Естественный размерный эффект на поверхности полупроводников. Учебное пособие

В выражении (5.10) J1(s) – функция Бесселя первого порядка. Дальнейшийрасчетпоказывает,чтомаксимальноезначениеδU(R) достигается при некотором размере площадки R = R0 , который приближенно оценивается в виде (5.11)

ПосмыслурадиусR0 задаетпорядоквеличиныразмеранеоднородностей потенциала на поверхности полупроводника. Вычисление δU можно произвести непосредственной подстановкой выра-

жения (5.11) в (5.10)–(5.12):

Из определения этой функции [30] следует, что Ω(0)=1 и ее асимптотическое поведение Ω(y)~1/ y при условии y >>1.

Полученное выражение для величины средних неоднородностей потенциала (5.12) еще не носит окончательного характера. Входящая в данную формулу величина изгиба зон U0 априори зависит от плотности и спектра поверхностных состояний. Случаю сильно вырожденного электронного газа на поверхности полупроводника с высокой плотностью электронных состояний соответствует пиннингу уровня Ферми в середине поверхностной зоны, размер которой во много раз превышает энергию kT. Из общих теоретических представлений [31] можно принять, что поверхностная зона располагается симметрично относительно середины запрещенной зоны. Таким образом, для сильно легированного полупроводника в пренебрежении значением уровня

41

Ферми в объеме полупроводника поверхностный изгиб зон равен (5.14)

где Eg – ширина запрещенной зоны; ∆U – изменение величины изгиба зон из-за конечности плотности поверхностных состояний; положение уровня Ферми для донорного полупроводника отсчитывается от дна зоны проводимости и при высоких степенях легирования типичных полупроводников – несущественная величина. Из условия электронейтральности системы в целом следует, что заряд на поверхности по абсолютной величине должен быть равен заряду в обедненном слое (5.15):

Учитывая явную зависимость величин ∆U и L0 от U0 согласно (5.15), получаем квадратное уравнение, имеющее физический смысл, решение которого имеет вид

Подстановка выражения (5.16) для вычисления параметров в формуле (5.12) позволяет определить величину неоднородностей потенциала на поверхности полупроводника, обусловленных дискретнымхарактеромраспределенияобъемногозарядавслоеобеднения. Характерный вид изменения данной величины от плотности поверхностных состояний при двух уровнях легирования представлен на рис. 5.1. Масштаб неоднородностей потенциала определяется согласно выражению (5.11), в котором от плотности поверхностных состояний меняется ширина слоя обеднения.

Из проведенного анализа следует, что при наличии на поверхности полупроводника сильно вырожденного делокализованного электронного газа рассматриваемые неоднородности потенциала ограничены по величине. При учете пространственной дисперсии

42

Рис. 5.1. Зависимость естественных неоднородностей потенциала на поверхности сильнолегированного Si (ε = 12, Eg = 1,1 эB) от плотности поверхностных состояний при концентрациях примеси 1018 см–3 (сплошная кривая линия) и 1019 см–3 (пунктирная кривая линия)

Рис. 5.2. Зависимостьмасштабаестественныхнеоднородностей потенциала на поверхности сильнолегированного Si

(ε = 12, Eg = 1,1 эB) от плотности поверхностных состояний приконцентрацияхпримеси1018 см–3 (сплошная кривая линия)

и 1019 см–3 (пунктирная кривая линия)

43

диэлектрической проницаемости данной сильно легированной системыполученанемонотоннаязависимостьоптимальныхфлуктуаций поверхностного потенциала, в максимуме превышающих тепловуюэнергиюприкомнатнойтемпературе.Характерныймасштаб неоднородностей растет с уменьшением плотности поверхностных состояний, при достижении максимальных величин неоднородностей потенциала данная зависимость обнаруживает насыщение (рис. 5.2). Расчет показывает, что предельные значения величин масштаба R0 оказываются порядка среднего расстояния между примесными атомами N0−1/3.

Г л а в а 6

ЕСТЕСТВЕННЫЙ РАЗМЕРНЫЙ ЭФФЕКТ НА ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКА

ПРИ РАВНОВЕСНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРИМЕСИ

При отсутствии структурных нарушений на поверхности возможным (и естественным) источником флуктуаций потенциала являетсяобъемныйзаряд,непрерывнораспределеннаямоделькоторого, как показано ранее, в ряде случаев у поверхности легированного полупроводника не вполне корректна: нивелирование дискретности зарядовой структуры приповерхностных обедненных слоев полупроводников имеет место в случае малых степеней легирования(менеечем1016 см–3).Однакосвязанныесдискретно- стью примесного заряда неоднородности потенциала у поверхности с делокализованными электронными состояниями высокой

плотности (~1014 ÷1015 см–2 эВ–1) достигают заметных величин (порядка kT при комнатной температуре) при концентрациях электроактивной примеси, превышающих 1018 см–3. Данный результат был получен в предположении равномерного распределения примеси по объему вплоть до поверхности. Такое состояние при наличии приповерхностного изгиба зон может изменяться вследствие процесса направленной диффузии во встроенном электрическом поле. Теоретические оценки и эксперимент

44

показывают [15, 16, 21], что при активизации диффузии заряженной примеси внедрения при относительно невысоких температурах (T~400÷700К) в приповерхностной области полупроводника

формируется резкий концентрационный профиль N (z) (z – координата, направленная нормально к поверхности в глубь полупроводника). В частности, равновесное значение концентрации на поверхности мелкой примеси при изгибах зон U0 >> kT может быть вычислено из выражения N(0)= N0 exp(U0 kT ), где N0 – уровень легирования. Таким образом, в ряде случаев область пространственногозарядаоказываетсясущественноболеелегированной, чем остальной объем.

Данный факт при определении неоднородностей поверхностного потенциала имеет несколько аспектов. Прежде всего равновесное распределение примеси предполагает высокую вероятность близкого расположения к поверхности точечных зарядов, что влечет за собой значительные локальные перепады поверхностного потенциала. Однако значительное увеличение концентрации примеси при относительно небольшом сокращении мас-

штаба обедненной области (примерно в U0 kT раз) может привести к известному статистическому усреднению неоднородностей по большому количеству частиц. Кроме того, при накоплении электроактивных дефектов растет сила их взаимодействия, определяющая корреляцию в распределении дискретных зарядов. В любом случае представление о распределенном заряде у поверхностиполупроводниканеочевидноитребуетдополнительногоисследования. Попытаемся оценить влияние накопления примеси на структуру объемного заряда и определить связанные с дискретностью заряда в обедненной области полупроводника неоднородности поверхностного потенциала при равновесном распределении примеси. В дальнейшем, как и ранее, будем рассматривать случай мелкой однозарядной примеси (например, доноров) и больших изгибов зон, для которого известно аналитическое выражение для распределения примеси, и следует ожидать наиболее сильноеизменениенеоднородностейповерхностногопотенциала.

45

Чтобы определить среднее расстояние между ближайшими друг к другу электроактивными дефектами <lij>, необходимо записать функцию плотности их распределения. Получаемые в гидродинамическом приближении равновесные профили концентрации примеси имеют в основном экспоненциальный характер

(6.1):

где масштаб изменения L порядка длины экранирования

l= εkT8πe2n, которая при заданной температуре определяется параметрами системы: диэлектрической проницаемостью полупроводника ε и объемным значением концентрации свободных электронов n. В случае мелкой примеси при температурах ниже диапазона собственной проводимости можно с хорошим приближением полагать, что n≈ N0 . С учетом равновесного концентрационного профиля (6.1) имеем (6.2)

Функция f (z), определенная на промежутке [0; ∞), выражает собой плотность вероятности обнаружить примесный атом в интервале расстояний от поверхности z ÷z +dz. Можно определить

среднее значение искомой величины lij = N−1/3 (6.3):

Проведемвычисленияхарактерныхдлин.Полагаязначенияпа-

раметров системы N0 = 1015 cм–3, U0 = 0,3 эВ, ε = 12 (для Si),T = 600

K.Получаем<lij>≈20нмиL ≈130нм.Такимобразом,приуказанных параметрах ширина области обеднения примерно в шесть раз больше <lij>. В данных условиях с хорошим приближением можно полагать, что <lij>/L << 1, и пренебречь дискретностью примесного заряда. Однако вследствие экспоненциальной зависимости

46

<lij> от величины изгиба зон данное соотношение может сильно изменяться. К тому же приведенная оценка не учитывает особенности кулоновского потенциала и характер его экранирования у поверхности.

Оценкувозможнойкорреляцииврасположениипримесныхдефектов под поверхностью полупроводника предлагается провести посредствомсравненияэнергиипарногоэлектростатическоговзаимодействияионизованныхатомовпримесисиххарактернойтепловой энергией. Равенство этих величин определяет граничные параметры системы, при которых нельзя считать атомы примеси невзаимодействующими (6.4):

В соотношении (6.4) следует подставить значение концентрации N = N (0),какнаибольшееизвозможных.Расчетдлякремния

с уровнем легирования N0 =1015 см–3 показывает, что влиянием взаимодействия примесных атомов можно пренебречь, если формирование равновесного распределения при изгибе зон 0,3 эВ происходит при температурах выше 360 K. Таким образом, в большинстве случаев несильно легированных систем с хорошим приближением имеем пуассоновский ансамбль заряженных частиц, распределенных в области у поверхности полупроводника.

Для более детального анализа будем использовать результат, полученный в работе [15], для равновесного распределения примесного заряда (6.5, а):

Выражение (6.5, а) легко раскладывается в ряд по степеням exp(−z /l) (6.5, б):

47

Учитывая условие U0 >> kT, при определении объемного заряда у поверхности в разложении (6.5, б) можно пренебречь единицей в скобках (6.5, в):

∞

N (z)≈4N0 ∑ j thj (U0 4kT )exp(− jzl). (6.5, в)

j=1

При этом с хорошим приближением выражается та часть примесного заряда, которая не экранирована в обедненном приповерхностном слое. Соответствующая величина поверхностной концентрациизарядаNS определяетсяинтегрированиемN(z)(6.6):

Дальнейшее изложение в основном аналогично приведенному в главе 4. Потенциальную энергию электрона в поле i-го однозарядного донора в плоскости поверхности вне диэлектрической среды запишем в виде:

где ρ – радиальная координата в плоскости локализации электрона; di – удвоенное расстояние i-го кулоновского центра до этой плоскости.Фурье-образ(6.7)вполярнойсистемекоординатопре- деляется выражением (6.8)

где q – величина волнового вектора в плоскости поверхности. Экранированный потенциал, созданный i-м кулоновским центром на поверхности, определяется стандартным методом (6.9):

где J0(s) – функция Бесселя нулевого порядка; Ui(q) = Vi(q)/k(q) – Фурье-образ экранированного потенциала; k(q) – функция

48

диэлектрического отклика среды. Выбор вида k(q) регламентируетсясостояниемдвумерногоэлектронногогазанаповерхностиполупроводникаистепеньюнеоднородностивозмущения.Впределе высокихтемператур,т.е.классическойстатистикиповерхностных электронов при наличии свободной поверхности, функция диэлектрического отклика имеет вид [28] (6.10)

где qs(q) – параметр экранирования в двумерной электронной системе. Указанная величина пропорциональна поверхностной концентрации заряда (6.11)

где λ = 2π 2mkT ; m – масса электрона в поверхностной зоне. Фигурирующая в выражении (6.11) g1 (x)= 2π Φ(x /4π)/ x определена через действительную часть дисперсионной функции. Несобственный интеграл в смысле главного значения Φ(y) выражается через функцию ошибок мнимого аргумента [30] (6.12)

При относительно небольшой неоднородности возмущения, т. е. при выполнении неравенства λq <<1, можно воспользоваться асимптотическимивыражениямидлямалыхаргументов: Φ(y)≈ 2y и g1 (λq)≈1. В случае больших изгибов зон для большинства гармоник справедливо также соотношение q <<qs, при котором функцию диэлектрического отклика (6.10) можно приближенно представить в виде (6.13)

49

Используя преобразование (6.9) и выражение (6.13), получаем экранированный потенциал в плоскости поверхности (6.14):

Для вычисления характерной величины неоднородности поверхностного потенциала необходимо произвести усреднение (6.14) по параметру di (с учетом плотности распределения примеси) и по площадке на поверхности с произвольным радиусом R. Темсамымопределяетсясреднийвкладодногозаряда<Ui > в суммарный потенциал. Прежде построим функцию плотности вероятности f(di). С учетом равновесного распределения (6.5, в) и выражения (6.6) имеем (6.15)

f (di )= 1−th(U0 /4kT ) ∑ j thj (U0 /4kT )exp(− jdi /2l). (6.15)

∞

2l th(U0 /4kT ) j=1

Вычисление соответствующего двойного интеграла приводит к выражению для <Ui > через специальные функции [30] (6.16):

гдеH1(x) и N1(x)–функцииСтрувеиНейманапервогопорядкасо- ответственно. В дальнейшем интерес будет представлять асимптотическое поведение разности данных специальных функций при малых аргументах:

Зная дисперсию количества точечных зарядов в характерном объеме πR2l у поверхности для пуассоновского ансамбля, можно

50