Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

=x3 −3x +3arctgx +3C2 +C arctgx =(C +3)arctgx +x3 −3x +C . Ответ: y =(C +3)arctgx +x3 −3x +C , где C,C – константы.

III. Уравнение не содержит независимой переменной:

F(y, y′, y′′, … y(n) = 0.

Рассмотрим новую неизвестную функцию, зависящую от переменной y: p(y) = y′(x) = dxdy .

Воспользуемся тем, что производная является отношением дифференциалов, которое можно домножить и разделить на dy, тогда

y′′(x) = dydx′(x) = dxdp = dydp dxdy = p′(y) p(y) . Аналогично можно получить

y′′′(x) = dydx′′ = d(pdy′ p) dxdy =(p′′ p + p′ p′) p =(p′′ p + p′2 ) p ,

11

Пример 1.4. Найти решения y y′′=(y′)3 .

Решение.

Уравнение не содержит независимой переменой. Новая неизвестная функция

p(y) = y′(x), y′′(x) = p′ p .

Относительно новой неизвестной функции уравнение примет вид y p′ p = p3 ,

y dydp p = p3 .

Получено уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

y p dp − p3dy =0 .

Алгоритм решения уравнения приводит к системе двух уравнений – дифференциального и алгебраического, каждое из которых может предоставить самостоятельные, не связанные друг с другом решения:

Найдем общее решение исходного уравнения, интегрируя дифференциальное уравнение (1):

∫dpp2 = ∫dyy ,

−1p =ln y +ln C1 ,

12

Отсюда можно найти y(x), снова решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Видно, что эти решения не могут быть получены из общего ни при каких значениях констант С1 и C2, поэтому являются самостоятельными.

При этом решение y = 0 является частным случаем y = C.

Ответ: y ln C1y −y = −x +C2, y =C .

Пример 1.5. Решить задачу Коши:

y′′y3 +1 =0, y(1) = −1, y′(1) = −1.

Решение.

Уравнение не содержит явно x. В соответствии с рассмо-

тренным алгоритмом вводим новую неизвестную функцию p(y) = y′(x) , тогда для y′′(x) имеем

13

y′′(x) = dpdy(y) p(y) . Уравнение примет вид

y′′y3 +1 = dydp p y3 +1 =0 ,

dp p y3 = −dy .

Получено уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

Для решения задачи Коши в данном примере достаточно получить общее решение, интегрируя первое уравнение системы:

∫p dp = −∫dyy3 ,

p2 = − y−2 + C1 , 2 −2 2

p2 = y12 +C1 . Вернемся к исходной неизвестной функции

p = ±y12 +C1 = y′.

Заметим, что для p(y) получены две функции с разными знаками, при этом начальные условия позволяют выбрать одно из решений:

y′(1) = −1<0 y′= −y12 +C1 .

Определим константу, учитывая, что при x = 1 должно выполняться

y′(1) = –1, y(1) = –1;

14

Снова требуется решение уравнения с разделяющимися пере-

менными:

y′= − −1 = 1 .y y

Для получения общего решения запишем уравнение в виде

Уравнение не содержит самой неизвестной функции, но содержит ее производные. Вводим новую неизвестную функцию y´(x) = z(x). Уравнение примет вид

x z′=z ln z .x

Для получения общего решения запишем уравнение в виде

15

Уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, поэтому в соответствии с алгоритмом решения (см. разд. 2.2 пособия 3457) вводим новую неизвестную функцию:

z(xx) =t(x) z =x t , z′=t +x t′ ,

t+x t′=t lnt , x t′=t lnt −t ,

x dt =t (lnt −1)dx .

Для полученного уравнения первого порядка с разделяющимися переменными применим уже известный алгоритм:

Общее решение дифференциального уравнения получается из второго уравнения совокупности:

∫t(lndtt −1)−∫dxx =0 ,

ln lnt −1 −ln x =const =lnC1 ,

ln lnt −1 =ln x +lnC1 , lnt −1 =C1x ,

lnt =C1x +1 t(x) =eC1x+1 . Возвращаемся к исходной неизвестной функции:

16

Решение.

Дифференциальное уравнение не содержит неизвестной функции y(x) и ее производной y′(x). Рассмотрим новую неизвестную функцию z(x) = yʺ(x).

С новой неизвестной функцией уравнение примет вид: z′(x −1) −z =0 ,

dz (x – 1) = z dx.

Получено уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для решения задачи Коши достаточно найти общее

решение:

∫dzz −∫xdx−1 =0 , ln z −ln x −1 =lnC1 , z =C1(x −1) .

Возвращаемся к исходной неизвестной функции: y′′=C1(x −1) .

Данное уравнение относится к первому типу рассмотренных уравнений, допускающих понижение степени. Найдем его общее решение:

y′=C1 (x −21)2 +C2 ,

y =C1 (x2−1)3 3 +C2x +C3 .

Для решения задачи Коши найдем значения неопределенных констант, используя начальные условия:

17

Пример 1.8. Найти общее решение уравнения y′′=ey .

Решение.

Дифференциальное уравнение не содержит независимой переменной x. Для решения используется замена неизвестной функции y′(x) = p(y), тогда

y′′(x) = dydx′ = dxdp = dydp dxdy = dydp p . Подставляем в исходное уравнение:

dydp p =ey ,

pdp =eydy .

Получено уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Интегрируем, чтобы найти его общее решение:

Возвращаемся к исходной неизвестной функции: p = dxdy = 2ey +C1 .

Это снова уравнение с разделяющимися переменными, общее решение которого получается из уравнения

1

I1

18

Проинтегрируем, используя замену переменных: