Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

836 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Отсюда

Y(p) =

− p X(p) −1,

− p

X(p) −1

= X(p) +

(*).

Из уравнения (*) найдем X(p):

X(p) (p2 +1) = −

+2 − p ,

X(p) = −

−

p(p2 +1)

p2 +1

В итоге

X(p) = −

−

p(p2

+1)

p2 +

p2 +1

= −

−

= −

p2 +1

Y(p) =

− p −

−1 =

−

Восстановим оригиналы, используя разложение на простей-

шие дроби:

X(p) = −

↔ −1

+2sint,

Y(p) =

−

↔2 −2cost.

Ответ:

x(t) = −1+2sint,

y(t) =2

−2cost.

121

3x	+2x +y	=1,	x(0) =0,
Пример 2.47.		=0,		=0.
x +4y +3y			y(0)

Решение.

Система дифференциальных уравнений линейна, но не разрешена относительно производных неизвестных функций. Решение можно проводить, не выполняя дополнительных преобразований и переходя к изображениям в правой и левой частях обоих уравнений.

Предположим, что x(t) ↔ X(p), y(t) ↔ Y(p) , тогда

x(t) ↔ p X(p) −x(0) = p X(p),

y(t) ↔ p Y(p) −y(0) = p Y(p) .

Тогда

3pX(p) +2X(p) + pY(p) =

pX(p) +4pY(p) +3Y(p) =0;

(3p +2)X(p) + pY(p) =

+3)Y(p) =0;

pX(p) +(4p

Y(p) =

−(3p +2)X(p) ,

pX(p)

+(4p +3)

−(3p +2)X(p) =

0 (*).

Из уравнения (*) найдем X(p):

pX(p) +

4p +3

−

(4p +3)(3p +2)

X(p) =0 ;

(4p

+3)(3p +

4p +3

X(p) p

−

= −

;

(4p +3)(3p +2)

4p +3

X(p) = p −

= −

−(4p +3)(3p +2)

= −

4p +3

p (p2 −(4p +3)(3p +2))

p (11p2 +17p +6)

122

Выполним разложение на простейшие дроби:
X(p) =	4p +3	=	A	+	B		+		C	.
	p(p +1)(11p +6)		p		p +	1		11p +6

Методом неопределенных коэффициентов, описанным в раз-

деле 2.3.1, находим
						A =		1	, B = −				1		, C = −					33		.
						A =			, B = −				5		, C = −					10		.
							2						5							10
Отсюда
		1	1		1		1				3		1						1		1			−t		3	−	6	t
		1	1		1		1				3		1						1		1			−t		3	−		t
X(p) =				−						−								↔		−			e		−		e 11			.
X(p) =		2	p	−	5		p +1			−	10	p +				6		↔	2	−	5		e		−	10	e 11			.
												p +			11
															11
Найдем Y(p), используя соотношение
	1	1											1					3p +2							4p +3
Y(p) =				−(3p +2)X(p)								=					−														.
Y(p) =	p			−(3p +2)X(p)								=		p		2	−		p				p(p		+1)(11p +6)						.
	p	p												p					p				p(p		+1)(11p +6)

Выполним разложение второго слагаемого на простейшие

дроби:
	(4p +3)(3p +2)													=				A		+			B					+					C				+						D			.
	p2 (p +1)(11p +6)													=				p		+			p2					+			p +1						+			11p +6						.
	p2 (p +1)(11p +6)																	p					p2								p +1									11p +6
Методом неопределенных коэффициентов находим
			A =0,							B =1, C = −																1			,				D =					11				.
			A =0,							B =1, C = −																			,				D =									.
																									5														5
Тогда
					1						1					1				1										11									1
	Y(p) =							−						−													+																	=
	Y(p) =							−						−						p +1							+								11p +									=
						p2			p2							5				p +1											5				11p +								6
		1			1					1				1											1							−t				1					−		6	t
		1			1					1				1											1							−t				1					−			t
=									−												↔							e						−					e 11						.
=		5		p +1					−	5		p +					6				↔				5			e						−		5			e 11						.
												p +					11
																	11
			1				1	e−t −						3						−		6		t
x(t) =			1		−		1							3				e 11							,
x(t) =			2		−		5						10					e 11							,
			2				5						10
Ответ:															6
			1				−t			1			−		6			t
			1				−t			1			−					t
y(t) =					e				−		e			11					.
y(t) =			5		e				−	5	e			11					.
			5							5

123

Самостоятельно решить задачу Коши:

1)	x	=2y,					x(0) =2,
1)
	y =2x,						y(0) =2;
	x	=3x +4y,														x(0) =1,
2)																						=1;
	y =4x −3y,															y(0)						=1;
3)	x	=2x +3y +1,																	x(0) = −1,
3)
	y =4x −2y,																		y(0) =0;
												t		,									x(0) =0,
4)	x	+y −y =e												,									x(0) =0,
4)																									y(0)			=0.
	2x +y +2y =cost,																								y(0)			=0.

Ответы:
									2t
	x(t) =2 e								2t			,
1)	x(t) =2 e											,
1)
	y(t) =2 e2t;

			6							5t						1				−5t
	x(t) =						e							−				e					,
	x(t) =		5				e							−		5		e					,
2)			5													5
2)			3													2
			3						5t							2				−5t
	y(t) =					e							+					e					;
	y(t) =		5			e							+			5		e					;
			5													5
					1									9					4t					5				−4t
	x(t) = −								−								e				−						e		,
	x(t) = −				8				−			16					e				−		16				e		,
3)					8							16											16
3)					1							3										5
					1							3						4t				5					−4t
	y(t) = −								−						e					+				e				;
	y(t) = −				4				−			8			e					+		8		e				;
					4							8										8
				t						11								4t					3							5			1
	x(t) =e						−									e				−						cost +					sint −			,
	x(t) =e						−			34						e				−		17				cost +				17	sint −		2	,
4)										34												17								17			2
4)					2											22											4				1
					2						t					22					4t						4				1
	y(t) = −							e					+						e					+				cost −				sint.
	y(t) = −				3			e					+			51			e					+		17		cost −			17	sint.
					3											51										17					17

124

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном учебном пособии обычный объем изложения курса дифференциальных уравнений старших порядков, включающий в том числе решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами традиционно излагаемыми методами Лагранжа и Эйлера, дополнен методами, основанными на применении к функциям и их производным преобразования Лапласа. Данный способ решения ЛДУ чаще всего излагается в курсе теории функции комплексной переменной и требует от учащихся некоторых базовых знаний в этой области. В то же время применение методов, принадлежащих разным разделам математической науки, значительно расширяет кругозор и позволяет самостоятельно заметить некоторые закономерности и аналогии.

125

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 271 с.

2.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. 295 с.

3.Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970. 331 с.

4.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1973. 127 с.

5.Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

6.Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: учебник для вузов. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. 228 с. (Сер. Математика

втехническом университете; Вып. XI).

7.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Главная редакция физико-математической литературы, 1968. 416 с. (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов.)

8.Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного (с элементами операционного исчисления). М.: Лань, 2002. 292 с.

126

Учебное издание

Твердохлебова Елена Валентиновна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

Дифференциальные уравнения старшего порядка

Учебное пособие

Редактор Т.В. Суханова

Компьютерная верстка И.В. Баратовой

Подписано в печать 10.04.20 Уч.-изд. л. 8 Формат 60 × 90 1/16

Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4

Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. 8 (495) 638-44-06

Отпечатано в типографии Издательского Дома НИТУ «МИСиС», 119049, Москва, Ленинский пр-т, 4 Тел. 8 (495) 638-44-16, 8 (495) 638-44-43

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1313

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]