Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

836 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

limln

−ln

lim

−ln

4 + p

z→∞

4 +z

z→∞ 4

ln1=0

p2 +4

−ln

+ p

Ответ: F(p) =

Пример 2.23. f(t) =

1−eat

Решение.

Проверим выполнение условия

lim

f(t)

= − lim

eat

−1

a = −a ≠ ∞ .

t→0+0

→0+0 at

Воспользуемся уже полученным результатом:

eat 1 ↔

p −a

1−eat ↔

−

p −a

Отсюда

1−eat

+∞ 1

(lnz −ln(z −a))

+∞

↔ ∫

−

= ln

−a

z −a

= lim ln

−ln

=ln

p −a

z −a

−a

z→+∞

Ответ: F(p) =ln p −p a .

Пример 2.24. f(t) =1−cost .

Решение. t

Проверим выполнение условия

1−cost

2sin

2 t

sin

lim

= lim

sin

=1 0 ≠ ∞ .

t→0+0

Воспользуемся уже полученным результатом:

1−cost ↔

−

p2 +1

Тогда

1−cost

+∞

↔

∫

−

dz =

lnz

−

ln(z

+1)

p z

z +1

lim ln

−ln

p2 +1

z→+∞

Ответ: F(p) =

p2 +1

Пример 2.25. f(t) =

eat sin2 t

Решение.

Проверим выполнение условия

lim eat

sint

sint =1 1 0 =0 ≠ ∞ .

t→0+0

Воспользуемся уже полученным результатом:

sin2 t =

−

cos2t ↔

−

p2 +4

eat sin2 t ↔

−

p −a

−a

(p −a)2 +4

Отсюда

eat sin2 t

+∞

z −a

↔

∫

−

dz ;

−a

(z −a)

(z −a)2

+∞

F(p) =

ln(z −a) −

((z −a)

+4) =

(z −a)

lim ln

(z −a)2

−ln

(p −a)2

(p −a)2 +4

(z −a)

z→+∞

(p −a)

Ответ: F(p) =

(p −a)2 +4

(p −a)2

Самостоятельно:

1) f(t) =

sint

;

2) f(t) =

sh t

;

f(t) =

1−ch t

eat t

Ответы:

1) arctg

;

p −1

;

p +a

p +1

p2 −1

2.2.7. Умножение изображений

Пусть функции f1(t), f2 (t) являются оригиналами, которым соответствуют изображения f1(t) ↔ F1(p), f2 (t) ↔ F2 (p) .

Рассмотрим операцию свертки двух оригиналов:

f1(t) f2 (t) = ∫t1(t −τ) t2 (τ)dτ.

Теорема Бореля о свертке: f1(t) f2 (t) = F1(p) F2 (p) .

Найти изображение функции.

Пример 2.26. ∫cos(t −τ) e−2τdτ.

Решение.

Интеграл является по сути сверткой двух функций:

∫cos(t −τ) e−2τdτ=cos(t) (1 e−2t ) ,

которой соответствует изображение

cos(t) (1 e−2t ) ↔ p2p+1 p1+2 .

Ответ: F(p) = p2p+1 p1+2 .

Пример 2.27. ∫(t −τ)2 cos2τdτ .

Решение. 0

Интеграл является сверткой двух функций:

∫(t −τ)2 cos2τdτ=(t2 1) (cos2t) ,

где

		cos2t ↔		p		,
		cos2t ↔				,
			p2 +4
	2	2		1 ″			2
t		1 ↔(−1)			=				.
t		1 ↔(−1)			=		p	3	.
				p			p

Ответ: F(p) = p23 p2p+4 .

Пример 2.28. ∫τ et−τ sin(t −τ)dτ.

Решение 0

Интеграл является сверткой двух функций:

∫τ et−τ sin(t −τ)dτ=(t 1) (et sint) ,

где

1 ′

t 1 ↔

(−1)

et sint ↔

(p −1)2

Ответ: F(p) =

(p −1)2

−e−τ

Пример 2.29.

∫

dτ.

Решение.

Заметим, что как и в предыдущих примерах

∫t 1−τe−τ dτ=1 1−te−t ,

где 1 ↔ 1p .

Найдем изображение функции 1−e−t : t

1) проверим условие теоремы об интегрировании изображе-

ния:

lim

1−e−t

=1 ;

t→0+0

2) 1−e−t 1 ↔

−

;

p +1

1−e−t

+∞

=(lnz −ln(z +1))

+∞

↔

∫

−

z +

+∞

=ln

p +1

z +1

Ответ: F(p) =

p +1

Обобщим полученные результаты в таблице, которую можно будет использовать для быстрой записи изображений и, кроме того, для восстановления оригиналов по изображению.

Таблица изображений основных функций:

f(t)

F(p)

f(t)

F(p)

sinωt

p2 +ω2

chωt

pn+1

p2 −ω2

eat

shωt

p −a

p2 −ω2

tneat

eat cosωt

p −a

(p −a)n+1

(p −a)2 +ω2

cosωt

eat sin

ωt

p2 +ω2

(p −a)2 +ω2

2.3. Восстановление оригинала по изображению

2.3.1.Восстановление оригинала разложением на простейшие дроби

Рассмотрим алгоритм восстановления оригинала для рацио-

нальной дроби	Pm (p)	, где P (p),	Q (p) – многочлены с действи-

	Qn (p)	m	n

тельными коэффициентами степеней соответственно m и n.

Из алгебры многочленов известно, что правильную рациональную дробь (m < n) можно представить в виде суммы простей-

ших дробей вида
	A	,	A	,	Ap + B	,	Ap + B	.
	p −a		(p −a)k		p2 +αp +β		(p2 +αp +β)l

Для этого необходимо найти корни знаменателя рациональной дроби и представить его в виде произведения неприводимых множителей, а затем воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим алгоритм разложения рациональной дроби на простейшие дроби на примерах.

Найти оригинал для функции.

Пример 2.30. 2p2 −2p −4 .

Решение.

Заметим, что дробь правильная, так как степень числителя строго меньше степени знаменателя, и запишем дробь в виде

F(p) =	3	p	.
	2	p2 − p −2

Найдем корни знаменателя и представим его в виде произведения неприводимых множителей:

p2 − p −2 =(p −2)(p +1) .

Из теоремы о разложении правильной дроби на простейшие известно, что при наличии простых (некратных) вещественных корней знаменателя дробь может быть представлена в виде сум-

мы простейших дробей, у которых знаменатели равны одному из неприводимых множителей, а в числителях – вещественные константы:

p	=	A		+	B	.
(p −2)(p +1)		p −	2		p +1

Вещественные константы найдем методом неопределенных

коэффициентов:
	p	=	A		+	B	.
	(p −2)(p +1)		p −	2		p +1

Приводим к общему знаменателю выражение справа от знака

равенства
	p	=	A(p +1) + B(p −2)
	(p −2)(p +1)		(p −2)(p +1)

и приравниваем числители

p = A(p +1) + B(p −2) .

Многочлены слева и справа от знака равенства равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях:

A = 2,

A −2B =0, 1

B = 3.A + B =1,

Отсюда

3	p	=	1	+	1	1	.
2	p2 − p −2		p −2		2	p +1

Воспользуемся теоремами о свойствах изображений и оригиналов, а также таблицей изображений, чтобы восстановить ори-

гиналы:
		1			↔ e2t 1,		1	↔ e−t 1 .
		p −2			↔ e2t 1,		p +1	↔ e−t 1 .
		p −2					p +1
Ответ: f(t) =e	2t	+	1	e	−t	.
Ответ: f(t) =e		+	2	e		.
			2

Пример 2.31.		1	.

	p4	−2p3 + p2
Решение.

Рассмотрим разложение знаменателя дроби на неприводимые множители:

p4 −2p3 + p2 = p2 (p −1)2 .

Все корни знаменателя вещественные, но среди них есть кратные. В этом случае разложение на простейшие дроби будет иметь

вид
	1	=	A	+	B	+	C	+	D	.
	p2 (p −1)2		p		p2		p −1		(p −1)2

Заметим, что число слагаемых в случае вещественных корней равно степени многочлена, все числители при этом – вещественные константы.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители дробей слева и справа от знака равенства:

1 = A p (p −1)2 + B (p −1)2 +C p2 (p −1) + D p2 .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях мно-

гочленов слева и справа от знака равенства:
A +C =0,	C = −2,

−2A + B −C + D =0,	D =1,

A −2B =0,	A =2,

B =1,	B =1.

Отсюда
F(p) =	2	+	1	−	2	+	1	.
F(p) =	p	+	p2	−	p −1	+	(p −1)2	.
	p		p2		p −1		(p −1)2

Восстановим оригиналы для каждого из слагаемых изображе-

ния:
	1	↔1,	1	↔ et 1,	1	↔t 1,	1	↔ et (t 1).
	p		p −1		p2		(p −1)2

Ответ: f(t) =2 +t −2et +t et .

Пример 2.32. 3p2 +3p −13 . p3 +4p2 +13p

Решение.

Заметим, что дробь правильная, найдем корни многочлена в знаменателе:

p3 +4p2 +13p = p (p2 +4p +13) .

При этом квадратный трехчлен в разложении не имеет вещественных корней, но имеет пару комплексных сопряженных корней. Поэтому разложение на простейшие дроби будет иметь вид

3p2 +3p −13			=	A	+		Bp +C		,
p3	+4p2	+13p		p		p2	+4p +	13

где одно из слагаемых содержит в знаменателе трехчлен без вещественных корней, а в числителе – линейное выражение с вещественными коэффициентами.

Выполнив приведение к общему знаменателю справа от знака равенства и приравнивая многочлены в числителях слева и справа от знака равенства, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов:

A + B =3,				B =4,

4A +C =3,				C =7,
13A = −13,				A = −1.

Отсюда получаем
F(p) = −	1	+		4p +7	.
	p
			p2 +4p +13

Далее выполняем восстановление оригиналов для каждого из слагаемых, используя рассмотренные в предыдущих разделах теоремы о свойствах оригиналов и изображений:

1p ↔1 ;

4p +7	=	4p +7	=4	p +2	−	1		=
				(p +2)2 +32		(p +2)2	+32
p2 +4p +13 (p +2)2 +32

p +2

−

↔4 cos3t e−2t −sin3t e−2t .

(p +2)2

+32

cos3t e−2t

sin3t e−2t

Ответ: f(t) = −1+4 cos3t e

−2t

−

sin3t e

−2t

Пример 2.33.

p +3

p3 −4p2 +3p

Решение.

p +3

−2

p3 −4p2 +3p

p −3

p −1

Ответ: f(t) =1+e3t −2et .

Пример 2.34.

(p −1)3

Решение.

По теореме о дифференцировании изображения

2! ↔t2

↔

По теореме о смещении изображения

↔

et .

(p −1)3

Ответ: f(t) =et

Пример 2.35.

p4 −1

Решение.

Cp + D

p4 −1

(p −1)(p +1)(p2 +1)

p −

p +

p2 +1

1 = A(p +1)(p2 +1) + B(p −1)(p2 +1) +(Cp + D)(p −1)(p +1) ,

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]