Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

№ 4245 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

Е.В. Твердохлебова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

Дифференциальные уравнения старшего порядка

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2020

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие предназначено для самостоятельного повторения и усвоения материала, который предлагается на занятиях

ваудитории. Изложение материала в данном пособии соответствует последовательности преподавания его в аудитории.

Каждый раздел сопровождается теоретическими сведениями

вобъеме, необходимом для понимания рассматриваемых алгоритмов. При необходимости изложение дополнено сведениями из других разделов математики, например линейной алгебры или основ операционного исчисления теории функции комплексной переменной.

Изложение материала в данном пособии предполагает, что студентами уже изучена часть курса по дифференциальным уравнениям первого порядка, представленная в пособии 3457. При использовании алгоритмов, описанных в этом пособии,

втексте указываются ссылки на соответствующие разделы. Каждый раздел содержит большое количество задач с подроб-

но изложенным решением и задач для самостоятельного выполнения с ответами, что окажет помощь при самостоятельном изучении предмета.

5

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАРШИХ ПОРЯДКОВ

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ЛДУ) n-го порядка называется уравнение вида

F(x, y, y′, y′′, ..., y ( n )) = 0,

где F – известная функция (n + 2) переменных, определенная

вобласти G Rn+2 ;

x – независимая переменная из интервала (a, b); y = y(x) – неизвестная функция;

n – порядок уравнения.

Дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями в нормальной форме:

y(n)(x) = f(x, y, y′, y′′, ..., y(n – 1)).

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет уравнению для всех x (a, b).

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет бесконечное множество решений, зависящих от значений констант. Общее решение имеет вид

y(x,C1,C2, , Cn ) .

Чтобы выделить единственное частное решение уравнения, при котором константы С1, С2, …, Сn принимают определенные значения, достаточно задать условия однозначности, которые в данной задаче называют начальными условиями:

y(x0 ) = y0, y′(x0 ) = y0,1, y′′(x0 ) = y0,2, ,y(n−1) (x0 ) = y0,n−1 ,

где y0, y0,1, y0,2, ,y0,n−1 – константы.

Задача отыскания частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши. При определенных ограничениях на правую часть уравнения в нормальной форме задача Коши имеет единственное решение.

6

Справедлива следующая теорема существования и един-

ственности решения задачи Коши: если функция f в правой части уравнения y(n) = f(x, y, y′, y′′, ..., y (n – 1)) и ее частные про-

изводные по переменным y, y′, y′′, ..., y(n – 1) непрерывны в обла-

сти G Rn+2 , то для любой точки (x0, y0, y0,1, y0,2, ..., y0,n-1) G на некотором интервале (x0 – h, x0 + h) существует единственное

решение y(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

y(x0) = y0, y′(x0) = y0,1, y′′(x0) = y0,2, ..., y(n – 1) (x0) = y0, n – 1.

1.1. Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим несколько типов уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Уравнение разрешимо относительно производной, правая часть не содержит неизвестной функции и ее производных:

y(n) = f(x).

Тогда решение находится в результате последовательного n-кратного интегрирования правой части.

Пример 1.1. Найти общее решение y(3) = 2 .

Решение. x3

Обозначим y(2) (x) = g(x) , тогда

g(x) = −x12 +C1 . Далее аналогично предыдущему

7

II. Уравнение содержит только старшие производные неизвестной функции y(x) и не содержит саму функцию и ее младшие производные:

F(x, y(k), y(k + 1), … y(n) = 0.

Пусть z =ϕ(x,C1,C2,…,Cn−k ) – общее решение этого уравнения, тогда функция y(x) может быть найдена интегрированием урав-

Получено уравнение с разделяющимися переменными (см.

8

Общее решение получается интегрированием уравнения (1):

после двукратного интегрирования находим общее решение:

3

y(x) = ±34 (x +C1)2 +C2x +C3 , где C1, C2, C3 – константы.

Рассмотрим решение алгебраического уравнения (2): z = y′′=0 ,

откуда после двукратного интегрирования найдем

y(x) = C4 x + C5,

где C4, C5 – константы.

Очевидно, что это решение невозможно получить из общего ни при каких значениях констант и поэтому решение является самостоятельным.

(1+x2 )y′′+2xy′=12x3 .

Решение.

Дифференциальное уравнение не содержит y(x). Замена функции y′=z(x) , y′′=z′(x) .

Получим дифференциальное уравнение (1+x2 )z′+2xz =12x3 ,

которое можно записать также в виде

9

где 1+x2 ≠0, x R .

Теперь видно, что уравнение является линейным относительно z(x) (см. разд. 2.3 пособия 3457).

Линейное уравнение может быть решено, например, методом Бернулли: будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций z(x) = u(x) · υ(x). Для определения вида функций u(x) и υ(x) выполним действия в соответствии с алгоритмом Бернулли.

1. Решаем однородное линейное уравнение:

υ′+1+2xx2 υ=0 , dxdυ = −12+xx2 υ ,

dυυ = −12+xx2 dx , ln υ = −ln 1+x2 ,

ненулевое частное решение этого уравнения υ(x) =1+1x2 .

2. Полученное частное решение подставляем в исходное урав-

10