Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений дифференциальные уравнения старшего порядка

В записи квазимногочлена ему будут соответствовать p = 0, q = 0. При этом

p + i·q = 0 + 0·i = 0.

Если характеристическое уравнение имеет корень k = 0 кратности α, то частное решение следует искать в виде

y(x) =xα(B0xm + B1xm−1 +…+ Bm ) .

В частности, если нулевой корень у характеристического многочлена отсутствует, то будем полагать α = 0.

Заметим, что характеристический многочлен имеет нулевой корень кратности α, если дифференциальное и характеристическое уравнения имеют вид

a0y(n) +a1y(n−1) + +an−αy(α) =f(x) ,

a0kn +a1kn−1 + +an−αkα =0 ,

kα(a0kn−α +a1kn−1−α + +an−α) =0 .

Случай α ≠ 0 называют особым, или резонансным.

Найти общее решение уравнения.

Пример 1.34. y′′+y =x2 +x .

Решение.

Решаем однородное ЛДУ y′′+y =0 . Характеристическое уравнение

k2 + 1 = 0, k = ±i,

нулевого корня нет.

Общее решение однородногоЛДУ y(x) =c1 cosx +c2 sinx .

Найдем частное решение неоднородного ЛДУ: y′′+y =x2 +x . Правую часть неоднородного уравнения запишем в виде пол-

p = 0, q = 0, m = 2, s = 0;

51

p + i·q = 0 + 0·i = 0,

нулевого корня у характеристического многочлена нет, его кратность α = 0.

m = 2, поэтому частное решение неоднородного ЛДУ будем искать в виде

y(x) = B0x2 + B1x + B2 , где B0, B1, B2 – неизвестные константы.

Заметим, что в частном решении должны присутствовать все степени: x2, x1, x0.

Дифференцируем y(x) :

y′=2B0x + B1 , y′′=2B0

и подставляем в исходное уравнение:

2B0 + B0x2 + B1x + B2 =x2 +x +0 x0 .

Многочлены справа и слева от знака равенства равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x:

Получили систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов B0, B1, B2. Частное решение имеет вид

y(x) =x2 +x −2 .

Ответ: y(x) = y(x) +y(x) =c1 cosx +c2 sinx +x2 +x −2 .

Пример 1.35. y′′−2y′−3y =3x2 −1 .

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 – 2k – 3 = 0, k1 = 3, k2 = –1. Нулевого корня нет, его кратность полагаем α = 0.

52

Общее решение однородного ЛДУ y(x) =C1e3x +C2e−x .

Частное решение неоднородного ЛДУ будем искать в виде y = Ax2 + Bx +C .

Дифференцируем

y′=2Ax + B , y′′=2A

и подставляем в исходное уравнение:

y′′−2y′−3y =2A −2(2Ax + B) −3(Ax2 + Bx +C) = =2A −4Ax −2B −3Ax2 −3Bx −3C =3x2 −1.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

Пример 1. 36. y′′+y′=x2 +x .

Решение.

Характеристическое уравнение

k 2 + k = 0, k1 = 0, k2 = –1.

Нулевой корень у многочлена присутствует, его кратность α = 1. Общее решение однородного ЛДУ y(x) =c1 +c2e−x .

Частное решение неоднородного ЛДУ будем искать в виде

y(x) =x1 (B0x2 + B1x + B2 ) . Тогда

y′=3B0x2 +2B1x + B2 ,

53

y′′=6B0x +2B1 ,

6B0x +2B1 +3B0x2 +2B1x + B2 =x2 +x .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему

Частное решение неоднородного ЛДУ имеет вид

y(x) = 13 x3 −12 x2 +x .

Ответ: y(x) = y +y =c1e0 +c2e−1 + 13 x3 −12 x2 +x .

Пример 1.37. y′′−2y′=2 −5x2 .

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 – 2k = 0, k1 = 0, k2 = 2.

Нулевой корень у многочлена присутствует, его кратность α = 1.

Общее решение однородного ЛДУ y(x) =C1 +C2e2x . Частное решение неоднородного ЛДУ ищем в виде

y =x(Ax2 + Bx +C) = Ax3 + Bx2 +Cx .

Подставляем в исходное уравнение:

y′=3Ax2 +2Bx +C ,

y′′=6Ax +2B ,

y′′−2y′=6Ax +2B −2(3Ax2 +2Bx +C) =2 −5x2 .

54

Приравниваем коэффициенты в правой и левой частях равенства:

Самостоятельно найти общее решение:

1)y(4) +2y(3) +y′′=x2 +x −1;

2)y(3) +y′′=49−24x2 ;

3)y(3) +3y′′+2′=3x2 +2x .

Ответы:

1) y(x) =C1 +C2x +C3e−x +xC4e−x +121 x4 −12 x3 + 32 x2 ; 2) y(x) =C1 +C2x +C3e−x −2x4 +8x3 + 12 x2 ;

3) y(x) =C1 +C2e−2x +C3e−x + x3 −7 x2 +15 x . 2 4 4

2. f(x) =epxPm (x) ,

где Pm (x) = A0xm + A1xm−1 + + Am – многочлен степени m. Квазимногочлен такого вида получается, если q = 0, p ≠ 0:

55

Заметим, что p ± i q = p ± 0 i = p является действительным числом.

Если при решении однородного ЛДУ число p окажется корнем характеристического многочлена кратности α, то частное решение неоднородного ЛДУ следует искать в виде

y(x) =xeб px (B0xm + B1xm−1 + + Bm ) .

Если среди корней не окажется равного p, то полагаем кратность α = 0.

Найти общее решение.

Пример 1.38. y′′+6y′+5y =8e3x .

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 + 6k + 5 = 0, k1 = –1, k2 = –5.

Общее решение однородного ЛДУ: y(x) =C1e−x +C2e−5x .

Далее ищем какое-нибудь частное решение неоднородного ЛДУ.

Для этого правую часть неоднородного ЛДУ запишем в виде полной формулы квазимногочлена Эйлера:

f(x) =8e3x =e3x (8cos(0 x)−1 sin(0 x)),

p = 3, q = 0, m = 0, s = 0.

p + i q = 3 + 0 i = 3 не является корнем характеристического уравнения, поэтому полагаем его кратность α = 0.

Квазимногочлен в правой части уравнения содержит константу 8, которая является многочленом нулевой степени. Поэтому частное решение неоднородного ЛДУ будем искать в виде

y =e3x A , где А – многочлен нулевой степени.

Дифференцируем и подставляем в исходное уравнение: y′=3Ae3x ,

y′′=9Ae3x ,

56

y′′+6y′+5y =9Ae3x +6 3Ae3x +5 Ae3x =32Ae3x =8Ae3x , откуда находим A = 14 .

Частное решение неоднородного ЛДУ y = 14 e3x .

Ответ: y(x) =C1e−x +C2e−5x + 14 e3x .

Пример 1.39. y′′−3y′+2y =(x2 +x)ex .

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 – 3k + 2 = 0, k1 = 1, k2 = 2.

Общее решение однородного ЛДУ: y(x) =C1e1x +C2e2x .

Ищем частное решение неоднородного ЛДУ. Правую часть уравнения запишем в виде полной формулы квазимногочлена Эйлера:

(x2 +x)ex =ex ((x2 +x)cos(0 x)−1 sin(0 x)), p = 1, q = 0, m = 2, s = 0.

p + i q = 1 + 0i = 1 является простым корнем характеристического уравнения с кратностью α = 1.

Частное решение неоднородного будем искать в виде y =x1(Ax2 + Bx +C)ex =(Ax3 + Bx2 +Cx)ex .

Дважды дифференцируем:

y′=(Ax3 + Bx2 +Cx)ex +(3Ax2 +2Bx +C)ex =

=(Ax3 +(B +3A)x2 +(C +2B)x +C)ex,

y′′=(Ax3 +(B +3A)x2 +(C +2B)x +C)ex +

+(3Ax2 +2(B +3A)x +C +2B)ex.

После подстановки в исходное неоднородное ЛДУ и упрощения получим

(B +3A)x2 +(C +2B)x +C +3Ax2 +2(B +3A)x +C +2B −

−3(B +3A)x2 −3(C +2B)x −3C +2Bx2 +2Cx =x2 +x .

57

Приравниваем коэффициенты:

x2 : (B +3A) +3A −3(B +3A) +2B =1,

x1 : C +2B +2(B +3A) −3(C +2B) +2C =1, x0 : C +C +2B −3C =0.

Получаем систему линейных алгебраических уравнений. Матрица коэффициентов должна быть невырождена, если все действия были произведены правильно. Решение должно существовать и быть единственным.

Самостоятельно найти общее решение:

1)y′′−6y′+9y =4e3x ;

2)y′′−y =ex (x2 −1) ;

3)y′′′+3y′′+3y′+y =e−x (x −5) .

Ответы:

1)y(x) =C1e3x +C2xe3x +2x2e3x ;

2)y(x) =C1ex +C2e−x +ex x 1 x2 − 1 x + 1 x ;

6 4 4

58

Принцип суперпозиции.

Рассмотрим ЛДУ с правой частью, представленной суммой двух или более квазимногочленов:

L(y) =f1(x) +f2 (x) .

Найдем частное решение для каждого из уравнений:

L(y) =f1(x) →y1(x),L(y) =f2 (x) →y2 (x).

Сумма частных решений является решением исходного уравнения:

Вывод. Частное решение можно искать для каждого квазимногочлена отдельно, записав в общем решении сумму:

y(x) = y(x) +y1(x) +y2 (x) .

Общее решение однородного ЛДУ y(x) при этом одинаково для всех уравнений с одинаковым дифференциальным оператором в левой части.

Найти общее решение.

Пример 1.40. y′′+4y′−5y =3x −8ex .

Решение.

Характеристическое уравнение

k2 + 4k – 5 = 0, k1 = 1, k2 = –5.

Общее решение однородного ЛДУ y(x) =C1ex +C2e−5x . Заметим, что правая часть неоднородного ЛДУ является сум-

мой двух квазимногочленов. Поэтому для получения частного решения неоднородного ЛДУ составим два уравнения с правой частью, отвечающих каждому из квазимногочленов в правой части исходного уравнения:

1)y′′+4y′−5y =3x ;

2)y′′+4y′−5y = −8ex .

59

Ищем частные решения этих уравнений независимо друг от друга:

1) p + i q = 0 + 0i = 0,

характеристический многочлен не имеет нулевых корней, частное решение ищем в виде y1 = Ax + B ;

2) p + i q = 1 + 0i = 1,

k = 1 является корнем характеристического многочлена с кратностью α = 1, частное решение ищем в виде y2 =x1ex C , где С – многочлен нулевой степени.

Далее можно решать каждую из задач в отдельности, определяя коэффициенты A, B, C. Также можно искать частное решение исходного уравнения в виде

y = Ax + B +Cxex . Дифференцируем и подставляем в исходное уравнение:

y′= A +C(xex +ex ) = A +Cex (x +1) ;

y′′=C(ex (x +1) +ex ) =Cex (x +2) ;

y′′+4y′−5y =Cex (x +2) +4(A +Cex (x +1)) −5(Ax + B +Cxex ) =

=Cex (x +2 +4(x +1) −5x) −5Ax +4A −5B = .

=6Cex −5Ax +4A −5B =3x −8ex.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых линейно независимых функциях:

Отсюда частное решение неоднородного ЛДУ y = −53 x −1225 − 34 xex .

Ответ: y(x) =C1ex +C2e−5x −53 x −1225 − 38 xex .

60