ферми должен занимать соответствующее положение по отношению к дну поверхностной зоны проводимости. Это означаетналичиенаповерхностифлуктуирующегопотенциаласнекоторой характерной амплитудой δU. Таким образом, при наличии сильно вырожденного двумерного электронного газа имеем (4.12)

Приравнивая (4.11) и (4.12) и подставляя полученную ранее величину δF (4.9), получаем (4.13)

Типичная картина изменения поверхностного потенциала, полученная в ходе численного эксперимента, представлена на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Изменение электростатического потенциала U(x, y) на проводящей поверхности кремния (ε = 12) при N0 = 1017 см–3,

U0 = 0,3 эВ и D0 = 5 . 1014 см–2 эВ–1

29

Приведенный метод расчета неоднородностей может быть применен и в случае диэлектрической поверхности, которая реализуется при локализованных собственных и примесных состояний. В этих случаях возможно непосредственно получить неоднородность поверхностного потенциала, поскольку в рамках метода электростатических изображений известен аналитический вид потенциала на поверхности. При наличии на поверхностинеизменногонепрерывногоиоднородногозаряданарушение потенциальной регулярности может быть связано с дискретным зарядом примеси, расположенной в ОПЗ. В соответствии с кулоновским характером взаимодействия потенциальная энергия электрона в поле однозарядного донора у поверхности имеет вид

(4.14)

где zi – глубина залегания заряда примеси. Изменение величины zi находится в диапазоне от 0 до L0. Усреднение (4.14) по возможным zi и по площадке на поверхности с произвольным радиусом R определяет средний вклад одного заряда <Ui> в суммарный потенциал. Последовательное интегрирование приводит к результату

или, вводя новую переменную ξ =L0/R и функцию f(ξ) вида (4.15): f(ξ)=ξξ2 +1 +ln(ξ+ξ2 +1)−ξ2 ;

Общий вклад в потенциальную энергию поверхностного электрона избыточных зарядов δU(R), количество которых задано

30