Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

836 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Подставим найденные производные y(t) во второе уравнение:

x(4) −4x +4x +4(x −4x +4x)

y y

+4(x −4x +4x) −25x =16et .

Раскроем скобки, приведем подобные и получим линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно x(t) с квазимногочленом Эйлера в правой части:

x(4) −8x −9x =16et .

Решаем это неоднородное уравнение методом неопределенных коэффициентов.

Характеристическое уравнение

k4 – 8k2 – 9 = 0, k1,2 = ±3, k3,4 = ±i. Общее решение однородного ЛДУ

x(t) =C1e3t +C2e−3t +C3 cost +C4 sint .

Частное решение неоднородного ЛДУ будем искать в виде x(t) = Aet .

Методом неопределенных коэффициентов находим:

Aet −8Aet −9Aet =16et ,

A – 8A – 9·A = 16,

A = –1.

Общее решение x(t) =C1e3t +C2e−3t +C3 cost +C4 sint −et .

Ищем решение y(t). Воспользуемся найденным соотношением из первого уравнения исходной системы:

y =x −4x +4x .

Продифференцируем дважды найденное выражение x(t): x =3C1e3t −3C2e−3t −C3 sint +C4 cost −et ;

x =9C1e3t +3C2e−3t −C3 cost −C4 sint −et . Подставим

y =9C1e3t +3C2e−3t −C3 cost −C4 sint −et

−4(3C1e3t −3C2e−3t −C3 sint +C4 cost −et )+

x =3x −2y +t,y =3x −4y.

		+4(C1e3t +C2e−3t +C3 cost +C4 sint −et )=
	=C e3t	+25C e−3t +(3C −4C )cost +(3C +4C )sint −et .
	1	2	3	4	4		3
Ответ:
x(t) =C e3t +C e−3t +C cost				+C sint −et,
	1	2	3		4
y(t) =C e3t +25C e−3t +(3C −4C )cost +(3C +4C )sint −et.
	1	2	3		4	4	3
	1	2	3		4	4	3

Пример 1.48.

Решение.

Из первого уравнения выразим 2y =3x −x +t , продифференцируем

2y =3x −x +1

и подставим во второе уравнение:

2y =6x −8y ,

3x −x +1 =6x −4 (3x −x +t),

2y	2y

3x −x +1−6x +4 (3x −x +t)=0 , x +x −6x =4t +1 .

Получено линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с квазимногочленом Эйлера справа.

Характеристическое уравнение

k2 + k – 6 = 0, k1 = –3, k2 = 2.

Общее решение однородного ЛДУ x(t) =C1e−3t +C2e2t . Частное решение неоднородного ЛДУ будем искать в виде

x(t) = At + B . Дифференцируем

x = A , x =0

и подставляем в дифференциальное уравнение:

A – 6 (A t + B) = 4 t + 1,

					−6A =4,																						4													2
																		A = −																= −										,
																		A = −									6							= −						3				,
											10																6													3
											10
					−6B				=					,													10																	5
					−6B				=					,													10																	5
											6							B = −																			= −											.
											6							B = −									36										= −						18					.
																											36																18
Общее решение: x(t)									=C e−3t +C e2t −																								2				t −						5				.
Общее решение: x(t)									=C e−3t +C e2t −																												t −										.
Ищем y(t):											1											2									3												18
																															3												18

										y =					3	x −					1			x		+			t					,
										y =					2	x −					2			x		+								,
															2						2						2
где
					x(t) =C e−3t												+C e2t −														2				t −						5					,
					x(t) =C e−3t												+C e2t −																		t −											,
											1										2										3									18
																															3									18
							x = −3C e−3t +2C e2t −																																2			,
							x = −3C e−3t +2C e2t −																																			,
														1												2												3
																																						3
тогда
y =	3	C e		−3t	+C e	2t		−	2		t −				5					−		1				−3C e												−3t							+2C e				2t	−	2	+	t	=


		1			2				3																									1														2			3		2
	2								3					18									2																												3		2
					=3C e−3t +												1		C e2t −													t				−				1					.
					=3C e−3t +												2		C e2t −											2						−		12							.
									1								2				2									2								12
			x(t) =C e				−3t		+C e						2t		−			2		t −				5						,
			x(t) =C e						+C e								−					t −										,
					1						2									3						18
Ответ:												1												t				1
		y(t) =3C e−3t +										1	C e2t −											t	−			1								.
		y(t) =3C e−3t +											C e2t −												−											.
					1						2				2							2					12
											2											2					12

x = y,

Пример 1.49. y =z,

z =x.

Решение.

Дифференцируем первое уравнение:

x = y =z,y =z,

z =x.

Еще раз дифференцируем первое уравнение:

x =z =x,

y =z,z =x.

Решаем линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

x −x =0 .

Характеристическое уравнение

k 3 – 1 = 0, k1 = 1, k2,3 = −1±23 .

Общее решение

		1					1
x(t) =C et +C e−			t	cos	3	t +C e−		t sin	3	t .
		2					2

1	2				2	3			2

Функцию y(t) найдем из уравнения y =x.

									1															′
							−		1		t					3					3
							−				t					3					3
y = C1et					+e				2				C2 cos				t +C3 sin					t =
y = C1et					+e				2				C2 cos				t +C3 sin					t =
																2					2
																2					2
										1
=C1et −					1			−		1		t				3					3
					1			−				t				3					3
						e				2			C2 cos					t +C3 sin					t +
						e				2			C2 cos					t +C3 sin					t +
					2											2					2
					2											2					2
		1	t
+e	−	1		−C2						3					3	t +C3			3		3
	−									3					3				3		3
		2												sin						cos				t .
		2												sin						cos				t .
										2					2				2		2
										2					2				2		2

Аналогично находим функцию z(t) из уравнения z = y .

Самостоятельно найти общее решение:

x =5x −3y +2e3t, 1) y =x +y +5e−t;

x =2x −4y, 2) = − + t

y x 3y 3e ;

	x		=2x −y,
3)
	y = y −2x +18t.
Ответы:
	x(t) =C e2t			+3C e4t −e−t −4e3t,
1)			1	2
1)		y(t) =C e2t +C e4t −2e−t −2e3t;
		y(t) =C e2t +C e4t −2e−t −2e3t;
			1	2
			1	2
	x(t) =4C et			+C e−2t −4t −et,
2)			1	2
2)		y(t) =C et +C e−2t −(t −1)et;
		y(t) =C et +C e−2t −(t −1)et;
			1	2
	x(t) =C e3t			+C +3t2 +2t,
3)			1	2
3)		y(t) = −C e3t +2C +6t2 −2t −2.
		y(t) = −C e3t +2C +6t2 −2t −2.
			1	2
			1	2

2. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ

2.1. Понятие оригинала и изображения функции, преобразование Лапласа

Рассмотрим функцию f(t):R→C, обладающую следующими свойствами:

1)f(t) = 0, t < 0;

2)для любого интервала[a,b] R функция имеет конечное число разрывов первого рода;

3)рост функции f(t) можно оценить при помощи функции

экспоненты: можно указать вещественные константы M > 0 и s ≥ 0, такие что f(t) < Mest для любых значений аргумента t R, s – показатель роста функции.

Функцию, обладающую перечисленными свойствами, называют оригиналом.

Рассмотрим функцию Хэвисайда:

1,t ≥0,

η(t) =

0,t <0.

Очевидно, что для функции η(t) выполняются свойства (1)–

(3). Функцию, имеющую значение константы 1, можно оценить сверху любым вещественным М > 1, при этом справедлива оценка

η(t) < Me0 t M R, M >1.

Поэтому функция Хэвисайда является оригиналом с показателем роста s = 0. Эту функцию называют единицей на множестве оригиналов.

Заметим, что если для некоторой произвольной функции f(t) выполнены условия (2) и (3), то для функции f(t) η(t) выполняются свойства (1)–(3), и она является оригиналом.

Рассмотрим несобственныйт интеграл первого рода, который называется преобразованием Лапласа:

+∞

F(p) = ∫ e−ptf(t)dt, p C .

Интеграл, зависящий от комплексного параметра p, сходится абсолютно в полуплоскости Re p > s.

Функцию F(p) называют изображением. Очевидно, что каждому оригиналу f(t) можно поставить в соответствие изображение F(p) и притом единственное.

Преобразование Лапласа является может быть использовано для решения линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ)

исистем ЛДУ. Прежде всего, мы рассмотрим алгоритм получения изображений для элементарных функций как при помощи интеграла Лапласа, так и с использованием свойств оригиналов

иизображений и составим таблицу оригиналов и изображений. Далее перейдем к рассмотрению алгоритмов решения ЛДУ.

Найти изображение функции.

1,t ≥0,

Пример 2.1. η(t) =

0,t <0.

Решение.

Функция Хэвисайда является оригиналом с показателем роста функции s = 0, поэтому изображение сходится абсолютно в правой комплексной полуплоскости Re p > 0.

Вычислим интеграл

+∞

F(p) = ∫ e−pt 1dt .

Для вычисления несобственного интеграла необходимо найти первообразную и ее значения в предельных точках промежутка интегрирования:

+∞

F(p) = ∫ e−pt 1dt = −

e−pt

(

)= −

= −

tlim→+∞ e−pt −e0

(0 −e0 )=

Ответ: 1 ↔ 1p .

Замечание: следует выделить основные результаты, которые будут получены при решении примеров для того, чтобы использовать их для последующих целей.

Пример 2.2. f(t) =η(t) eat, a C .

Решение.

Функция eat удовлетворяет условиям (2) и (3) с показателем роста s = Re a > 0:

eat < M eRea t a C, M R, M >1 .

Действительно, по формуле Эйлера для экспоненты комплексного аргумента мы имеем

et a =et Rea (cos(t Ima)+isin(t Ima)),

где Re a – вещественная часть a, Im a – мнимая часть комплексного числа а,

eat =eRea t – модуль комплексной функции. Поэтому

eat < M eRea t M >1, t ≥0 .

Тогда

		+∞				+∞
	F(p) = ∫ e−pt eat dt = ∫ et(a−p) dt =
0						1
1		et(a−p)	+∞	1		(limt→∞ et (a−p) −e0 ),

=				=
	a − p		0		a − p

где

et (a−p) =et Re(a−p) ei t Im(a−p) =

=et Re(a−p) (cos(t Im(a − p))+i sin(t Im(a − p))).

Вэтом произведении сомножитель

cos(t Im(a − p))+i sin(t Im(a − p))

ограничен, поэтому результат зависит от показателя экспоненты

et Re(a−p) :

если Re(a – p) < 0, то limet (a−p) =0 и интеграл сходится;

t→∞

если Re(a – p) > 0, то limet (a−p) =∞ и интеграл расходится.

t→∞

Вывод: интеграл сходится в полуплоскости Re p > Re a.

Окончательно получим

F(p) = a 1− p (0 −e0 )= p1−a .

Ответ: eat ↔ p1−a .

Пример 2.3. f(t) =η(t) t .

Решение.

Функция удовлетворяет условиям (1)–(3), показатель роста

s = 1, так как

Тогда

<e1 t

t ≥0 .

+∞

u =t,du =dt

+∞

F(p) = ∫ e−pt t dt

= −

dυ=e

−pt

dt, υ= −

−pt

p e

= −

lim

0 +

t→+∞ e

Вычислим предел, применив правило Лопиталя:

L = lim

= lim

=0 ,

→+∞ ept

t→+∞ p ept

тогда

F(p) = −

(

0 +0)+

0 +

Ответ: t ↔

Полученные результаты могут быть использованы при построении изображений для других функий. Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят строить изображения, используя готовые результаты вычисления интегралов Лапласа.

Замечание: произведение f(t)·η(t) делает любую непрерывную функцию оригиналом, поэтому впредь умножение на функцию Хэвисайда будем считать выполненным по умолчанию.

2.2.Свойства изображений и оригиналов

2.2.1.Изображение для линейной комбинации

оригиналов

Если существует соответствие оригиналов и изображений f1(t) ↔ F1(p), f2 (t) ↔ F2 (p), ,fn (t) ↔ Fn (p) ,

тогда для линейной комбинации оригиналов

f(t) =c1f1(t) +c2f2 (t) + +cnfn (t)

существует изображение, равное линейной комбинации изображений

F(p) =c1F1(p) +c2F2 (p) + +cnFn (p) .

Найти изображение функции.

Пример 2.4. f(t) =5 +6e3t .

Решение.

Запишем оригинал в виде f(t) =5 1+6 e3t , где известны уже вычисленные изображения для функций:

1 ↔ 1p (пример 2.1);

e3t ↔ p1−3 (пример 2.2).

Тогда F(p) =5 1p +6 p1−3 .

Ответ: F(p) = 5p + p6−3 .

Пример 2.5. f(t) =cost .

Решение.

В теории функции комплексной переменной функция cos t определяется как линейная комбинация экспонент:

cost = 12 (eit +e−it ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]